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1、第六节利用初等变换求矩阵的秩第1页，此课件共20页哦 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换（1）对调两行（对调对调两行（对调i,j两行，记作两行，记作（2）以不为零的数以不为零的数 k 乘某一行的所有元素乘某一行的所有元素 (第第 i行乘数行乘数 k,记作记作一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（3）把某一行的所有元素的把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行对倍加到另一行对 应的元素上去应的元素上去 （第（第i行的行的 k 倍加到第倍加到第j 行上去行上去,记作记作定义定义13 第2页，此课件共20页哦1.把定义中的行换成列，即得矩阵的
2、把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列初等列 变换的定义。变换的定义。2.我们把矩阵的初等行变换和初等列变换，我们把矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的统称为矩阵的初等变换初等变换。注意注意：3.三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之 相应的同相应的同 一类型的初等变换一类型的初等变换,即即 的逆变换就是本身的逆变换就是本身的逆变换是的逆变换是的逆变换是的逆变换是第3页，此课件共20页哦如果矩阵如果矩阵A 经过有限次初等变换变成经过有限次初等变换变成容易验证等价关系满足：容易验证等价关系满足：（1）反身性：对任意矩阵反身性：对任意矩阵 A，（2）对
3、称性：对称性：（3）传递性：传递性：二、矩阵的等价和矩阵的标准形矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵、等价矩阵定义定义14 矩阵矩阵B，则称矩阵，则称矩阵A与矩阵与矩阵B等价，记作等价，记作第4页，此课件共20页哦2.10 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩。即（即（1）若矩阵）若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵经有限次初等行变换变成矩阵B，则，则R（A）=R（B）（2）若矩阵）若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵经有限次初等列变换变成矩阵B，则，则R（A）=R（B）证明：（1）设矩阵设矩阵A的行向量组为的行向量组为定理经过经过3种行变换后得到新矩阵的行向量组分别为：种行变换后得到新矩
4、阵的行向量组分别为：显然，这三个向量组与原来向量组等价，则它们的秩相等，即显然，这三个向量组与原来向量组等价，则它们的秩相等，即R（A）=R（B）同理可证（同理可证（2）第5页，此课件共20页哦初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例2.25解解第6页，此课件共20页哦第7页，此课件共20页哦由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知第8页，此课件共20页哦例例设设其中其中求求解解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故分
5、析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故第9页，此课件共20页哦第10页，此课件共20页哦定理定理 设设A，B都是都是矩阵，则矩阵，则A，B等价等价的充要条件是的充要条件是R（A）=R（B）证明证明 必要性由定理必要性由定理2.10得到得到充分性充分性 设设 R(A)=R(B)=r 则则A，B都与都与 由等价关系的对称性与传递性可知由等价关系的对称性与传递性可知A，B等价。等价。第11页，此课件共20页哦的矩阵称为矩阵的矩阵称为矩阵A的标准形。的标准形。（主对角线上（主对角线上1的个数可以是的个数可以是0）第第r 行行即即2、矩阵、矩阵A 的标准形的标准形形如形如第12页，此课件共20页哦定理定理 任
6、意一个任意一个矩阵矩阵A都和一标准形都和一标准形等价。等价。的矩阵的矩阵 证证 若若A=O，则结论成立（因，则结论成立（因A已是标准形）已是标准形）将第将第i行和第一行互换，第行和第一行互换，第j列和第一列互换，使列和第一列互换，使不为不为0的元素换到左上角的位置，因此不妨设的元素换到左上角的位置，因此不妨设第13页，此课件共20页哦元素都化为元素都化为0，再，再化为化为1，即，即重复上述过程，最终得到重复上述过程，最终得到通过初等变换先把第一行和第一列的其它通过初等变换先把第一行和第一列的其它第14页，此课件共20页哦例例2.19 设设 问：矩阵问：矩阵A和和B是否等价？是否等价？解解 先求
7、先求 A、B的标准形的标准形第15页，此课件共20页哦对对B施行一系列初等变换得施行一系列初等变换得第16页，此课件共20页哦第17页，此课件共20页哦例例4 4 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,最后化最后化为标准形为标准形.并求其并求其秩秩.注意：化矩阵为行阶梯形时仅能用初等行变换注意：化矩阵为行阶梯形时仅能用初等行变换.化化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用.第18页，此课件共20页哦第19页，此课件共20页哦为行阶梯形矩阵。为行阶梯形矩阵。最后得到的矩阵最后得到的矩阵 是是 的标准形，的标准形，秩显然为秩显然为.第20页，此课件共20页哦