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1、 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)第五节反函数第五节反函数 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)考纲要求1.会求一些简单函数的反函数2了解反函数的概念及互为反函数的图象关系考试热点1.会求函数的值域(即反函数的定义域)，能通过解方程会用y表示x.2利用反函数的概念和互为反函数的相关性质解决相关问题.高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)1反函数及其有关概念(1)函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)解得x(y)如果对于y在C中的任何一个值，通过x(y)，x
2、在A中都 和它对应，那么x(y)表示y是自变量，x是 的函数，那么把叫做函数yf(x)的反函数，记作(2)习惯上函数yf(x)的反函数记作有唯一的值x(y)xf1(y)yf1(x)自变量y 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)(3)如果函数yf(x)有反函数yf1(x)，那么函数yf1(x)的反函数就是这就是说与 互为反函数(4)函数yf(x)的定义域，正好是它的反函数yf1(x)的，函数yf(x)的值域正好是它的反函数yf1(x)的yf(x)yf(x)yf1(x)值域定义域 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)2互为反函数的函数图象间的关系(1)函数yf(x)的图象和它的
3、反函数yf1(x)的图象关于对称(2)若函数yf(x)的图象过点(a，b)，则yf1(x)的图象必过点，即f(a)b.直线yx(b，a)f1(b)a 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)(3)有关互为反函数的部分结论互为反函数的两个函数在相应的区间上单调性 定义域上的单调函数反函数定义域为非单元集的偶函数反函数奇函数若存在反函数，则它的反函数是 (填“奇函数”或“偶函数”)周期函数反函数相同存在不存在奇函数不存在 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)注意：互为反函数的两个函数的图象的对称性是在横、纵坐标单位长度相同的前提下研究的 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版
4、)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)答案：D 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)解析：由x4得f(x)2，反函数的定义域为2，)，故可排除A、C，又由x4时得f1(x)4，则可排除D.故选B.答案：B 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)3若函数yf(x)的反函数是yg(x)，f(a)b，ab0，则g(b)等于 ()AaBa1Cb Db1解析：由f(a)b，f1(b)a，即g(b)a，应选A.答案：A 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)4已知f(x)2xb的反函数为f1(x)，若yf1(x)的图象经过Q
5、(5,2)，则b_.解析：函数yf1(x)的图象过点Q(5,2)，于是yf(x)的图象过点(2,5)，则22b5，所以b1.答案：1 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)拓展提升掌握求反函数的三个步骤，准确地求出反函数，其次注意求分段函数的反函数时应分别求出各段函数的反函数后再合成 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学
6、(大纲版大纲版)答案4 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)拓展提升考试大纲要求“会求一些简单函数的反函数”本题以分段函数的形式给出函数解析式，由此构建出一个新的函数，求此函数的函数值其中涉及g1(4)的函数值的求解问题，通法是先求得g(x)的反函数，将4代入即可，但分段函数的反函数求解较为麻烦，可以通过设而不求法来求解，具体模式为令g(a)4ag1(4)，解方程可得字母a的值 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)例3若函数f(x)的反函数为f1(x)，则函数f(x1)与f1(x1)的图象可能是 ()高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)解f(x1)的图象与f1(x
7、1)的图象各自由yf(x)与yf1(x)的图象向右平移一个单位得到，所以f(x1)的图象与f1(x1)的图象关于yx1(由yx向右平移一个单位)对称选项B，D中，其中之一的图象过点(0,2)，那么关于yx1对称后，过点(3，1)，即另一个函数的图象过点(3，1)，所以B，D错误；选项C中，其中之一的图象过点(0,1)，那么关于yx1对称后，过点(2，1)，即另一个函数的图象过点(2，1)，所以C错误；用同样方法检验可得A是正确的答案A 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)拓展提升yf(x)的图象与yf1(x)的图象关于yx对称，而yf(xa)(a0)的图象是由yf(x)的图象向右平移
8、a个单位得到的，yf1(xa)的图象是由yf1(x)的图象向右平移a个单位得到的，故yf(xa)与yf1(xa)的对称轴为yxa.高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)(1)函数yf(x)的反函数yf1(x)的图象与y轴交于点P(0,2)(如图1所示)，则方程f(x)0的根是x等于()A4B3C2 D1(2)函数y1ax(0a1)的反函数的图象大致是下图中的()解析：(1)反函数图象经过(0,2)，原函数图象经过(2,0)，x2.答案为C.高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)图1(2)y1ax(0a1)答案为A.也可先作y1ax(0a1)的图象，再作关于直线yx对称的图象 高
9、三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)答案：(1)C(2)A 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)答案：A 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)1反函数的存在规律和解题技巧(1)反函数的存在规律偶函数在其定义域上(定义域不能为0)一定没有反函数；奇函数在其定义域上不一定有反函数，如果有，则反函数仍
10、为奇函数；单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数相同；周期函数在其定义域上一定没有反函数(2)灵活运用f1(a)bf(b)a有时可提高解题速度 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)2互为反函数的图象之间的关系(1)函数yf(x)与它的反函数xf1(y)是同一函数，它们的图象相同(这时由图象所确定的对应关系不同，即f：xy；而f1：yx)(2)函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称(互为反函数的图象关于直线yx对称实质上是因为将反函数xf1(y)中的x、y互换后才引起图象发生变化)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)(3)若函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图象有交点，则交点或者在直线yx上，或者关于直线yx对称(4)若函数yf(x)与其反函数yf1(x)的图象有交点，且yf(x)是其定义域上的单调递增函数，则其交点必定在直线yx上 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)