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1、试题一1 .若整系数多项式/(X)在有理数域可约，则/(X)一定有有理根.()2 .若p(x)、q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x)#l,则存在非零常数c,使得p(x)=c、q(x).()3 .对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.()4 .若矩阵A的所有r +1级的子式全为零，则A的秩为r.()5 .若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数.()6.若 向 量 组,.a?,a,(sl)线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合.()7 .若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.()8 .若矩阵4、8满足AB =O,且A/0,则8
2、 =0.()9 .4称为对称矩阵是指A =A.若A与3都是对称矩阵，则A B也是对称矩阵.()1 0 .设级方阵A、B、。满足=E为单位矩阵，则CAB =E .()得分二、填空题：(每小题2分，共2 0分)1 .设g(x)|/(x),则/(x)与g(x)的最大公因式为.2.设。工0,用g(x)=ax-b除 了(x)所得的余式是函数值_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 .多项式/(x)、g(x)互素的充要条件是存在多项式“(X)、以外使得4 .一个级矩阵A的行(或列)向量组线性无关，则A的秩为.5 .线性方程组有解的充分必要条件是.6.设 矩 阵A可逆，且|A|=1,则A的伴随矩
3、阵A*的逆矩阵为.7.设4、8为”阶方阵，则(A+B)2 =A2 +2 A8 +B 2的充要条件是.8.设P、。都是可逆矩阵，若PXQ=B,则乂=.9.若%+a?+a,=0,贝iJ向量组a,a2,.,.必线性.10.一个齐次线性方程组中共有勺个线性方程、个未知量，其系数矩阵的秩为人，若它有非零解，则它 的 基 础 解 系 所 含 解 的 个 数 为.得 分Ih 三、计 算 题(每小题5分，共20分)1.求多项式/(x)=X，+x?+2 x-4与g(x)=丁+2x?-4 x+l的最大公因式.1,1（n级）1 +0+a 11 +a2.1 17 0 0、3.设A=b a 0,给出A可逆的充分必要条件
4、，并在A可逆时求其逆.J b%4.求向量组a=(l,l,l)、4=(1,2,3)、7=(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.B四、设向量组名,。2,见 线性无关，而向量组万线性相关，证明：夕可以由名,%,火 线性表出，且表示法唯一.(本大题10分)得分五、设A是一个秩为 的“X”矩阵，证明：存在一个秩为”一 的x(一r)矩阵8,使A6=0.(本大题10分)得分六（1 0 分）设 A，B3 b2 b,J（1）计算A 8及 B A；（2）证明：B A可逆的充分必要条件是（力）（七 2）。$也；（3）证明：当2时，A B不可逆.（本大题1 0 分）得分七、设
5、线性方程组为玉+工2+工3+工4=1玉+ZX2+七+匕=2为+%+几%3+/=3玉+%+（几1）工4=1讨论4为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）.（本大题1 0 分）试题一参考答案及评分标准课程名称：高等代数(下)执笔人：胡付高一、判断题(每小题2分，共 20分)(1 )X；(2)V；(3)V；(4)X；(5)V；(6)V；(7)X；(8)X；(9)X；(10)V.二、填空题(每小题2 分，共 20分)(1)g(x)；(2)/()；(3)(x)/(x)+v(x)g(x)=1 ；(4)n；a(5)系数矩阵
6、与增广矩阵的秩相等；(6)A；(7)AB=B A；(8)PBQx(9)相关；(10)4 一 3三、计算题(每小题5分，共 20分)1-(/(x),g(x)=x-1 注：本 题 一 般 用 辗 转 相 除 法 求 出 最 大 公 因 式，如 果 分 解 因 式 x)=(x-l)(x2+2x+4),g(x)=(x-l)(x2+3x 1)得到最大公因式，也给满分.2.解：原式=(+a)a，3.解：因为|4|=苏，所以A 可逆的充分必要条件是aw 0.(2分)a2 0 0 A的伴随矩阵A*=-ab a2 0.(4 分)b2 ac-ab a21 7(a2 0 0、故 A*=二-ab a1 0.(5 分)
7、h2-ac-ah a2注：本题在得到A可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法.院系负责人签字 14.由1u1233、(14 -0V 1 0 2、1 1 ，可知a,，为向量组的一个极大线性无关组,0 0,（3分）且有/=2。+6.（5分）注：本题也可以先说明其秩为2,故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意两个向量线性无关），或其它方法均可.四、证 明（1）由%,%，,见，线性相关，存在不全为零的数左，右使ktat+k2a2+krar+kr+xf t=0.（2 分）又由%线性无关，得（+/0 （否则，%,。?，,见线性相关，矛盾），于是有.(5 分)(2)设夕=4%+c 2 a 2 T-Hc
