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1、多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系许多物理量的计算可以根据元素法思想，利用许多物理量的计算可以根据元素法思想，利用定积分计算解决下面介绍几个定积分在物理学上定积分计算解决下面介绍几个定积分在物理学上应用的实例应用的实例.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功F.WFS从物理学知道，从物理学知道，的方向作直线运动，的方向作直线运动，作的功为作的功为但在实际问题中，常常需要计算变力所作的功，但在实际问题中，常常需要计算变力所作的功，当物体在恒力当物体在恒力的作用下，的作用下，沿力沿力S将物体移动了距离将物体移动了距离时，时，F力力所所下面通过举例说明如何计算变
2、力沿直线所作的功下面通过举例说明如何计算变力沿直线所作的功例例1 设设40牛的力使弹簧从自然长度牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长到厘米拉长到15厘米厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢复力问需要作多大的功才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从将伸长的弹簧从15厘厘米处再拉长米处再拉长3厘米厘米?15厘米10厘米 F xkx0.0540，F0.0540，k800，k 800F xx400 0.0640.025解解 如图如图,根据胡克定律，有根据胡克定律，有当弹簧从当弹簧从10厘米拉长到厘米拉长到15厘米时，厘米时，即即故得故得于是可写出于是可写出这样，弹簧从这样，弹簧从15厘米拉长到厘米拉长到
3、18厘米，所作的功为厘米，所作的功为(焦耳焦耳)为为5厘米厘米0.05米米它伸长量它伸长量因有因有W0.080.05800 xdx0.0820.05400 x1.56因为这薄层水的重力为因为这薄层水的重力为9. .8 32dx, , 例例2 2 一圆柱形的贮水桶高为一圆柱形的贮水桶高为5m, , 底圆半径为底圆半径为3m, , 桶内盛桶内盛满了水满了水. . 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 在区间在区间0, , 5上点上点x处任取一薄层水处任取一薄层水, 其的高度为其的高度为dx. . 解解 作作x轴如图轴如图. . 此即功元素此即功元素. . dW
4、9. .8 32 xdx所以把这薄层水吸出桶外所需作的功所以把这薄层水吸出桶外所需作的功近似为近似为 88. .2 x dx, , 于是所求的功为于是所求的功为502 .88xdxW 2252 .8822 .88502x(kj). 二、水压力二、水压力ph ，Fp A.在水深为在水深为h处的压强为：处的压强为：如果有一面积为如果有一面积为 是水的比重，是水的比重，那么平板一侧所受的水压力为那么平板一侧所受的水压力为由物理学知识：由物理学知识：如果这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同如果这个平板铅直放置在水中，那么由于水深不同的点处压强的点处压强p不相等，所以平板所受水的压力不相等，所以平板
5、所受水的压力就不能用上述方法计算就不能用上述方法计算面积为面积为 A 的平板的平板A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，处，h问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于10m例例3一矩形闸门垂直立于水中，宽为一矩形闸门垂直立于水中，宽为，高为，高为6m，上边界与水面相齐时所受压力的两倍上边界与水面相齐时所受压力的两倍6dFgxdx 解解 设所求高度为设所求高度为建立如图坐标系，任取小区间建立如图坐标系，任取小区间,x xdx，h，小区间上压力元素为小区间上压力元素为于是，由题意得：于是，由题意得：66026hhgxdxgxdx
6、66220222hhxx从而从而3hxyo204 xdxx AB例例4有一等腰梯形闸门有一等腰梯形闸门, ,它的两条底边各长它的两条底边各长10m和和6m, , 高为高为20m, 较长的底边与水面相齐较长的底边与水面相齐, 计算闸门的一计算闸门的一侧所受的水压力侧所受的水压力1061510yx 12 dFxy x dx解解 建立坐标系直线建立坐标系直线AB的方程为的方程为压力元素为压力元素为1105xx dx所求压力为所求压力为20011014675Fxx dx 14388(千牛千牛) (吨吨)三、引力三、引力122m mFGr，由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为引力的方向沿着两
7、质点连线方向引力的方向沿着两质点连线方向1m2m、的的相距为相距为r两质点间的引力的大小为两质点间的引力的大小为其中其中G为引力为引力系数，系数，要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点引力各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点引力的方向也是变化的，就不能直接用上述公式来计算的方向也是变化的，就不能直接用上述公式来计算, 而要结合元素法来计算了而要结合元素法来计算了 例例5 5 求长度为求长度为l、线密度为、线密度为 的均匀细直棒对其中垂线上的均匀细直棒对其中垂线上距棒距棒a单位的质量为单位的质量为m的质
8、点的质点M的引力的引力. . 解解 取坐标系如图取坐标系如图. .引力在垂直方向上的分量为零引力在垂直方向上的分量为零. . 在在y点处取长为点处取长为dy的一小段的一小段, , 于是引力在水平方向的分量为于是引力在水平方向的分量为 由对称性知由对称性知, ,2222yaayadymGdFx2/322)(yadyamG. 222/322)(llxyadyamGF22412laalGm222/322)(llxyadyamGF22412laalGm. 问题讨论问题讨论1. 利用微元法计算实际应用问题时利用微元法计算实际应用问题时, 应注意什么？应注意什么？2.研究一下微元法在其它领域的应用研究一下微元法在其它领域的应用.本节介绍了定积分在物理学上的部分应用本节介绍了定积分在物理学上的部分应用. 实际实际上，定积分除在几何学、物理学上应用广泛外，其在上，定积分除在几何学、物理学上应用广泛外，其在工程技术、经济学等领域也有着广泛应用工程技术、经济学等领域也有着广泛应用. 理解和掌理解和掌握定积分定义及微元法，可以触类旁通地用定积分解握定积分定义及微元法，可以触类旁通地用定积分解决其它领域的问题决其它领域的问题