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1、第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值二、极值存在的必要条件与充分条件二、极值存在的必要条件与充分条件三、最大值与最小值问题三、最大值与最小值问题四、条件极值四、条件极值一、问题的提出一、问题的提出实例实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：
2、店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？一、问题的提出一、问题的提出实例实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果B B题题 节水洗衣机节水洗衣机 我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大
3、的份额，目前洗衣机已在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂洗脱水加水漂洗脱水漂洗脱水加水漂洗脱水.加水漂加水漂洗脱水洗脱水(称加水漂洗脱水为运行一轮称加水漂洗脱水为运行一轮)。请。请为洗衣机设计一种程序为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮，每轮加包括运行多少轮，每轮加水量等水量等)，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总，使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算，对照目用水量最少。选用合理的数据进行计算
4、，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。作出评价。二元函数极值的定义二元函数极值的定义二、二、极值存在的必要条件与充分条件极值存在的必要条件与充分条件例例1 1例例例例(1(1)(2(2)多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点(函数可导前提下函数可导前提下)问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：解解 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上
5、的最值点边界上的最值点在实际问题中，如果根据具体情况可以断定函数的在实际问题中，如果根据具体情况可以断定函数的最大值或最小值在最大值或最小值在D D的内点达到的内点达到，且在，且在D D内函数只有内函数只有唯一的驻点唯一的驻点，则该驻点处的函数值就是函数的最大，则该驻点处的函数值就是函数的最大值或最小值值或最小值 三、最大值与最小值问题三、最大值与最小值问题解解 由由解解解解无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值四、条件极值四、条件极值引入辅助函数引入辅助
6、函数为为某一常数某一常数.解出解出其中其中就是可能的极就是可能的极值值点的坐点的坐标标.引入辅助函数引入辅助函数为为某一常数某一常数.可由可由函数函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)函数函数.此求条件极值的方法称为此求条件极值的方法称为Lagrange乘数法乘数法.推广推广 多个自变量和多个约束条件的情形多个自变量和多个约束条件的情形.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件 解解调整目标函数为调整目标函数为目标函数为目标函数为约束条件为约束条件为解解则则解解多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值小结小结习题习题88思考题思考题思考题解答思考题解答解解调整目标函数为调整目标函数为引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数可得可得即即