8、rar,(3 -/,+l2a2-1-lrar,则c.a,+-+crar=/仔+4。,，即(q -/()a,+(c2-/2)a2+(,0 1A =p f r Q-,取 B=Q ,则 A B=0.（8 的取法不唯一）.I。o j.（4 分）六(1)AB=，1 +自1 +6 1力1 +ab2 1 +a 2b2 1+他、-1 +a2b2,BA=nE%i=lJ +*1+。也-1 +a也,力t i=l支她/=1 7（2）由于忸川=她 一（4）（），故员4可逆的充分必要条件是忸山工0,即/=1/=1/=1这 生)(力 岫.(7分)i=l/=!=1（3）当 2 时，由于 R（A 6）R（A）W2，故 A 8
9、不可逆.（1 0 分）注：对（3）直接证明M M=O的，只要方法正确，也给满分.（2分）七、解 由于系数行列式|川=（2 -1）2（4 -2）（1）由克莱姆法则知，当/LKI且2x2时.，方程组有唯一解；.（4分）,方程组无解；11 1 130 0 0 0 21 1 0J10 0 0-2 0).p1 11 11 1 1 1)1 2 11 201 0 0 1(3)当 2 =2 时，-111 21 300 1 0 2b1 11 J100 0 0 07方程组有无穷多解:.（.8.分.）.-n与10+k.（.1.0.分.）.工3201 0；dH 11i i、pilln1 211 20 2-1 0 01
10、注：直接作初等变换),然后讨论1 121 30 0 2-1 02Ui1 ；,T b0 0 0 2-2oj方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分.试题二一、判断题：（在括号里打“J”或“X”，每小题2分，共 2 0 分）1.任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1 或减少1.（X）2.44+13a(X)3 .若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数.（J）4.若矩阵A 的秩是广，则 A 的所有，级的子式全不等于零.5.若矩阵A 经过初等变换化为矩阵8,则|川=忸|.6 .若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关.(X)(X)(V )7.任一线性方程组有解O 它的导出组有解.(X)8.若两
11、个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.(X)9.若向量组四,。?，,（s l）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合.（X）1 0 .一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解.（J）二、填 空 题（每小题2分，共 2 0 分）（/?-!）1 .排列（1）3 2 1 的逆序数为一-.2 .五级行列式。中的一项3 a 3 2 a 4 5 a 5 4 在 中的符号为 负.3 .级行列式。按第j 列展开公式是D =+a2 jA2j+-+an jAn j.4 .已知非零向量组a、/3、/两两线性相关，则该向量组的秩为1 .5 .线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于
12、增广矩阵的秩6 .若矩阵A 中有一个厂级子式不为零，则秩（A）2 r.7 .一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、f 个未知量，其系数矩阵的秩为p,若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于f-p .8.一个非齐次线性方程组记为（I ）,它的导出组记为（H）,则（I ）的一个解与（I I）的一个解的 差 是（I）的解.9.一个级矩阵A的 行（或列）向量组线性相关，则A的行列式 等于0 .三、计算下列行列式（每小题5分，共2 0分）.1 0.两个向量组等价是指它们可以相互线性表出.1 8 2 7 6 41 23 33 431 1 1 11 4 9 1 61 22 32 4212 3 4(1)
13、解 原式=1 212 3 412 3 41 22 32 421 1 1 11 1 1 11 23 33 43注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分.abc1bca1(2)cab1解 将所有列加到第1列上，则 第1列与第4列成比例，故原式=0b +cc+aa+h1222注：本题也可以从第4行提取公因子,，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为2元素全为零，故原式=0.解 将所有列全加到第1列并提起公因子，得1 2 1 a2原式=（x +Z）1 a2+x a=(x +Zq)0 x,=11 a2 an+X1=10 01=1a”0X=(X+)X Ti=lq +x
