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1、一、几何概型一、几何概型三、小结三、小结1.32 1.32 几何概型和几何概型和概率的公理化定义概率的公理化定义二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义 把有限个样本点推广到无限个样本点把有限个样本点推广到无限个样本点的场合的场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型.由此形成由此形成了确定概率的另一方法了确定概率的另一方法 几何方法几何方法.概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点,但但它也有明显的局限性它也有明显的局限性.要求样本要求样本点有限点有限,如果样如果样本空间中的样本点有无限个本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义概率的古典定义就不适用了就不适用了.一、
2、几何概率一、几何概率定义定义1.4 定义定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并并且任意一点落在度量且任意一点落在度量(长度长度,面积面积,体积体积)相同的相同的子区域是等可能的子区域是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.几何概型的概率的性质几何概型的概率的性质(1)对任一事件对任一事件A,有有 那么那么 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,
3、在在预预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b(a)的针的针,试求试求针与任一平行直线相交的概率针与任一平行直线相交的概率.解解蒲丰资料蒲丰资料由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazz
4、erini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者 1933年年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展使概率论有了迅速的发展.二、概率的公理化定义与性质二、概率的公理化定义与性质柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料概率的可列可加性概率的可列可加性1.
5、概率的定义概率的定义1.71.7证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得2.性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证明证明证明证明证明证明 由图可得由图可得又由性质又由性质 3 得得因此得因此得推广推广-三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况解解 ABAB例例3 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除,又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少?设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”则所求概率为则所求概率为解解于是所求概率为于是所求概率为2.最简单的随机现象最简单的随机现象古典概型古典概型 古典概率古典概率三、小结三、小结1.频率频率(波动波动)概率概率(稳定稳定).几何概型几何概型 几何概率几何概率(无限等可能情形无限等可能情形)4.概率的主要性质概率的主要性质Born:25 April 1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct 1987 in Moscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov