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1、习题课一习题课一 第九章第九章 二重积分的计算二重积分的计算 目录 上页 下页 返回 一、作业讲评一、作业讲评 二、二重积分的计算举例二、二重积分的计算举例1第一次作业共有第一次作业共有4 4题题在点在点处连续。处连续。则则故故所以所以在点在点处连续。处连续。二二.2 2，证明：，证明：函数函数证：法一证：法一.令令（1 1）第一节：（习题册第一本）第一节：（习题册第一本 P2 P2）一、作业讲评一、作业讲评 目录 上页 下页 返回 2法二法二.因为因为所以对任意的所以对任意的,存在存在,当当时，时，即即因此函数因此函数在点在点处连续。处连续。错误作法：错误作法：有的同学令有的同学令取极限，得
2、到取极限，得到从而得到结论。从而得到结论。目录 上页 下页 返回 3（2 2）第二节：（习题册第一本）第二节：（习题册第一本 P4 P4）四）四 其中其中在点在点的邻域内连续。问：的邻域内连续。问：应满足什么条件，使应满足什么条件，使在点在点的偏导数存在？的偏导数存在？因为函数因为函数在点在点处连续，所以处连续，所以四、四、设设解：解：目录 上页 下页 返回 4同理，同理，因为因为和和存在，并且存在，并且不存在，所以不存在，所以错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到因此因此 目录 上页 下页 返回 5（3 3）第三节：（习题册第一本）第三节：（
3、习题册第一本 P6 P6）时，证明时，证明证明：证明：令令 则则其中其中因此因此所以当所以当时，时，即即错误点：多数同学没有思路。错误点：多数同学没有思路。三三当当 目录 上页 下页 返回 6（4 4）第三节：）第三节：(习题册第一本习题册第一本 P6)P6)在点在点的邻域有定义的邻域有定义,且且证明：证明：在点在点可微的充分必要条件是可微的充分必要条件是证明：证明：必要性：因为必要性：因为在点在点可微，且可微，且 所以所以即即四、四、设设 目录 上页 下页 返回 7充分性：由充分性：由可知，可知，又又 因此因此即即在点在点错误点：很多同学不清楚可微与偏导数之间的关系，错误点：很多同学不清楚可
4、微与偏导数之间的关系，不清楚可微的概念。不清楚可微的概念。可微。可微。目录 上页 下页 返回 8第二次作业共有第二次作业共有2 2题题是由方程是由方程所确定的函数，其中所确定的函数，其中具有二阶导数，且具有二阶导数，且（1 1）求）求（2 2）记）记求求解解:（1 1）令）令由隐函数求导公式可得，由隐函数求导公式可得，所以所以.(1)(1)第五节：第五节：(习题册第二本习题册第二本 P30)P30)四、四、设设 目录 上页 下页 返回 9（2 2）由（）由（1 1）可知，）可知，因此因此,错误点：（错误点：（1 1）基本上都能做对，（）基本上都能做对，（2 2）在求偏导时，）在求偏导时，是是的
5、函数，只得到了的函数，只得到了很多同学都忘了很多同学都忘了 目录 上页 下页 返回 10(2)(2)多元函数微分法多元函数微分法 习题课一：习题课一：(习题册第二本习题册第二本 P32)P32)则则解：解：由已知条件可知，由已知条件可知，则则错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数一、一、3.3.设设不清楚了。不清楚了。目录 上页 下页 返回 11第三次作业共有第三次作业共有2 2题题在在处有极值，则处有极值，则 (B)(B)是是D D内唯一驻点内唯一驻点,则必为最大值点则必为最大值点;且且(C)(C)(D)(D)以上结论都不对。以上结论都不
6、对。多元函数微分法多元函数微分法 习题课二习题课二 （习题册第一本（习题册第一本 P13 P13）填空填空 1.1.(A)(A)D在在点处不可导，故选点处不可导，故选D处有极小值，但在此处有极小值，但在此注：注：目录 上页 下页 返回 122.2.设函数设函数在在可微，则可微，则是是点取得极值的点取得极值的(B)充分条件；充分条件；(A)必要条件；必要条件；(C)充要条件；充要条件；(D)既非充分条件也非必要条件既非充分条件也非必要条件.错误点：这两题大概一半的同学都做错了。错误点：这两题大概一半的同学都做错了。答案：答案：A 注：按书上定义应选注：按书上定义应选 B(2)(2)多元函数微分法
7、多元函数微分法 习题课二习题课二 （习题册第一本（习题册第一本 P13 P13）在点在点处切线的方向余弦。处切线的方向余弦。二、二、求曲线求曲线解：解：方程组方程组确定了确定了和和都是都是两边对两边对求导，得到求导，得到的函数，的函数，目录 上页 下页 返回 13解可得解可得:因此因此切向量为切向量为而而所求的方向余弦为所求的方向余弦为错误点：方向余弦应该是正反两个方向，一半左右的错误点：方向余弦应该是正反两个方向，一半左右的同学只求了一个方向。同学只求了一个方向。目录 上页 下页 返回 141.1.设函数设函数连续连续,区域区域则则等于（等于（）D 例例1 选择题选择题目录 上页 下页 返回
8、 二、例题选讲二、例题选讲152.2.累次积分累次积分可以写成可以写成（）D 分析分析:利用直选法利用直选法.先将极坐标系下的二次积分化为二重积分，先将极坐标系下的二次积分化为二重积分，写出积分域，对照选择。写出积分域，对照选择。应选应选D。目录 上页 下页 返回 163.3.设平面区域设平面区域在在1,2上连续上连续,则则等于（等于（）A 分析分析:利用直选法利用直选法.应选应选A。目录 上页 下页 返回 17 例例2 设闭区域设闭区域在在且且求求在等式两边求在等式两边求二重积分二重积分从而从而即即解解:设设上连续上连续故故 目录 上页 下页 返回 18例例 3.求求 其中其中 D 是右半单
