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1、球的体积与表面积球的体积与表面积学习目标学习目标1 1.在球的公式推导中渗透在球的公式推导中渗透“极限极限”思想思想2 2.掌握球的体积公式的应用掌握球的体积公式的应用3 3.球与长方体、正方体的关系球与长方体、正方体的关系4 4.球内的截面问题球内的截面问题 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？实际问题实际问题 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略
2、球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？实际问题实际问题问题提出问题提出h怎样计算小球的表面积与怎样计算小球的表面积与体积体积？问题提出问题提出怎样计算小球的表面积与怎样计算小球的表面积与体积体积？hH小小球球的的体体积积 等于 它它排排开开液液体体的的体体积积假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3公式推导与公式推导与“极限极限”思想思想 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”他用加倍的方式不断他用加倍的方式
3、不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样重复下去，这样重复下去，就达到了就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣无所失矣”这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想极限思想极限思想已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积.AOB2C2球的体积球的体积AOOROA球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积归纳公式归纳公式1.1.定理：半径是定理：半径是R R的球的的球的体
4、积体积为为:2.2.定理：半径是定理：半径是R R的球的的球的表面积表面积为为:在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：的方法：即先将半径即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的无限变大时，就可得到半球的体积体积课堂练习课堂练习1.1.若球的半径变为原来的若球的半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原倍，则表面积变为原来
5、的来的 倍倍;体积变为原来的体积变为原来的 倍。倍。2.2.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2,1:2,则其体积之比是则其体积之比是 影响球的表面积及体积的只有一个元素影响球的表面积及体积的只有一个元素,就是球的半径就是球的半径.3.3.将两个半径为将两个半径为1cm1cm的铁球熔化后铸成一个大球的铁球熔化后铸成一个大球,这个大球的半径是这个大球的半径是 ,表面积是表面积是4.4.若两球表面积之差为若两球表面积之差为48,48,它们大圆周长之和它们大圆周长之和为为12,12,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_._.(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,
6、则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍.(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍.(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 .随堂练习随堂练习例题选析例题选析例1.一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？分析：分别计算它们的体积进行比较4cm12cm例题选析例题选析例2.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入
7、水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求钢球的半径.3cm8cm3cm8.5cm课堂练习课堂练习1.1.正方体与球的表面积都为正方体与球的表面积都为S,S,则它们的体积之比则它们的体积之比为为3.3.某花园有许多钢球某花园有许多钢球(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm3 3),),每个每个钢球重钢球重145kg145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm50cm，试根据以上，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心的，请你计算出它的内径心的，请你计算出它的内径(取取3.143.14，结果精，结果精确到确到1cm)1cm)2.2
8、.如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径于一个球的直径,则圆柱、球、圆锥的体积之比则圆柱、球、圆锥的体积之比为为例题选析例题选析例例3.3.在半径为在半径为5cm5cm的球内有一个截面的球内有一个截面,球心到球心到该截面的距离为该截面的距离为3cm,3cm,则该截面的面积为则该截面的面积为OO/OABC变式变式1.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，
9、截面截面 O的半径为的半径为r，例题选析例题选析OABC变式变式1.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积例题选析例题选析课堂练习课堂练习例例4.4.在球心的有相距在球心的有相距9cm9cm的两个平行截面的两个平行截面,它们的它们的面积分别为面积分别为49 cm49 cm2 2和和400 cm400 cm2 2,求球的表面求球的表面积积OO1O2AB问问:圆有内接长方形，那么球有内接长方体吗？球心在哪里？半径怎么求？1.1.如果一个长方体的八个顶点落在
10、同一个球面上如果一个长方体的八个顶点落在同一个球面上,那么称这个长方体为球的那么称这个长方体为球的内接长方体内接长方体,称球为长方称球为长方体的体的外接球外接球A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O2.2.球心落在长方体的对角球心落在长方体的对角线上线上,为对角线中点为对角线中点球的直径球的直径=长方体的对角线长长方体的对角线长3.3.长方体的长宽高分别为长方体的长宽高分别为a,b,c,a,b,c,则其对角线则其对角线:4.4.如果一个球与正方体的每一个面都相切如果一个球与正方体的每一个面都相切,则称正则称正方体为球的方体为球的外切正方体外切正方体,称球
11、为正方体的称球为正方体的内切球内切球球的直径球的直径=正方体的棱长正方体的棱长例例5.5.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的它的各个顶点都在球各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积是多的表面积是多少。少。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A A
12、B BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 6C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD，为其外接球为其外接球心。心。球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上上的射影，的射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结BAOBDAMR课堂练习课堂练习1.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个这个球的体积为球的体积为cm3.2.2.把半径为把半径为5cm5cm的钢球放
13、入一个正方体的有盖的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中纸盒中,至少要用多少纸至少要用多少纸?3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体的一球切于正方体的各侧棱各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比_.变式变式2、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 6 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方
14、体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为的外接球，此时球的直径为 ，选选A2)2)若每小若每小块块表面看作一个平面表面看作一个平面,将每小将每小块块平面作平面作为为底面底面,球心作球心作为为顶顶点便得到点便得到n n个棱个棱锥锥,这这些棱些棱锥锥体体积积之和近似之和近似为为球的体球的体积积.当当n n越大越大,越接近于球的体越接近于球的体积积,当当n n趋趋近于无近于无穷穷大大时时就精确到等于球的体就精确到等于球的体积积.1)1)球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平面,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小个小块块,每小每小块块表面可近似
15、看作一个平面表面可近似看作一个平面,这这n n小小块块平面面平面面积积之和可近似之和可近似看作球的表面看作球的表面积积.当当n n趋趋近于无近于无穷穷大大时时,这这n n小小块块平面面平面面积积之和接近之和接近于甚至等于球的表面于甚至等于球的表面积积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：O OO O球的表面积球的表面积第第二二步：步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：O OO O球的表面积球的表面积第第三三步步：化化为为准准确确和和 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:“小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥O O球的表面积球的表面积