14、 X Xx a1+x x(4)X X%+X(W 0)解 将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得 1=(+x Y)ala,-an.注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算.,=1%-%+X X X X a X原式=一。1 a2.-0=i=%0 a2 0n=(q +。/一吊2%_ 4 0 ,%0 0 ,a四、设线性方程组为:X,+x2+x3+x4=1%1+AX2+x3+x4=1xx+x2+AX3+x4=1X1+%2+9 +(2 1)X4 =2试讨论下列问题:(1)当；l 取什么值时,(2)当；I 取什么值时,线性方程组有唯解？线性方程组无解？(3)当力取什么值时,线性方程组有无穷多解？并在有无穷多
15、解时求其解.(要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解)(共1 5 分)解线性方程组的系数行列式为11111A111112-1(2-1)2(2-2)11110 A 100002-100002-2(1)当(2-1)2(4-2)#0,即4 w 1 且 4。2时，线性方程组有唯一解；1A1(2)当；1 =2时,q111 1 12 1 11 2 11 1 11 0-)1 02)101 1 1 P10 0 00 10 00 0 0 1,线性方程组无解;(3)当；1 =1 时 1 11 11 1J 111111 1、1 1 1 11 10 0 0 0T1 10 0 0 00 2；0 0 0 -11
16、1 0 2、0 0 1-10 0 0 00 0 0 0,1、q0 0001、o线性方程组有无穷多解，且其通解为(x x2,X4)=,(-1,1,0,0)+2(-1,0,1,0)+(2,0,0,-1).五（1）设向量%,%，由 线性无关，证明：向量%+。3，。3 +%线性无关；（2）证明：对 任 意4个向量，向量组/+%,%+%，%+%，%+。1都线性相关.（共1 5分）证 明（1）设占（%+%）+&（%+%）+%3（。3+必）=。，即（占+氏3）%+（匕+%2）。2+（氏2+k 3）%=。由 于%，%线性无关，故有氏1+&=0+2（2）次证表示法唯一：设7 =4。+c2 a 2+.+1%，/=
17、/%+/2 a 2+.+/，则+c2 a 2+*%.=/。+/22+/,az.,即（q -1）a1+（c2-l2）a2+-+（cr-lr）ar=0 由于%,%，火线性无关，故 一4=0,。2一/2=，.，。/一/r=0,即Cj=.（i =l,2,.）,于是表示法唯一.七、（附加题）证明或否定下面命题：若 三 个 向 量 两 两 线 性 无 关，则a,民/线性无关.并说明在三维矢量空间中的几何意义.（1 0分）解 本结论的几何描述是：三个 矢 量（向量）两两不共线，则它们不共面.很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.注 否定上述结论时，也可构造反例，如a =（1
18、,0,0）,尸=（0,1,0）,y=（1,1,0）等,或构造三个二维向量,使它们两两线性无关.试题四题号二三四五六七八总分得分得分一、判 断 题（每小题2分，共2 0分）1 .集合A=a+b拒I a）为整数 是一个数域；（）2.设在数域P上（x-a,/（x）=l,则一定有/（a）HO；（）3.若整系数多项式/（x）无有理根，则/（x）在有理数域上一定不可约；（）4 .设A是级矩阵，是任意常数，则|公|=攵 同 或|到=一修4|；（）5 .设 cd是一个4级排列，则Hcd与b ad c的奇偶性相同：（）6 .设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0,则该线性方程组无解；（
19、）7 .任意等价向量组中所含向量的个数相等；（）8 .任何齐次线性方程组都存在基础解系；（）9.设a,尸都是维列向量，则=（）1 0 .设A,B都是级对称矩阵，且则A与5在复数域上合同.（）得分二、填空题：（每小题2分，共1 4分）1.设a,民/是多项式/（x）=/+b x+c的三个根，则a y=2.四阶行列式中，项。23%2&外4的符号为.3.设矩阵A可逆，且|川=1,则缶*尸4.设A、8为阶方阵，则0 4 +3）04-8）=4 2 8 2的充要条件是,5 .设A为sxt矩阵，则齐次线性方程组A X =0有非零解的充要条件是：秩（A）6 .设a,。,c,4是互异常数，则线性方程组玉+X2+=
20、1 0.三.计 算（每小题6分，共 1 2 分）1 1 1 11 1 1 11 1 1 +。10 0 a 01.原式=(+)二 (+)1 +a 1 10 a 0 01 +4 1 1 1a 0 0 0.（2 分）.（4 分）=(-1)2(+)aT（6分）2.因为|川二。3,所以A可逆的充分必要条件是.（3分）（T-ab b*2-acy（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2,1,（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是且O a2-ab.（6 分）M =X +工 2 +2%3四.f=（X 1 +x2+2X3）2-7X2X3,令、01.(8 分)（1 0 分）f +W j 与/=v v；
