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1、第第3 3节节 概率的公理化定义及其性质概率的公理化定义及其性质定定定定义义义义3.1 3.1 3.1 3.1 设设设设E E为为为为随随随随机机机机试试试试验验验验,是是是是它它它它的的的的样样样样本本本本空空空空间间间间，F F是是是是的的的的一一一一些些些些子子子子集集集集所所所所组组组组成成成成的的的的集集集集合合合合族族族族。如如如如果果果果F F满满满满足足足足如如如如下下下下条条条条件：件：件：件：则称集类则称集类则称集类则称集类F F为为为为s s s s-代数代数代数代数，称，称，称，称F F中的元素为中的元素为中的元素为中的元素为事件事件事件事件，为必为必为必为必然事件，空
2、集然事件，空集然事件，空集然事件，空集f f f f为不可能事件，为不可能事件，为不可能事件，为不可能事件，(,F F)为为为为可测可测可测可测空间空间空间空间.柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫,1933,1933,1933,1933年年年年 前苏联著名数学家，现代概率论开创者前苏联著名数学家，现代概率论开创者前苏联著名数学家，现代概率论开创者前苏联著名数学家，现代概率论开创者例例例例1.1.1.1.F F=f,f,f,f,为为为为s s s s-代数，这是最小的为代数，这是最小的为代数，这是最小的为代数，这是最小的为s s s s-代数代数代数代数.例例例例2.2.2.2.设
3、设设设A A 为任意集合，则为任意集合，则为任意集合，则为任意集合，则 F F=f,f,f,f,A A,为为为为s s s s-代数代数代数代数.例例例例3.3.3.3.设设设设为任意有限集为任意有限集为任意有限集为任意有限集,则则则则 F F=2=2=2=2=的子集的子集的子集的子集 为为为为s s s s-代数代数代数代数.例例例例4.4.4.4.设设设设为任意的集合为任意的集合为任意的集合为任意的集合,则则则则 F F=2=2=2=2=的子集的子集的子集的子集 为为为为s s s s-代数代数代数代数.例例例例5.5.5.5.设设设设为实数限集为实数限集为实数限集为实数限集,如果如果如果
4、如果F F是由所有的有界是由所有的有界是由所有的有界是由所有的有界半闭区间半闭区间半闭区间半闭区间 生成生成生成生成的的的的为为为为s s s s-代数代数代数代数.则称则称则称则称F F为为为为BorelBorel s s s s-代数，代数，代数，代数，F F中的元素叫做中的元素叫做中的元素叫做中的元素叫做Borel Borel 集集集集.可测空间可测空间可测空间可测空间(,F F)具有以下性质具有以下性质具有以下性质具有以下性质证明从略证明从略证明从略证明从略定义定义定义定义3.2 3.2 3.2 3.2 设设设设(，F F)是一个可测空间，对每一集是一个可测空间，对每一集是一个可测空间
5、，对每一集是一个可测空间，对每一集A A F F，定义实值，定义实值，定义实值，定义实值集函数集函数集函数集函数P P(A A)，若它满足如下三，若它满足如下三，若它满足如下三，若它满足如下三个条件：个条件：个条件：个条件：(1)(1)(1)(1)非负性条件非负性条件非负性条件非负性条件：对每一集：对每一集：对每一集：对每一集A A F F,都有都有都有都有 0 0 0 0P P(A A)1;)1;)1;)1;(2)(2)(2)(2)规范性条件规范性条件规范性条件规范性条件：P(P(P(P()=1;)=1;)=1;)=1;(3)(3)(3)(3)可列可加性条件可列可加性条件可列可加性条件可列可
6、加性条件:设设设设A Ai i F F,i=1,2,i=1,2,而且而且而且而且A Ai iA Aj j=,ijij,i,j=1,2,i,j=1,2,有有有有则称则称则称则称集合函数集合函数集合函数集合函数P P()为为为为(，F F)上的上的上的上的概率概率概率概率，P P(A A)为事件为事件为事件为事件A A的的的的概率概率概率概率，(,F F,P P)为一个为一个为一个为一个概率空间概率空间概率空间概率空间.性质性质性质性质1.1.1.1.P(P(P(P()=0.)=0.)=0.)=0.概率的性质概率的性质于是由于是由于是由于是由可列可加性可列可加性可列可加性可列可加性得得得得又由又由
7、又由又由P P()0000得得得得,P P()=0)=0)=0)=0证明证明证明证明:设设设设A An n=(n n=1,2,),=1,2,),=1,2,),=1,2,),则则则则,且对于且对于且对于且对于证明证明证明证明 令令令令A An+1n+1=A=An+2n+2=,则由可列可加性则由可列可加性则由可列可加性则由可列可加性及及及及P P()=0)=0)=0)=0得得得得 性质性质性质性质2 2 2 2.即即即即性质性质性质性质3.3.3.3.对于任一事件对于任一事件对于任一事件对于任一事件A A,有有有有 证明证明证明证明 因为因为因为因为且且且且 ，因此有因此有因此有因此有证明证明证明
