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1、 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)第五节轨迹问题第五节轨迹问题 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)考纲要求掌握求轨迹方程的常用方法，会求满足某些简单条件的动点的轨迹方程考试热点由于求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个重点，所以在历年高考中有关曲线的轨迹方程出现的频率较高，而现在高考中注意考查学生的分析问题和解决问题的能力以及逻辑推理能力、运算能力等，求轨迹方程恰好能很好地反映学生在这方面的掌握程度.高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)1曲线与方程的
2、关系在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)；(2)这时称方程f(x，y)0为曲线C的方程，曲线C为方程f(x，y)0的曲线曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解以方程f(x，y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)2求曲线方程的步骤用直接法求曲线方程要重点掌握五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设M(x，y)为曲线上的任意一点；(2)写出适合条件P的点M的集合PM|P(m)；(3)用坐标表示条件P(m)，列出方程F(x，y)0；(4)化方程F(x，y)0为最简形式；(5)证明以化简后
3、的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)注意：通常第(2)步可省略，如果化简过程为同解变形第(5)步也可省略如果第(2)步到第(3)步不是等价关系，或者第(4)步的变形不是同解变形，就必须检查轨迹是否完备，是否纯粹，即补漏和去伪 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)3求轨迹方程的几种常用方法(1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式(2)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(3)转换法：也叫相关点代入法，就是利用
4、所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标(x，y)之间的关系式 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)图图1 1 答案：D 高三总复习高三总复习 数学数学
5、(大纲版大纲版)2已知如图2所示两点A(2,0)、B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是 ()A(x2)2y24(y0)B(x1)2y21(y0)C(x2)2y24(y0)D(x1)2y21(y0)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)答案：C 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)答案：D 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)4两条直线axy10和xay10(a1)的交点的轨迹方程是_ 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大
6、纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)直线法求轨迹方程例1图4如图4，已知点A在x轴上，点B在y轴上，且|AB|2，点M分有向线段AB的比为，求点M的轨迹方程，并说明曲线是什么 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大
7、纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)拓展提升求点的轨迹的方程一定要注意变量的取值范围，常常会挖去一些特殊点 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)答案：A 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)转移法求轨迹方程例3图7M是抛物线y2x上一动点，以OM为一边(O为原点)，作正方形MNPO如图7，求动点P的轨迹方程 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)拓展提升体会相关点求轨迹方程的实质，就是用所求动点P的坐标表达式(即含有x、y的表达式)表示已知动点M的坐标(x0，
8、y0)，即得到x0f(x，y)，y0g(x，y)，再将x0，y0的表达式代入点M的方程F(x0，y0)0中，即得所求 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)已知抛物线y22x，O为顶点，A、B为抛物线上两动点，且满足OAOB，如果OMAB，垂足为M，求M点的轨迹 高三总
9、复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)1解析几何主要研究两类问题：一是根据条件确定曲线方程，二是利用方程研究曲线的几何性质本节的轨迹问题属于第一类问题但确定曲线的方程，总体上又分两种：一种是确定已知曲线的方程，主要是待定系数法和基本量运算，另一种是确定未知曲线的方程，本节的主要内容又属于第二种情况2要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)3“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性4轨迹问题是高考重点考查的内容，常常与最值及分类讨论的思想结合在一起，解析几何中的“求轨迹方程，并说明是什么曲线”是近几年高考的热点，它综合考查了学生逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力 高三总复习高三总复习 数学数学(大纲版大纲版)