《高一数学必修二课件第七章 第三节空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学必修二课件第七章 第三节空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt（81页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三节 空间点、直线、平面之 间 的位 置 关 系 1.1.平面的基本性质平面的基本性质公理公理1 1：如果一条直线上的：如果一条直线上的_在一个平面在一个平面内，那么这条直线在此平面内内，那么这条直线在此平面内.公理公理2 2：过：过_的三点，有且只的三点，有且只有一个平面有一个平面.公理公理3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有那么它们有且只有_过该点的公共直线过该点的公共直线.两点两点不在一条直线上不在一条直线上一条一条2.2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系直线与直线直线与直线直
2、线与平面直线与平面平面与平面平面与平面平平行行关关系系 图形图形语言语言符号符号语言语言_交点交点个数个数_个个_个个_个个ababaa0 00 00 0直线与直线直线与直线直线与平面直线与平面平面与平面平面与平面相相交交关关系系图形图形语言语言符号符号语言语言ab=Aab=Aa=Aa=A=l交点交点个数个数_个个_个个_个个1 11 1无数无数直线与直线直线与直线直线与平面直线与平面平面与平面平面与平面独独有有关关系系图形图形语言语言符号符号语言语言a,ba,b是异是异面直线面直线a a交点交点个数个数0 0个个无数个无数个3.3.公理公理4 4和等角定理和等角定理(1)(1)公理公理4 4
3、：平行于：平行于_的两条直线的两条直线互相平行互相平行.用符号表示：设用符号表示：设a,b,ca,b,c为三条直线，为三条直线，若若ab,bcab,bc，则，则ac.ac.(2)(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应别对应_，那么这两个角，那么这两个角_._.同一条直线同一条直线平行平行相等或互补相等或互补4.4.异面直线所成的角异面直线所成的角(1)(1)定义：已知两条异面直线定义：已知两条异面直线a,ba,b，经过空间，经过空间任一点任一点O O作直线作直线aa,bbaa,bb，把，把aa与与bb所成的所成的_叫做异面直线所成的角叫做异面直线所成的
4、角(或夹角或夹角).).(2)(2)范围：范围：_._.锐角锐角(或直角或直角)判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(1)(1)如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面,有一条公有一条公共直线共直线a a，就说平面，就说平面,相交，并记作相交，并记作=a.()=a.()(2)(2)两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于过相交于过A A点的任意一条直线点的任意一条直线.().()(3)(3)两个平面两个平面,有一个公共点有一个公共点A A，就说，就说,相交于相交于A A点，并记作点，并记作=A.()=A.()(4)(4)两个平面两个平面ABCABC与与DBCDB
5、C相交于线段相交于线段BC.()BC.()(5)(5)两两相交的三条直线最多可以确定三个两两相交的三条直线最多可以确定三个平面平面.().()(6)(6)如果两个平面有三个如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合公共点，则这两个平面重合.().()解析解析据平面的性质公理据平面的性质公理3 3可知可知(1)(1)对；对于对；对于(2)(2)，其错误在于，其错误在于“任意任意”二字上；对于二字上；对于(3)(3)，错，错误在于误在于=A=A上；对于上；对于(4)(4)，应为平面，应为平面ABCABC和和平面平面DBCDBC相交于直线相交于直线BCBC；两两相交的三条直线；两两相交的三条直线可以
6、确定一个或三个平面，可以确定一个或三个平面，(5)(5)正确；命题正确；命题(6)(6)中没有说清三个点是否共线，中没有说清三个点是否共线，(6)(6)不正确不正确.答案答案:(1)(2)(1)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(6)(5)(6)1.1.有以下命题：有以下命题：若平面若平面与平面与平面相交，则它们只有有限个公共相交，则它们只有有限个公共点；点；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平经过两条相交直线有且只有一个平面；面；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定