9、位圆是右半单位圆区域。区域。解：解：积分区域关于积分区域关于 x 轴对称，轴对称，I2 的被积函数为的被积函数为 y 的奇函数，的奇函数，因此因此 目录 上页 下页 返回 19例例4.求求 其中其中 D 是由直线是由直线和和 y 轴所围成的闭区域。轴所围成的闭区域。xyO解：解：目录 上页 下页 返回 20是关是关则则 对称性：对称性：若区域若区域 D 关于关于 y 轴对称轴对称,奇函数奇函数,那么那么是关于是关于 x 的的于于 x 的偶函数，的偶函数，若若关于关于 y 轴对称，轴对称，与与例例 5.计算累次积分计算累次积分 xyO解：解：目录 上页 下页 返回 21例例6.设设f (x)为为
10、 a,b 上的正值连续函数，证明：上的正值连续函数，证明：证：证：其中其中 目录 上页 下页 返回 22例例7.设设 f(x)在在 a,b 上连续上连续,证证明明证证:左端左端=右端右端 目录 上页 下页 返回 23例例8 证明证明 证证:积分区域为积分区域为D(x y)|0 y a 0 x y 并且并且D又可表示为又可表示为 D(x y)|0 x a x y a 所以所以 目录 上页 下页 返回 24其中其中 所以所以 例例9 把积分把积分 表为极坐标形式的二次积分表为极坐标形式的二次积分 解解 在极坐标下积分区域可表示为在极坐标下积分区域可表示为D D1 D2 D3 其中积分区域其中积分区
11、域 D(x y)|x2 y 1 1 x 1 目录 上页 下页 返回 25例例10.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图积分域如图目录 上页 下页 返回 26解：解：原式原式例例11 给定给定改变积分的次序改变积分的次序.目录 上页 下页 返回 27例例12.求求解：解：由于由于是是“积不出积不出”的，怎么办？的，怎么办？要改换积分次序要改换积分次序.先画积分区域先画积分区域D的图形的图形.由积分表达式知，由积分表达式知，D：y x 1,0 y 1 如图：如图：故故 原式原式=yx0Dy=x目录 上页 下页 返回 28例例13.设设且且求求解解:交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互互换
12、换目录 上页 下页 返回 （略）（略）29解解 所围立体在所围立体在面上的投影是面上的投影是D例例14.14.求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，目录 上页 下页 返回 30练习练习 求求其中其中D：x2+y2 1解：解：若若D或被积函数或被积函数 f 中含有中含有x2+y2时，极坐标。时，极坐标。0 xyx2+y2 1令令x=rcos,y=rsin,则则x2+y2 1的极坐标方程为的极坐标方程为r=1.则则D:0 r 1,0 2 目录 上页 下页 返回 31另由几何意义：另由几何意义：目录 上页 下页 返回 32练习练习 计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.
13、提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以 目录 上页 下页 返回 33例例15.在均匀的半径为在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上的圆形薄片的直径上,接上接上一一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个使整个的另一边长度应为多少的另一边长度应为多少?提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.由对称性知由对称性知由此解得由此解得问接上去的均匀矩形薄片问接上去的均匀矩形薄片即有即有薄片的重心恰好落在圆心上薄片的重心恰好落在圆心上,目录 上页 下页 返回 34例例16.计算二重积分计算二重积分其中其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1
14、)利用对称性利用对称性.围成围成.目录 上页 下页 返回 35(2)(2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得 目录 上页 下页 返回 36例例17.计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.解解:(1)两部分两部分,则则其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成作辅助线作辅助线 目录 上页 下页 返回 37(2)提示提示:两部分两部分 说明说明:若不用对称性若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线作辅助线将将D 分成分成 目录 上页 下页 返回 38例例18.如图所示如图所示交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序:解解:目录 上页 下页 返回 39