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1、 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组例如例如,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C.C 曲线上的点都满足方程，满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程点不能同时满足两个方程.特点特点：又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.二、
2、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x,y,z表示成参数表示成参数t 的函数的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距将空间曲线的一般方程化为参数方程表示将空间曲线的一般方程化为参数方程表示解解:为参数方程 由y+z=0得
3、z=-y，将其代入球面方程，得其方法是：根据平面解析几何中方程的参数其方法是：根据平面解析几何中方程的参数的表示来空间曲线的参数方程的表示来空间曲线的参数方程.例如例如化空间曲线 即此方程在平面解析几何中表示椭圆，可用参数表示为所求.例1.将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:(了解）了解）解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为例.求空间曲线求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.*自阅 解解:点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程.*例如,直线直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转
4、曲面方程为绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为*又如,xoz 面上的半圆周面上的半圆周说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面例如,在
5、在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为例例2求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为,它与所给平面的它与所给平面的补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面例例3解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆,内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线(
6、如,圆柱螺线)思考与练习思考与练习 教材P37 题 1，2，7（展示空间图形）P37 题1 (2)(1)答案:(3)aa xz y0 作图练习2z=0y=0 x=0aaxz y0作图练习2.aaxz y0学画草图学画草图学画草图学画草图作图练习2.aP37 题2(1)思考思考:交线情况如何?交线情况如何?P37 题题2(2)P37 题 7练习练习 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，截线方程为截线方程为解解如图如图,1.yxzo练习练习 作出球面作出球面与与 旋转抛物面旋转抛物面的交线的交线.z=0.1yxzoL.111yx0作图练习3z 思考题思考题思考题解答思考题解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为作业册 P作业练习练习 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.