7、一个平面.其中，真命题的个数是其中，真命题的个数是()()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析解析】选选B.B.若平面若平面与平面与平面相交，则相交，则它们有无数个公共点，结合公理可知它们有无数个公共点，结合公理可知均正确均正确.2.2.若三条不同的直线若三条不同的直线a a，b b，c c满足满足ab,aab,a，c c异面，则异面，则b b与与c ()c ()(A)(A)一定是异面直线一定是异面直线 (B)(B)一定是相交直线一定是相交直线(C)(C)不可能是平行直线不可能是平行直线 (D)(D)不可能是相交直线不可能是相交直线【解析解析】选选
8、C.abC.ab，a,ca,c异面，异面，b b与与c c相交或异面相交或异面.3.3.下列命题：下列命题：两条直线都和同一个平面平两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；行，则这两条直线平行；两条直线不异面，两条直线不异面，则这两条直线相交；则这两条直线相交；分别在两个平面内的分别在两个平面内的直线是异面直线；直线是异面直线；一条直线和一个平面内一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行平面平行.其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析
9、解析】选选A.A.两条直线都和同一个平面平行，两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，故则这两条直线平行、相交或异面，故错误；错误；两条直线不异面，则相交或平行，故两条直线不异面，则相交或平行，故错误；错误；不同在任何一个平面内的两条直线是异面直不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故线，故错误；一条直线和一个平面内无数错误；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行、相交或直线在平面内，故平行、相交或直线在平面内，故错误错误.4.4.l1 1,l2 2,l3 3是空间三条不同的直线，则下列是空间三条不同的直线
10、，则下列命题正确的是命题正确的是 ()()(A)(A)l1 1l2 2,l2 2l3 3l1 1l3 3(B)(B)l1 1l2 2,l2 2l3 3l1 1l3 3(C)(C)l1 1l2 2，l2 2l3 3l1 1,l2 2,l3 3共面共面(D)(D)l1 1,l2 2,l3 3共点共点l1 1,l2 2,l3 3共面共面【解析解析】选选B.B.对于对于A A：空间中垂直于同一条：空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，如图，直线的两条直线不一定平行，如图，l1 1,l3 3可以相交或异面可以相交或异面,故命题错误故命题错误.对于对于B:B:由异面由异面直线所成的角可知，直线所成的
11、角可知，l2 2l3 3,则则l1 1与与l3 3所成的角与所成的角与l1 1与与l2 2所成的角相等，故所成的角相等，故l1 1l3 3,故命题正确故命题正确.对于对于C:C:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误故命题错误.对于对于D:D:空间空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱所在直线不共面点的三条棱所在直线不共面.5.5.下列命题中不正确的是下列命题中不正确的是_(_(填序号填序号).).没有公共点的两条直线是异面直线；没有公共点的
12、两条直线是异面直线；分分别和两条异面直线都相交的两直线异面；别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；它和另一条直线不可能平行；一条直线和一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面平面.【解析解析】没有公共点的两直线平行或异面，故没有公共点的两直线平行或异面，故错；错；命题命题错，此时两直线有可能相交；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，正确，因为若直线因为若直线a a和和b b异面，异面，ca,ca,则则c c与与b b不可能平行，用不可能平行，
13、用反证法证明如下：若反证法证明如下：若cbcb，又，又caca，则，则abab，这与，这与a,ba,b异面矛盾，故异面矛盾，故c c与与b b不可能平行；命题不可能平行；命题也正确，也正确，若若c c与两异面直线与两异面直线a,ba,b都相交，由公理都相交，由公理3 3可知，可知，a,ca,c可可确定一个平面，确定一个平面，b,cb,c也可确定一个平面，这样也可确定一个平面，这样a,b,ca,b,c共确定两个平面共确定两个平面.答案答案:考向考向 1 1 平面的基本性质及其应用平面的基本性质及其应用【典例典例1 1】(1)(1)给出以下命题：给出以下命题：不共面的四点不共面的四点中，其中任意三