21、+-W j(1111、11111、五.解1 z112-0/I 100111213002-102J11A.1、000A-2o（2 分）（1）当；I H l且;I H 2时，方程组有唯一解2-4-2-1（2）当；1 =1时，方程组无解；（3）当；1 =2时，方程组有无穷多解:（4分）.（7 分）.（9 分）.（I I 分）.（1 4 分）六.证 明（1）因 为/可 以 由%,。2,线性表出，所以存在不全为零的数勺使夕=%乌+k2a2 +ksas+ks+y，（2分）若 配1=0,则万可以由囚,。2,，巴线性表出，矛 盾.故 配 产0，.（4分）k k k I从而有y =-a t,-=z2 ,-ZV
22、H-/3.(5 分)L i ks+l ks+i-ks+l（2）（反证法）若y可由因,。2,见 线性表出，又 由 于 用 可 以 由4,7线性表出，得万可以 由.,。2,见 线性表出，矛 盾.故/不 能 由/,0 2,a,线性表出.（1 0 分）七.证 明 考虑齐次线性方程组A r =0,因为秩（A）=r,故存在基础解系。看看,一，作“X ”矩阵 5 =6*2,，配,0,0),则 4 5 =0,且秩()=.(1 0 分)注1在构造矩阵3时，3的后面，列未必一定要取零向量，事实上，只要说明8中每列都是线性方程组A x =0的解，且8中含-r个线性无关的列向量即可.（E 0 1注2本题的另一证法是：
23、由秩（A）=r,存在可逆矩阵尸,。使2 4。=0 o I,即、,*4.下列类型的矩阵A一定相似于对角矩阵（）a.正交矩阵；b.特征值皆为实数的矩阵：c.主对角元两两互异的上三角矩阵.5.A B的充要条件是（）a.A.8具有相同的特征值；b.|A|=|fi|；c.A、8具有相同的不变因子.三、（共15分）设,2，3为V的基，且线性变换X在此基下的矩阵为1 1 1、A=1 1 1J 1 I（1）求女的特征值与特征向量；(2)A是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T使得7一 AT为对角形.得分 四、（10分）设 ,幻 表示数域P上次数小于的多项式及零多项式作成的线性空间.（1）证明：1,工一。,（3
24、一。）2,。一。严 是 心 田 的 一 组 基；（2）求 上 述 的 一 组 基 到 基,的过渡矩阵.五、（12分）设XwL（V）,且42=见 证 明（1）幺的特征值为0或1 ；（2）V=/丫 4（0）.B六（8分）设囚,氏 是欧氏空间V的两两正交的非零向量组，证明它们线性无关.B七（10分）设A是一个固定的级矩阵，证明：（1）W=x A X =XA,X e P、是P 的一个子空间；（2）当A为主对角元两两互异的对角矩阵时，写出W的维数及一组基.A（10分 设?是欧氏空间V的一组向量，记 卬=%，。2，一.，。）得分证明：（1）如 果/卬 使。,以）=0,i=l,2,那么7=0；记 匕=0 Q
25、,）=0,/?eV,i=l,2,那么心=、c匕cc”试题六参考答案及评分标准一、填空题(每小题2分，共20分)(1)网+2,-机3；(2)dim=d i mV,；(3)n2;(4)1 或-1;(5)1;(6)n-1;(7)储-3 4;0100、/、2。3 3 。3 2。3 1 ,002 02(8)a23 a22a2；(9),；(1 0)1 23 1 2000 n-1 3,000 0 )l）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组e,a 2,4称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），
26、所得的部分向量组都线性相关.注 对如下定义也视为正确：向量组四,的一个部分组%，弓2,，名 称为一个极大线性无关组，是指：（i）%,%,4线性无关；（i i）/,。2,a,可 由 线 性 表 出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注 用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“J ”或 X ”，共2 0分）a.+b.1.43 +4(X)2 .若 向 量 组 四,4（Sl）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合.（X）I3.在 全 部 （1）级排列中，奇排列的个数为一.（J）24.若排列 cd为奇排列，则排列斯de为偶排列.（X）5 .若
27、矩阵A的秩是r，则A的所有高于，级的子式（如果有的话）全为零.（J）6 .若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例.（X）7 .当线性方程组无解时，它的导出组也无解.（X）(X)(V)(V)三、（共18分）计算行列式8.对个未知量个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解.9.等价向量组的秩相等.10.齐次线性方程组解的线性组合还是它的解.1 8 27 641 23 33 4311111 4 9 161 22 32 421 2 3 4(1)解 原 式=121 2 3 41 2 3 41 22 32 421 1 1 111111 23 33 43注 用其它方法计算出结果
