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1、第二节定积分在物理学上的应用本讲稿第一页，共十八页一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续设物体在连续变力变力 F(x)作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行,求求变力变力所做的功所做的功.在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为因此变力因此变力F(x)在区间在区间 上所作的功为上所作的功为本讲稿第二页，共十八页本讲稿第三页，共十八页例例2.一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功.解解:当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库仑定律库仑定律电场力为电场力为则功的元素为则功的元素为所求功为所求功为位正
2、电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处(a b),在一个带在一个带+q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下,本讲稿第四页，共十八页例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.在任一小区间在任一小区间上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为为故所求功为故所求功为(KJ)设水的密设水的密度为度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为底圆半径为3m,本讲稿第五页，共十八页面积为
3、面积为 A 的平板的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为 h 处的压强处的压强:当平板与水面平行时当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为本讲稿第六页，共十八页小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强例例4.的的液体液体,求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.所论半圆的所论半圆的利用对称性利用对称性,侧压力元素侧压力元素端面所受侧压力为端面所受侧压力为方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为
4、R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 本讲稿第七页，共十八页说明说明:当桶内充满液体时当桶内充满液体时,小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为奇函数奇函数(P350 公式公式67)本讲稿第八页，共十八页三、三、引力问题引力问题质量分别为质量分别为的质点的质点,相距相距 r,二者间的引力二者间的引力:大小大小:方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力,则需用积分解决则需用积分解决.本讲稿第九页，共十八页例例5.设有一长度为设有一长度为 l,线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒,其中垂线上距
5、其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,该棒对质点的引力该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为故垂直分力元素为故垂直分力元素为在在试计算试计算本讲稿第十页，共十八页利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为棒对质点的引力的垂直分力为 根据对称性根据对称性,两边的两边的本讲稿第十一页，共十八页第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 习题课习题课本讲稿第十二页，共十八页本讲稿第十三页，共十八页本讲稿第十四页，共十八页本讲稿第十五页，共十八页本讲稿第十六页，共十八页本讲稿第十七页，共十八页本讲稿第十八页，共十八页