14、点不共线；中，其中任意三点不共线；若点若点A A，B B，C C，D D共面，点共面，点A A，B B，C C，E E共面，则点共面，则点A A，B B，C C，D D，E E共面；共面；若直线若直线a a，b b共面，直线共面，直线a a，c c共面，共面，则直线则直线b b，c c共面；共面；依次首尾相接的四条线段依次首尾相接的四条线段必共面必共面.正确命题的个数是正确命题的个数是()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2)如图，平面如图，平面ABEFABEF平面平面ABCDABCD，四边形四边形ABEFABEF与与ABCDABCD都是直
15、角梯形，都是直角梯形，BAD=FAB=90BAD=FAB=90，BCADBCAD且且BC=ADBC=AD，BEAFBEAF且且BE=AFBE=AF，G G，H H分别为分别为FAFA，FDFD的中点的中点.证明：四边形证明：四边形BCHGBCHG是平行四边形；是平行四边形；C C，D D，F F，E E四点是否共面？为什么？四点是否共面？为什么？【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据相应的公理及推论进行根据相应的公理及推论进行判断判断.(2)(2)证明证明BCBC，GHGH平行且相等即可；平行且相等即可；证明证明EFCHEFCH，由此构成平面，再证点，由此构成平面，再证点D D在该平面上在该平面
16、上.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.假设其中有三点共线，则该假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确正确.从从条件看出两平面有三个公共点条件看出两平面有三个公共点A A，B B，C C，但是若，但是若A A，B B，C C共线，则结论不正确共线，则结论不正确.对于对于，b b与与c c可能异面，可能异面，不正确不正确.不正确，因为此时所得的四边形的四条不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形边可以不在一个平面上
17、，如空间四边形.(2)(2)由题设知，由题设知，FG=GAFG=GA，FH=HDFH=HD，所以所以GHADGHAD且且GH=AD,GH=AD,又又BCADBCAD且且BC=ADBC=AD，故故GHBCGHBC且且GH=BCGH=BC，所以四边形所以四边形BCHGBCHG是平行四边形是平行四边形.CC，D D，F F，E E四点共面四点共面.理由如下：由理由如下：由BEAFBEAF且且BE=AFBE=AF，G G是是FAFA的中点知，的中点知，BEGFBEGF且且BE=GFBE=GF，所以四边形所以四边形EFGBEFGB是平行四边形，所以是平行四边形，所以EFBG.EFBG.由由知知BGCHB
18、GCH，所以，所以EFCHEFCH，故，故ECEC，FHFH共面共面.又点又点D D在直线在直线FHFH上，所以上，所以C C，D D，F F，E E四点共面四点共面.【互动探究互动探究】本例第本例第(2)(2)题的条件不变，如何题的条件不变，如何证明证明“FEFE，ABAB，DCDC交于一点交于一点”？【证明证明】由例题可知，四边形由例题可知，四边形EBGFEBGF和四边形和四边形BCHGBCHG都是平行四边形，故可得四边形都是平行四边形，故可得四边形ECHFECHF为平为平行四边形，行四边形，ECHFECHF，且，且EC=DFEC=DF，四边形四边形ECDFECDF为梯形为梯形.FE.FE
19、，DCDC交于一点，设交于一点，设FEDC=M.FEDC=M.MFEMFE，FEFE 平面平面BAFEBAFE，MM平面平面BAFE.BAFE.同理同理MM平面平面BADC.BADC.又平面又平面BAFEBAFE平面平面BADC=BABADC=BA，MBAMBA，FE,AB,DCFE,AB,DC交于一点交于一点.【拓展提升拓展提升】1.1.证明三点共线的两种方法证明三点共线的两种方法(1)(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在交线上，即三点共线都在交线上，即三点共线.(2)(2)选择
20、其中两点确定一条直线，然后证明选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线另一点也在这条直线上，从而得三点共线.2.2.证明三线共点的思路证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题上的问题.通常是先证两条直线的交点在两通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线平面的交线.【变式备选变式备选】如图，在如图，在正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D
21、D1 1中，中，E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的中点，求证：的中点，求证：(1)E(1)E，C C，D D1 1，F F四点共面四点共面.(2)CE(2)CE，D D1 1F F，DADA三线共点三线共点.【证明证明】(1)(1)如图，连接如图，连接A A1 1B B，CDCD1 1.因为因为E E是是ABAB的中点，的中点，F F是是A A1 1A A的中点，则的中点，则EFAEFA1 1B.B.又在正方体又在正方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1BDBD1 1C C，所以所以EFDEFD1 1C.C.故