28、的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分.(2)a b c 1b c a 1c a b 1b+c c+a a+b 12 2 2注 本题也可以从第4行提取公因子!，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为2解 将 所有列加到第1列上，则 第1列与第4列成比例，故原式=0.元素全为零，故原式=0.+石出%4+%an(3)x2 xn w 0).%。2 4+/+斗 a2 a3 a”%(1+色)a2 a3 an-x x2 0 0/=1 Xj0 x2 0 0解 原式=-x 0 00 0 x3 0 玉 0 0 X”0 0 0 xn=xlx2-xn(l+Y y/=1菁注 本题也可按最后一列（或行
29、）展开，得递推式:有正确的递推式但结果有误，给3分.另外对按第一行（或列）展开者类似给分.%+X12 ,%a+玉a?,-0D,=aia2+x2 an+ia2+x2-0=anxlx2-xn_i+xnDn_1,答案正确给满分,ia2 a”%a2-x“四、设向量组 q =(1,1,0,0),a2=(1,2,1,-1),a3=(0,1,1,-1),a4=(1,3,2,1),%=(2,6,4,T).试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出.（1 0 分）“1 01 2 1解0 1 10 -1 -112、10-1 0-1360110224000111、00000（5
30、分）故向量组的秩为3,是一个极大线性无关组，并且（8 分）(X y(Z|+a工 cc5 tZ 1+2a，+%.（1 0 分）注 本题关于极大线性无关组答案中，除.,%，。3 不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5 分.五、讨论义取什么值时下列线性方程组有解，并求解.（1 0 分）/lx,+无2+.=11 2 1J 1、1 1 22 +2A-11+2A 14+2,(3 )1 1 13、1 1 1 -2 +211 2 1 10 2-1 01J1 1 2 11 /0 0 2-11 1 1 -3-)(1 0 1 0 )-2 +2
31、2 +20 1 0 2 +2 0 1 0 -2 +2,故得解为占=o o 1 o o 1 2 +2 J、丸 +2,11+2（5分）-2 1 1 r-2 1 1 1、（2）当；1 =一 2时，增广矩阵1-2 1 11-2 1 1，无解;、1 1 -2 b、0 0 0 3,（7分）1 1（3）当；1 =1 时，增 广 矩 阵 1 1J 11 r 1 1 1 1、1 1-0 0 0 0,有无穷多组解，通解为1 b、0 0 0 0,X 1 =1-尤2 一 七（彳2，3 为自由未知量），或表成 J =（1,0,0）+%（-1,1,0）+4 2（1，1）.（1 0 分）注 本题也可以对增广矩阵用初等行变换
32、的方法讨论.对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分.六、证明题：（每小题1 0分，共3 0分）1 .证 明：如 果 向 量 组,。2,，氏 线 性 无 关，而%,%，力线性相关，则 向 量 可以由%,%,巴 线性表示，且表示法唯一.（1 0分）.证明 由%,6线性相关，存在不全为零的数占，右，,左山，使k1%+%2 a 2 +1,+rar+涓=0 .（2 分）又由名,。2,图线性无关，得左川力0 （否则，%,。2,，氏线性相关，矛盾）.（4分）于是，/?=-C H j-=C L-,-C Cr:.（5 分）彩+1 心 kr+l（2）设尸=C。+C 2 a 2 +阵，.2 a 2 +，则
33、cyay+c 2 a 2 +crar=la+l2a2+lrar,即（q +（c2-l2）a2+-+（cr-lr）ar=0,由于/,%,火 线性无关，故G=C he 2-4 =0,1一）=0，即 q =/,.（i =l,2,r）.（1 0 分）2 .证明：若向量a,/7,/线性无关，则a +夕,也线性无关.并说明该结论对4个向量的情形是否成立.证 明 设4（+万）+右（，+/）+&（/+）=0,即（占+&）a+（4+&）/?）+（&+%）/=0，.（2 分）由 于4,y线性无关，故有%+/=0 k+k2-0 解之得，&=左2=4 3=0 .（5 分）k,+&=0故a+,/?+7,/+a也线性无关
34、.（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个 向 量%,。2，。3，。4线性无关，并不能得到向量%+a2,a2+a3,a3+a4,a4+at 线性无关的结论.注 1 由（。|+&2）-（&2 +&3）+（%+1 4）-（&4 +%）=0 知，%+。2，%+a 3，a 3+%，。4 +%是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注 2 如果认为对4个 向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论：若 4个向量线性无关，则 向 量+%；+1 4，/+3+4,（+a 2+&4，囚+。2+。3 也线性无关.该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分.
35、3.设 6,4 是数域P中个互不相同的数，仇，”是数域P中任一组给定的数.求证：（1）存在唯一的数域P上的次数不超过一1 的多项式/（%）=。0+，俨+*_ 2/-2+%_ 1 1,使，（）=,i=1,2,；（2）特别的，求出使/（q.）=aT，i =l,2,，成立的一 1 次的多项式/（x）.证明 将/（生）=m i =l,2,，代入/（x）=%+q x +%_ 2 彳 -2+c“_ X T ,得/+%”2 c“2 +a；-cn_=仇C0 +。2 c l a2 C -2 +a2 Cn-i=2CO+anCi +，+an C-2 +an=2（2 分）由于系数行列式1 a,1 a21 ana?口（
36、方-）。0,i j +1,贝iJ/(y+l)=(y+l)5+5(y+l)+4=y5+5y4+iOy3+Oy2+0)，+io,取p=5,由Eisenstein判别法知，/(y +1)在。上不可约，从而/(x)在。上不可约；注 也可利用反证法证之：若可约，则/(x)能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或 为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略.(2)因为/(x)是奇次的，则/(幻必有一个实根，此根若是有理根，则/(x)在。上可约，矛盾.注奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将/(x)在实数域上作标准分解，由于实数域上的不可约因式只有一次因式与
37、二次不可约因式，故奇次多项式/(x)一定有一次因式，因此/(x)必有一个实根.另外，对/(x)没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知.2.设/(x),g(x)不全为零，证明(/(x),/(x)+g(x)=(g(x),g(x)/(x).证明 S(/(%),/(x)+g(x)=d(x),(g(x),g(x)-/(x)=J2(x),由 4(x)|/(x)，4(x)|/(x)+g(x)=4(x)|(/(x)+g(x)-/(x)=g(x)=4(x)|g(x)/(x),又d j x)为g(x)与g(x)-/(x)的最大公因式，故d(x)d2(x)；反之，由 d2(x)|g(x)，J2(
38、x)|(x)(g(x)f(x)=/(x)n d2(x)|/(x)+g(x),又4(x)为/(x)与/(x)+g(x)的最大公因式，故右 冏 。又4又)、&(X)均为首 多项式，从而4(%)=2(%)3.若整系数多项式/)有根“，这里(p,q)=l,则(q-p)|/，(q+p)|-l).q证 明 因K为/(x)的 根,则/(x)=(x-K)g(x),g(x)为整系数多项式.q q由/=(l-/)g，即 如 =(q p)g，(q-p)依 ，又(q p,q)=l,故有(q p)|/；由/(一1)=(一1一/皿(一1)，得 (l)=(q+p)g(l)，同理可得(q+p)|/(l)-注 可以由(x 马|
39、/(x),得(qx-p)|/(x),/(x)=(qxp)(x),由于qx p是本原多项式，故(x)为整系数多项式，/(l)=(q p)/i(l),/(-l)=(q +p)/i(l),因此有(q-)/，(q +p)*l).试题十一及答案一、判 断 题（在括号里打“J”或“X ”，每小题2分，共 2 0 分）1 .若向量组四,与向量组自，夕 2,，月 都线性无关，则/,。2,，%，4,2 2,，4 也线性无关；（X ）2 .维线性空间V中任何个线性无关的向量都是V的一组基；33 .对维线性空间V中 任 何 非 零 向 量 在 V中 一 定 存 在 1 个向量自，河，,口），使得勾，4，4,作成丫的
40、 组 基；34.三个子空间匕,匕,匕的和乂+匕+匕 为直和的充要条件是K c%C%=0；（X）5.把复数域看成实数域R上的线性空间，它与R1是同构的；（V）6 .线性空间丫的两组基,。2,甩到四,，月的过渡矩阵是可逆的：（J）7 .V的 任 意 两 个 子 空 间 的 交 匕 与 并 K u匕都是V的子空间；（X）8.集合 W=A|A G P 、,|A|=o 作成P 的子空间；（X ）9 .实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；（义）1 0 .设元实二次型的正负惯性指数分别为s,f,则必有s +K.（V）二、填 空 题（每小题2 分，共 2 0 分）1.如 果 d i m V
41、=i,dim=m2,d i m（K +匕）=m3，则 d i m（K c%）=/叫 +叫一加3 ,2 .两个有限维线性空间匕、匕同构的充分必要条件是d i m 匕=d i m%.3 .两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.4.设实二次型的秩为广，负惯性指数为q,符号差为 机，则r、q、机的关系是r =?+2 q.5.2 x 2 级实对称矩阵的所有可能的规范型是:0 0 (O Y 1、o o j o o j o 0 八 00 (1 0 (-1 0、J 0-1 J O -1,6 .设基a”。?，到基自，居，4的过渡矩阵是A，而基用，月 2,，氏 到 基%，%，九的过渡矩阵是 B,则%，九
42、到囚,。2,，&的过渡矩阵是7 .已知a,，,y为线性空间V的三个线性无关的向量，则子空间/7）+民/）的维数为 3.8 .若 d i m（X+%）=dimK+dim%,则乂 c%=0 .7 1 1、9 .设三维线性空间V的 基冈,%,。3 到 母 河，河 的 过 渡 矩 阵 为 胃=1-1 1 ，罐在基丹，河、1 I f下的坐标为（1,2,3）,在在基名,。2，。3 下的坐标为（4,2,0）.1 0 .n元实二次型/a,乙,x“）=（a l）x：+（a 2）%+（a -沅正定的充分必要条件是常数a满足a .三、简述下列定义（共 1 2 分）1 .级矩阵A、8合同：如果存在可逆矩阵C,使得6
43、=C A C2 .子空间的和 X +匕=a,+a2|a,.e 匕,i =1,2 3 .生成子空间 L（apa2,a3）=攵臼+k2a2+k3 a 3 1 VA i e P,i=1,2,3 4 .子空间的直和：匕+匕中每个向量&的分解式1 =%+。2 （a,匕=1,2）是唯 一 的.四（1 0 分）设 可由%,%，,见线性表出，但不能由名,。2,，氏T线性表出，证明：=Laa2,-,ar_x,p）.证 明 只需证明向量组%,%，与等价:易知因,。2,M i，夕 可由与%,。2,线性表示，另一方面，由于/可由线性表出，故有P=kxa+k2a2+krar,且二声0,（否则/?可线性表出，矛盾），于是
44、ar=-a-ar_,+一 夕，因而/k,kr kr可由-i，A 线性表出，故向量组与 即。2,，%-1，阴 等价，最后不难得到结论.五(1)讨论：X 取什么值时，二次型/l(X；+X；+X；)a+X 2+X 3)2 是正定的.(2)证明当2 =3 时，上述二次型是半正定的.(共1 4 分)解(1)二次型可化为(/1 一1 濡+(/1-1)考+(/1-1)后一2 一2%3-2%2 3,它对应的矩阵是A.-1 1 1、-1 A-l -1、-1 -1 2-1?由二次 型 是 正 定 的 o 它 的 矩 阵 的 所 有顺序主子式全大于零，可得至I J/1-1 0,2(2-2)0 ,22(2-3)0,它
45、等价于X 3,即 二 次 型 是 正 定 的 3.(2)当4 =3 时，二次型可化为(占A+a七)2+(%一七)20,故二次型是半正定的.注 对(2)还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2,负正惯性指数为0.六、设4、8是两个固定的级矩阵，证明：(1)W=x|x eP NAX =X 6 是尸、的一个子空间；(2)当 A =B是主对角元两两互异的对角矩阵时，W 是什么样的子空间，并求卬的维数及一组基(可以只写结果，不必说明理由).(共 1 4 分)解(1)因为 OwW,故 Ww。，对 V X,FeW,即 AX =X B,AY=Y B,得A(X +Y)=AX +AY=X B