8、证明 由由由由A A B B知知知知B B=A A(B B-A A),),),),且且且且A A(B B-A A)=)=)=)=,性质性质性质性质4 4 4 4 设设设设A,BA,B是两个事件是两个事件是两个事件是两个事件,若若若若A A B B,则有则有则有则有 P P(B-AB-A)=)=)=)=P P(B B)-)-)-)-P P(A A)推论推论推论推论 若若若若A A B B，则，则，则，则P P(B B)P P(A A)证明证明证明证明 由由由由P P(B B)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B-AB-A)和和和和P P(B-AB-A)0)0)0)0 知知知知
9、P P(B B)P()P()P()P(A A)因此由概率的有限可加性得因此由概率的有限可加性得因此由概率的有限可加性得因此由概率的有限可加性得 P P(B B)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B-AB-A)从而有从而有从而有从而有 P P(B-AB-A)=)=)=)=P P(B B)-)-)-)-P P(A A)证明证明证明证明 因为因为因为因为A-B=A-ABA-B=A-AB,且且且且ABAB A A 故故故故推论推论推论推论 对于任意两事件对于任意两事件对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有，有，有，有 P P(A-BA-B)=)=)=)=P P(A A)-)-)
10、-)-P P(ABAB)P P(A-BA-B)=)=)=)=P P(A-ABA-AB)=)=)=)=P P(A A)-)-)-)-P P(ABAB)性质性质性质性质5 5 5 5 对于任意两事件对于任意两事件对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有，有，有，有 P P(A AB B)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B B)-)-)-)-P P(ABAB)上式称为概率的上式称为概率的上式称为概率的上式称为概率的加法公式加法公式加法公式加法公式.证明证明证明证明 因因因因 A AB B=A A(B-ABB-AB)且且且且A A(B-ABB-AB)=)=)=)=,ABAB B
11、 B故故故故 P P(A AB B)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B-ABB-AB)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B B)-)-)-)-P P(ABAB)概率的加法公式可推广到多个事件的情况概率的加法公式可推广到多个事件的情况概率的加法公式可推广到多个事件的情况概率的加法公式可推广到多个事件的情况.设设设设A,B,CA,B,C是任意三个事件，则有是任意三个事件，则有是任意三个事件，则有是任意三个事件，则有 P P(A AB BC C)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B B)+)+)+)+P P(C C)-P P(ABAB)-)-)
12、-)-P P(BCBC)-)-)-)-P P(CACA)+P P(ABCABC)一般地一般地一般地一般地,对于任意对于任意对于任意对于任意n n个事件个事件个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n,有有有有多除少补原理多除少补原理多除少补原理多除少补原理性质性质性质性质6 6 6 6 (概率的连续性概率的连续性概率的连续性概率的连续性)设设设设A Ai i F F,i=1,2,i=1,2,而且而且而且而且则有则有则有则有证明从略证明从略证明从略证明从略推论推论推论推论 设设设设A Ai i F F,i=1,2,i=1,2,而且而且而且而且则有则有则有则有证明证明证明证明 设设设设
13、B Bi i=A Ai i AA，对对对对B Bi i 应用性质应用性质应用性质应用性质5 5即可即可即可即可.定理定理定理定理3.1 3.1 3.1 3.1 设设设设P P为可测空间为可测空间为可测空间为可测空间(,F F)上的非负实值集上的非负实值集上的非负实值集上的非负实值集函数，且函数，且函数，且函数，且P P()=1,)=1,)=1,)=1,则具有则具有则具有则具有可列可加性可列可加性可列可加性可列可加性的充要条件是的充要条件是的充要条件是的充要条件是 (1)(1)(1)(1)P P是是是是有限可加的有限可加的有限可加的有限可加的；证明从略证明从略证明从略证明从略 (2)(2)(2)
14、(2)P P是是是是连续的连续的连续的连续的.例例例例1 1 1 1 设设设设(,F F,P P)为一个为一个为一个为一个概率空间概率空间概率空间概率空间.A,BA,B F F，且，且，且，且 ABAB=，求证，求证，求证，求证 P P()P P(B B).).).).证明证明证明证明 因因因因ABAB=，由非负性和有限可加性，得，由非负性和有限可加性，得，由非负性和有限可加性，得，由非负性和有限可加性，得1111P P(A+A+B B)=)=)=)=P P(A A)+)+)+)+P P(B B)故故故故P P()=1-P=1-P(A A)P P(B B).).).).解解解解例例例例2 2 2 2 作业：作业：作业：作业：P27P27P27P27，T16,17.T16,17.T16,17.T16,17.