22、故E E，C C，D D1 1，F F四点共面四点共面.(2)(2)由由(1)(1)知，知，EFDEFD1 1C C且且EF=DEF=D1 1C C，故四边，故四边形形ECDECD1 1F F是梯形，两腰是梯形，两腰CECE，D D1 1F F相交，设其交相交，设其交点为点为P P，则，则PCE.PCE.又又CECE 平面平面ABCDABCD，所以，所以PP平面平面ABCD.ABCD.同理，同理，PP平面平面ADDADD1 1A A1 1.又平面又平面ABCDABCD平面平面ADDADD1 1A A1 1=AD=AD，所以，所以PADPAD，所以所以CECE，D D1 1F F，DADA三线共
23、点三线共点.考向考向 2 2 空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系【典例典例2 2】(1)(1)下列命题中正确的是下列命题中正确的是()()两条异面直线在同一平面内的射影必相交；两条异面直线在同一平面内的射影必相交；与一条直线成等角的两条直线必平行；与一条直线成等角的两条直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；同时平行于一个平面的两直线必平行同时平行于一个平面的两直线必平行.(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)以上都不对以上都不对(2)(2)如图所示，正方体如图所示，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1
24、中，中，M M，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中的中点点.问：问：AMAM和和CNCN是否是异面直线？是否是异面直线？说明理由说明理由.DD1 1B B和和CCCC1 1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由.【思路点拨思路点拨】(1)(1)通过常见的正方体中的各通过常见的正方体中的各棱、面的关系，判断出各个命题的真假棱、面的关系，判断出各个命题的真假.(2)(2)由于由于MNACMNAC，因此，因此M M，N N，A A，C C四点共四点共面，故面，故AMAM与与CNCN不异面不异面.由图易判断由图易判断D D1 1B B和和CCCC1 1是
25、异面直线，可用反是异面直线，可用反证法证明证法证明.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中AAAA1 1与与B B1 1C C1 1是异面直线，是异面直线，AAAA1 1在面在面ABCDABCD中的射影是点中的射影是点A A，B B1 1C C1 1在面在面ABCDABCD内的射影是直线内的射影是直线BCBC，故，故错；错；ABAB，ADAD与与AAAA1 1所成的角都是所成的角都是9090，但但ABAB，ADAD相交于相交于A A，故，故错；直线错；直线A A1 1D D1 1，A A1 1B B1
26、1都平行都平行于面于面ABCDABCD，但它们相交，故，但它们相交，故错，故选错，故选D.D.(2)(2)不是异面直线不是异面直线.理由：连接理由：连接MNMN，A A1 1C C1 1，AC.AC.MM，N N分别是分别是A A1 1B B1 1，B B1 1C C1 1的中点，的中点，MNAMNA1 1C C1 1.又又A A1 1A CA C1 1C C，A A1 1ACCACC1 1为平行四边形，为平行四边形，A A1 1C C1 1ACAC，MNACMNAC，A A，M M，N N，C C在同一平面内，故在同一平面内，故AMAM和和CNCN不是异面直线不是异面直线.是异面直线是异面直
27、线.理由：理由：ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正是正方体，方体，B B，C C，C C1 1，D D1 1不共面不共面.假设假设D D1 1B B与与CCCC1 1不是异面直线，则存在平面不是异面直线，则存在平面，使，使D D1 1B B 平面平面，CCCC1 1 平面平面，D D1 1，B B，C C，C C1 1，这与，这与B B，C C，C C1 1，D D1 1不共面矛盾不共面矛盾.假设不假设不成立，即成立，即D D1 1B B和和CCCC1 1是异面直线是异面直线.【拓展提升拓展提升】判定空间直线位置关系的三种判定空间直线位置关系的三种类型及方法
