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1、1.设设A，B，C为三个事件，用为三个事件，用A，B，C的运算关系表的运算关系表示下列事件示下列事件:l A发生，发生，B与与C为不发生为不发生lA，B都发生，而都发生，而C不发生不发生lA，B，C至少有一发生至少有一发生lA，B，C都发生都发生lA，B，C都不发生都不发生lA，B，C中不多于一个发生中不多于一个发生lA，B，C中不多于两个发生中不多于两个发生lA，B，C中至少有两个发生中至少有两个发生或或 A(AB+AC)或或 AB ABC A+B+CABCA B C 或或 S (A+B+C)AB+BC+AC Ch1-2复习复习1、古典概型中概率的计算、古典概型中概率的计算记记 n=样本空间
2、中基本事件的个数样本空间中基本事件的个数k=事件事件A中包含的基本事件的个数中包含的基本事件的个数 Ch1-3复习复习2、排列组合、排列组合从从 n 个不同的元素中取个不同的元素中取 r（r n）个进行排列：个进行排列：或者，有或者，有 n 个不同的元素，从中依次取出个不同的元素，从中依次取出 r个，问有几个，问有几种取法：种取法：从从 n 个不同的元素中取出个不同的元素中取出 r 个，结果有多少种可能？个，结果有多少种可能？没有排列、次序之分，只要取出的没有排列、次序之分，只要取出的r个元素一样，就认个元素一样，就认为结果相同。为结果相同。Ch1-4复习复习3、几何概型、几何概型 设样本空间
3、为有限区域,若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比,则样本点落入G内的概率为Ch1-5n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定间房的每一间中，求指定n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.n个人，设每个人的生日是任一天的概率为个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求求这这n(n 365)个人的生日互不相同的概率个人的生日互不相同的概率.基本事件个数：基本事件个数：指定指定n间房各有一人间房各有一人包含的基本事件个数：包含的基本事件个数：基本事件个数：基本事件个数：n个人生日各不同个人生日各
4、不同包含的基本事件个数：包含的基本事件个数：2.在电话号码薄中任取一个电话号码，问后四位数全在电话号码薄中任取一个电话号码，问后四位数全不相同的概率。设其中后四位数中的每一个数都是不相同的概率。设其中后四位数中的每一个数都是等可能性地取之等可能性地取之0，1，2，9。解：记解：记A表示表示“后面四个数全不相同后面四个数全不相同”3.在房间里有在房间里有10个人，分别佩带着从个人，分别佩带着从1号到号到10号的纪号的纪念章，任意选三人记录其纪念章的号码。求念章，任意选三人记录其纪念章的号码。求（1）最小号码为最小号码为5的概率；的概率；（2）最大号码为最大号码为5的概率。的概率。解：记解：记A表
5、示表示“三人纪念章的最小号码为三人纪念章的最小号码为5”，则，则 B表示表示“三人纪念章的最大号码为三人纪念章的最大号码为5”，则，则 4.某油漆公司发出某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆桶油漆，其中白漆10桶，黑漆桶，黑漆4桶，桶，红漆红漆3桶。在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这桶。在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货些标签重新贴上，问一个定货4桶白漆，桶白漆，3桶黑漆，桶黑漆，2桶红漆的顾客，按规定如数得到定货的概率。桶红漆的顾客，按规定如数得到定货的概率。解：记所求事件为解：记所求事件为A。在在17桶中任取桶中任取9桶的取法有桶的取法有 种种 ，取得取得4白白
6、3黑黑2红的取法有红的取法有 。故。故 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础公理是数学体系的基础.数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容.3 3、概率的公理化定义及性质、概率的公理化定义及性质 即通过规定概率应具备的即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的
7、公理尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.公理公理3 若事件若事件A1,A2,两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理1 0 P(A)1 (1)设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为P(A)，称为事
8、件称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P()满足下述三条公理满足下述三条公理:公理公理3 若事件若事件A1,A2,两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理 1 0 P(A)1 (1)公理公理1说明，任一事件的概率介于说明，任一事件的概率介于0与与1之间；之间；公理公理2说明，必然事件的概率为说明，必然事件的概率为1；公理公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们
9、各自概率之和率正好等于它们各自概率之和.因为因为1=P(S)=P(A)+P()性质性质1对任一事件对任一事件A，有有 (4)性质性质1在概率的计算上很有用，如果在概率的计算上很有用，如果正面计算事件正面计算事件A的概率不容易，而计算其的概率不容易，而计算其对立事件对立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计算P(A).性质性质1对任一事件对任一事件A，有有 (4)例例1 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“6”点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6”点点A发生发生出出1次次“6”点点出出2次次“6”点
10、点出出3次次“6”点点出出4次次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦,我们先来计算我们先来计算A的对立事件的对立事件=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概率.于是于是 P(A)=1 P(A)=0.518 因此因此 P(A)=0.482由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 =1296种等可能结果种等可能结果,而导致事件而导致事件 A =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有 5555 =625种种 例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“
11、至少有两至少有两人同生日人同生日”的概率的概率.为求为求P(A),先求先求P()解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 =r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前、人人山山人人海海的的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果果竟发现其中有两人
12、同生日竟发现其中有两人同生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少有两人同生日的概率为为0.476.表表 3.1 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的.实际上实际上,这个假这个假定并不完全成立，有关的实定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还
13、要大际概率比表中给出的还要大.当人数超过当人数超过23时，打赌说时，打赌说至少有两人同生日是有利的至少有两人同生日是有利的.性质性质2 (5)即不可能事件的概率为即不可能事件的概率为0.令令 再利用性质再利用性质1及公理及公理2即得即得.移项得移项得(6),便得便得(7).再由再由由可加性由可加性 性质性质3 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 ,则则 有有 (6)(7)Ch1-22例例.抛抛掷掷一一颗颗骰骰子子，点点数数是是除除2之之外外的的偶偶数数的的概概率有多大？率有多大？解：解：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，A B所以所以P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/
14、6P(掷出掷出4、6点点)=2/6 又因又因再由性质再由性质 3便得便得(8).性质性质4对任意两个事件对任意两个事件A、B，有有 (8)事件互斥时的加法公式事件互斥时的加法公式 事件相容时的加法公式事件相容时的加法公式 ABB关于加法公式关于加法公式 三个事件和的概率为三个事件和的概率为 推广到多个事件推广到多个事件 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)n个事件和的概率为个事件和的概率为 例例1 设元件盒中装有设元件盒中装有50个电阻，个电阻，20个电感，个电感，30个电容，从盒中任取个电容，从盒中任取30个元件，求所取元个元件，求
15、所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率概率.理解题意理解题意,用字母表示事件用字母表示事件电阻50个,电容30个,电感20个.导出所求事件概率导出所求事件概率的计算公式的计算公式所求概率为所求概率为P(AB)解解:设设A=所取元件中至少有一电阻所取元件中至少有一电阻B=所取元件中至少有一电感所取元件中至少有一电感 代入数据计算代入数据计算从盒中任取从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率一个电阻同时至少有一个电感的概率.电阻50个,电容30个,电感20个.例例2.甲、乙两人先后从甲、乙两人
16、先后从52张牌中各抽取张牌中各抽取13张张,求甲或乙拿到求甲或乙拿到4张张A的概率的概率.1)甲抽后不放回，乙再抽甲抽后不放回，乙再抽;2)甲抽后将牌放回，乙再抽甲抽后将牌放回，乙再抽.1)1)A、B互斥互斥P(A+B)=P(A)+P(B)解：设解：设A=甲拿到甲拿到4张张A，B=乙拿到乙拿到4张张A所求为所求为P(A+B)计算计算P(A)和和P(B)时用古典概型时用古典概型Ch1-302)A、B相容相容P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)解：设解：设A=甲拿到甲拿到4张张A，B=乙拿到乙拿到4张张A所求为所求为P(A+B)例例3 小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏游戏,他能
17、答出第一类他能答出第一类问题的概率为问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为答出第二类问题的概率为0.2,两类两类问题都能答出的概率为问题都能答出的概率为0.1.求小王求小王解解 设事件设事件Ai 表示表示“能答出第能答出第 i 类问题类问题”i=1,2(1)(1)答出第一类而答不出第二类问题的概率答出第一类而答不出第二类问题的概率 (2)两类问题中至少有一类能答出的概率两类问题中至少有一类能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率两类问题都答不出的概率(2)(3)例例4 设设A,B满足满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何在何条件下，条件下，P(AB)取得最大取得最大(小小)值？最
18、大值？最大(小小)值值是多少？是多少？解解最小值在 时取得 最小值最小值 最大值最大值最大值在最大值在 时取得时取得 设设Ai=第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封 i=1,2,3 A=没有一封信装对地址没有一封信装对地址例例5、某人将三封写好的信随机装入三个写某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？概率是多少？直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算 =至少有一封信装对地址至少有一封信装对地址则则代入计算代入计算 的公式中的公式中应用加法公式应用加法公式 于是于是推广到推广到n封信封信,用
19、类似的方法可得用类似的方法可得:把把n 封信随机地装入封信随机地装入n个写好地个写好地址的信封中址的信封中,没有一封信配对的没有一封信配对的概率为概率为:实际中的各种配对问题实际中的各种配对问题学生和学习证配对学生和学习证配对;球箱号码配对球箱号码配对人和自己的帽子配对人和自己的帽子配对;两副扑克牌配对两副扑克牌配对;你还可以举出其它配对问题，并提出你还可以举出其它配对问题，并提出其中要回答的概率问题，留作课下练习其中要回答的概率问题，留作课下练习.小结：小结：事件互斥时的加法公式事件互斥时的加法公式 事件相容时的加法公式事件相容时的加法公式它们在计算概率中很有用，要牢固掌握它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.