46、+Y B=(X+Y)B,于是 X+YGW,设 AeP,又由A(kX)=k(A X)=k(XB)=(kX)B,得到左X eW,因此 W P的一个子空间；(2)W 是所有级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为&1,刍2,心”，d i m I V=7 1.七、设q =(1,1,3,7),a2=(2,1,0,1)%=(1,1,1,1)，a4=(1,2,1,0)(1)分别写出生成子空间L(囚,a?)与 4，)的基和维数；(2)求心(。,。2，。3，。4)的一组基和维数：(3)求(。1,4)门 乙(%,%)的 维 数.(共 1 5 分)解(1)%,%为 乙 3，。2)的一组基，内，6 为 M a s，。
47、的组基，它们的维数都为2；ai,a2,ai,故它的维数为3：2 -11 00 10 01、340,a3,a4)的一组基可取为(3)注意到 L(apa2)+L(a3,a4)=Lava2,a3,a,由维数公式即得 L(at,a2)rL(a3,a4)的维数=2 +2 3 =1.八、补 充 题(共15分，本题得分可以计入总分)设P xn表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的线性空间，a e P.(1)验 证 匕=/(切/(。)=0,/。)田 是 田的一个子空间；(2)求K的一组基及维数；(3)记 匕=尸，则匕也是数域P上的一个子空间，试证明：P x“=匕匕.证明(1)因 为。匕，所 以 匕/。
48、，设/(x),g(x)e%,k e P,则/(a)=0,g(a)=0 ,且/(x)+g(x)e P x,因I t f(a)+g(a)=Q,/(a)=0,故 x)+g(x)e K，4 e 匕，即匕是 P 囚“的一个子空间；(2)对0(x)e P x“，/(x)一定可以表成形式/(x)=%+c,(x-a)+c2(x-a)2 H-l-cn_1(x-a),-|(*)若/(x)e h，则/(幻=,=0,即得/(x)=q(x_ a)+C 2(x_ a)2+q-(x_ a)T,注意到(x a),(x,(工一。)石都属于X，且线性无关，它们构成了 乂的一组基，dim%=l；(3)匕是一个一维子空间，1为它的一
49、组基，由(*)式即得尸 幻“三 匕+匕，故 口x“=h+匕，又 dim(V j +匕)=dim P xn=dim 匕 +dim V2,故 P xn=匕匕.注 对(2)式也可以用数学分析中Taylo r公式/(x)=，(x-a)上 得 到(*)；对(3)也可以设y !W/(x)e 匕 c 匕，则“X)=7 1 =q (x a)+C 2(x-a/+c,.,(x-a)-1,比较两端次数得q=0,i =0,1,2,，一1,即/(x)=0,从而匕c%=0,即匕+匕为直和.试题十二题 号一二三四五六七八九十总 分得 分-（2 4分）计算下列阶行列式:a b c 1h c a 1 c a b 1?b+c c
50、+a a+h 1r rq+%a2 an2.,2 （玉 0）.ai%+x”2 1 0 0 01 2 1 0 03.Dn=0 1 2 0 00 0 0 1 2二(10 分)试讨论。取什么值时，“元二次型a f x；-(f x,)2 是正定的？i=l i=l 1 0 o=(10 分)设 4=1 0 1 .、0 1。，(1)证明：A=A-2+A2-I；(2)求 A .2 11、四(16 分)设 a的线性变换在标准基下的矩阵为A =1 2 1.J 1 2,(1)求 4的特征值和特征向量；(2)求内的.组标准正交基，使。在此基下的矩阵为对角矩阵.五(15 分)证 明：若向量a,7线性无关，则a +/?,/