28、空间中两直线位置关系的判定，类型及方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定主要是异面、平行和垂直的判定.(1)(1)异面直线，可采用直接法或反证法异面直线，可采用直接法或反证法.(2)(2)平行直线，可利用三角形平行直线，可利用三角形(梯形梯形)中位线的中位线的性质、公理性质、公理4 4及线面平行与面面平行的性质定及线面平行与面面平行的性质定理理.(3).(3)垂直关系，往往利用线面垂直的垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决性质来解决.【提醒提醒】在空间两直线的三种位置关系中，在空间两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点验证异面直线及其所成角是考查的热
29、点.【变式训练变式训练】设设A A，B B，C C，D D是空间四个不同是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是的点，在下列命题中，不正确的是 _(_(填填序号序号).).若若ACAC与与BDBD共面，则共面，则ADAD与与BCBC共面；共面；若若ACAC与与BDBD是异面直线，则是异面直线，则ADAD与与BCBC是异面直线；是异面直线；若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则AD=BCAD=BC；若若AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，则，则ADBC.ADBC.【解析解析】对于对于，由于点，由于点A A，B B，C C，D D共面，显然共面，显然结论正确结论正确.对
30、于对于，假设，假设ADAD与与BCBC共面，由共面，由正确正确得得ACAC与与BDBD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确从而结论正确.对于对于，如，如图，当图，当AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，使二，使二面角面角A-BC-DA-BC-D的大小变化时，的大小变化时，ADAD与与BCBC不一定相等，故不正确不一定相等，故不正确.对于对于，如图，取，如图，取BCBC的中点的中点E E，连接，连接AEAE，DEDE，则由题设得，则由题设得BCAEBCAE，BCDE.BCDE.根据线面垂直的判定定理得根据线面垂直的判定定理得BCBC平面平面ADE
31、ADE，从而从而ADBC.ADBC.答案答案:考向考向 3 3 异面直线所成的角异面直线所成的角【典例典例3 3】已知三棱锥已知三棱锥A-BCDA-BCD中，中，AB=CDAB=CD，且直，且直线线ABAB与与CDCD成成6060角，点角，点M M，N N分别是分别是BCBC，ADAD的的中点，求直线中点，求直线ABAB和和MNMN所成的角所成的角.【思路点拨思路点拨】可取可取ACAC的中点的中点E E，连接，连接EMEM，ENEN，利用三角形的中位线证明利用三角形的中位线证明EM AB,ENCD,EM AB,ENCD,从从而确定异面直线而确定异面直线ABAB和和MNMN所成的角所成的角.【规
32、范解答规范解答】如图，设如图，设E E为为ACAC的中点，连接的中点，连接EMEM，EN.EM ABEN.EM AB，EMNEMN即为异面直线即为异面直线ABAB与与MNMN所成的角所成的角(或补角或补角).).在在MENMEN中，中，ME ME ABAB，EN CD.MENEN CD.MEN为异面为异面ABAB与与CDCD所成的角所成的角(或补角或补角)，且且MENMEN为等腰三角形为等腰三角形.当当MEN=60MEN=60时，时，EMN=60EMN=60，即异面直，即异面直线线ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为6060.当当MEN=120MEN=120时，时，EMN=30EMN=30
33、，即异面直，即异面直线线ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为3030.直线直线ABAB和和MNMN所成的角为所成的角为6060或或3030.【互动探究互动探究】把本例中的条件把本例中的条件“ABAB与与CDCD成成6060角角”改为改为“ABCD”ABCD”，结果如何？，结果如何？【解析解析】当当ABCDABCD时，时，MEN=90MEN=90，EMN=45EMN=45，即异面直线，即异面直线ABAB和和MNMN所成的所成的角为角为4545.【拓展提升拓展提升】1.1.找异面直线所成的角的三种方法找异面直线所成的角的三种方法(1)(1)利用图中已有的平行线平移利用图中已有的平行线平移.(2
34、)(2)利用特殊点利用特殊点(线段的端点或中点线段的端点或中点)作平行线作平行线平移平移.(3)(3)补形平移补形平移.2.2.求异面直线所成角的三个步骤求异面直线所成角的三个步骤(1)(1)作：通过作平行线，得到相交直线作：通过作平行线，得到相交直线.(2)(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角的角.(3)(3)算：通过解三角形，求出该角算：通过解三角形，求出该角.【变式备选变式备选】在三棱锥在三棱锥S-ACBS-ACB中，中，SAB=SAC=ACB=90SAB=SAC=ACB=90，AC=2AC=2，则则SCSC与与ABAB所成角所成角的余弦值为的余
35、弦值为_._.【解析解析】如图，取如图，取BCBC的中点的中点E E，分别在平面，分别在平面ABCABC内作内作DEABDEAB，在平面，在平面SBCSBC内作内作EFSC,EFSC,则异则异面直线面直线SCSC与与ABAB所成的角所成的角为为FED(FED(或其补角或其补角)，过，过F F作作FGABFGAB，连接，连接DGDG，DFDF，则则DFGDFG为直角三角形为直角三角形.由题知由题知AC=2AC=2，可得可得 EF=2EF=2，在在DEFDEF中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得答案：答案：【满分指导满分指导】求异面直线所成角求异面直线所成角主观题的规范解答主观题的规范解答【典例典
36、例】(12(12分分)(2012)(2012上海高考上海高考)如图，在如图，在四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是矩形，是矩形，PAPA底底面面ABCDABCD，E E是是PCPC的中点的中点.已知已知AB=2AB=2，AD=AD=，PA=2.PA=2.求：求：(1)(1)三角形三角形PCDPCD的面积的面积.(2).(2)异面直线异面直线BCBC与与AEAE所成的角的大小所成的角的大小.【思路点拨思路点拨】【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为PAPA底面底面ABCDABCD，所以，所以PACDPACD，又，又ADCDADCD，所以，所以CDCD平面平面P
37、ADPAD，从，从而而CDPD.CDPD.3 3分分因为所以三角形因为所以三角形PCDPCD的面积为的面积为 6 6分分(2)(2)取取PBPB的中点的中点F F，连接，连接EFEF，AFAF，则，则EFBCEFBC，从而从而AEF(AEF(或其或其补角补角)是异面直是异面直线线BCBC与与AEAE所成的所成的角角.8 8分分在在AEFAEF中，由中，由EF=EF=，AF=AF=，AE=2AE=2AEFAEF是是等腰直角三角形，所以等腰直角三角形，所以AEF=.AEF=.因此，异面因此，异面直线直线BCBC与与AEAE所成的角的大小是所成的角的大小是 .1212分分【失分警示失分警示】(下文下
38、文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013益阳模拟益阳模拟)如图是某个正方体的展如图是某个正方体的展开图，开图，l1 1,l2 2是两条侧面对角线，则在正方体是两条侧面对角线，则在正方体中，中，l1 1与与l2 2()(A)()(A)互相平行互相平行(B)(B)异面且互相垂直异面且互相垂直(C)(C)异面且夹角为异面且夹角为 (D)(D)相交且夹角为相交且夹角为【解析解析】选选D.D.将侧面展开图还原成正方体将侧面展开图还原成正方体如图所示，则如图所示，则B B，C C两点重合，故两点重合，故l1 1与与l2 2相交相交.连接连接ADAD，ABDABD为正为正三角形，所以三角
39、形，所以l1 1与与l2 2的夹角为的夹角为 故选故选D.D.2.(20132.(2013娄底模拟娄底模拟)如图是正方体或四面体，如图是正方体或四面体，P P，Q Q，R R，S S分别是所在棱的中点，这四个点分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是不共面的一个图是()()【解析解析】选选D.D.在在A A图中分别连接图中分别连接PSPS，QRQR，易证，易证PSQRPSQR，P P，S S，R R，Q Q共面共面.在在B B图中过图中过P P，Q Q，R R，S S可作一可作一正六边形，如图，故正六边形，如图，故P P，Q Q，R R，S S四点共面四点共面.在在C C图中图中分别连接分
40、别连接PQPQ，RSRS，易证，易证PQRSPQRS，P P，Q Q，R R，S S共面共面.D.D图中图中PSPS与与RQRQ为异面直线，为异面直线，P P，Q Q，R R，S S四点不共面，故选四点不共面，故选D.D.3.(20123.(2012浙江高考浙江高考)已知矩形已知矩形ABCDABCD，AB=1AB=1，BC=.BC=.将将ABDABD沿矩形的对角线沿矩形的对角线BDBD所在的直线进行翻折，在所在的直线进行翻折，在翻折过程中翻折过程中()()(A)(A)存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线ACAC与直线与直线BDBD垂直垂直 (B)(B)存存在某个位置，使得直线在某个位置
41、，使得直线ABAB与直线与直线CDCD垂直垂直(C)(C)存在某个存在某个位置，使得直线位置，使得直线ADAD与直线与直线BCBC垂直垂直(D)(D)对任意位置，三对任意位置，三对直线对直线“ACAC与与BD”“ABBD”“AB与与CD”“ADCD”“AD与与BC”BC”均不垂直均不垂直【解析解析】选选B.B.找出图形在翻折过程中变化的找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量量与不变的量.对于选项对于选项A A，过点，过点A A作作AEBDAEBD，垂足为，垂足为E E，过点，过点C C作作CFBDCFBD，垂足为，垂足为F F，在图，在图(1)(1)中，由边中，由边ABAB，BCBC不相等可知
42、点不相等可知点E E，F F不重合不重合.在图在图(2)(2)中，连中，连接接CECE，若直线，若直线ACAC与直线与直线BDBD垂直，垂直，ACAE=AACAE=A，BDBD平面平面ACEACE，BDCEBDCE，与点，与点E E，F F不重合不重合相矛盾，故相矛盾，故A A错误错误.对于选项对于选项B B，若，若ABCDABCD，又，又ABADABAD，ADCD=DADCD=D，ABAB平面平面ADCADC，ABAC,ABAC,由由ABABBCBC可知存在这样可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线的等腰直角三角形，使得直线ABAB与直线与直线CDCD垂直，故垂直，故B B正确正确.对于选项
43、对于选项C C，若，若ADBCADBC，又，又DCBCDCBC，ADDC=DADDC=D，BCBC平面平面ADCADC，BCAC.BCAC.已知已知BC=BC=，AB=1AB=1，BCBCABAB，不存在这样的直角三角形不存在这样的直角三角形.C.C错误错误.由上可知由上可知D D错误，故选错误，故选B.B.4.(20134.(2013怀化模拟怀化模拟)给出命题：给出命题：异面直线异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；是指空间既不平行又不相交的直线；两异两异面直线面直线a,b,a,b,如果如果a a平行于平面平行于平面,那么那么b b不平行不平行于平面于平面；两异面直线两异面直线a,b,a,
44、b,如果如果aa平面平面，那么，那么b b不垂直于平面不垂直于平面；两异面直线在同两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线一平面内的射影不可能是两条平行直线.上述上述命题中，真命题的序号是命题中，真命题的序号是_._.【解析解析】易知易知正确；正确；两条异面直线可以两条异面直线可以平行于同一个平面；平行于同一个平面；若若b,b,则则ab,ab,这这与与a,ba,b为异面直线矛盾；为异面直线矛盾；两条异面直线在两条异面直线在同一个面内的射影可以是：两条平行直线、同一个面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线两条相交直线、一点一直线.答案答案:1.1.如图，如图，M M是正
45、是正方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱DDDD1 1的的中点，给出下中点，给出下列命题：列命题：过过M M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线ABAB，B B1 1C C1 1都都相交；相交；过过M M点有且只有一条直线与直线点有且只有一条直线与直线ABAB，B B1 1C C1 1都垂直；都垂直；过过M M点有且只有一个平面与直点有且只有一个平面与直线线ABAB，B B1 1C C1 1都相交；都相交；过过M M点有且只有一个平点有且只有一个平面与直线面与直线ABAB，B B1 1C C1 1都平行都平行.其中真命题是其中真命题是(
46、)()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选C.C.由于两相交直线可确定一个平面，设直由于两相交直线可确定一个平面，设直线线l过过M M点，与点，与ABAB，B B1 1C C1 1均相交，则均相交，则l与与ABAB可确定平面可确定平面，l与与B B1 1C C1 1可确定平面可确定平面，又，又ABAB与与B B1 1C C1 1为异面为异面直线，直线，l为平面为平面与平面与平面的交的交线，如图所示线，如图所示.GEGE即为即为l，又平面，又平面与平面与平面有唯一交线，故有唯一交线，故正确正确.由于由于DDDD1 1过点过点M M，DDDD1 1ABDDABDD1 1
47、BB1 1C C1 1，BBBB1 1为为ABAB，B B1 1C C1 1的公垂线，的公垂线，DDDD1 1BBBB1 1，又过点，又过点M M有且只有一条直线与有且只有一条直线与BBBB1 1平行，故平行，故正确正确.显显然然正确正确.过过M M点有无数个平面与点有无数个平面与ABAB，B B1 1C C1 1都都相交，故相交，故错误错误.2.2.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F分别分别为为BBBB1 1，CCCC1 1的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线AEAE与与D D1 1F F所成角的余弦值为所成角的余弦值为_._.【解析解析】设正方体的棱长为设正方体的棱长为a.a.连接连接A A1 1E E，EFEF，可知，可知D D1 1FAFA1 1E,E,异面直线异面直线AEAE与与D D1 1F F所成的角所成的角可转化为可转化为AEAE与与A A1 1E E所成的角，在所成的角，在AEAAEA1 1中，中，cosAEAcosAEA1 1=答案答案: