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1、v v v v 离散系统的稳定性分析132离散系统的稳态误差分析第4章 计算机控制系统的分析离散系统的动态特性分析v v v v 4.1 离散系统的稳定性分析vs平面和z平面之间的映射v离散系统的稳定条件v离散系统稳定性检测 v v v v 4.1.1 s平面和z平面之间的映射v复变量z和s之间的关系为-2的周期函数v v v v v复变量z的模及相角与s的实部和虚部的关系v s平面的点映射到z平面上，模值唯一，相角不唯一；v z平面上的一个点对应着s平面的多个点，这些点具有同样的实部，虚部相差2k/T。v v v v 例4-1 在S平面上有3个点，分别为S1=-1，S2,3=-1j10，若s
2、=10，试求它们映射在z平面上的点 s平面上实部相同虚部相差整倍数 的所有点映射到z平面上时均位于一点。采样信号在z平面表示，消除了在s平面表示时的周期性.图4-2 例4-1的映射关系 v v v v v s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外.表4-1s平面与z平面关系几何位置 虚轴=0 任意值左半平面 0 任意值几何位置单位圆周=1 任意值单位圆内 1 任意值v v v v v s平面上被分成了许多平行带子，其宽度为s。v 的带子（任意变化）称为主带。v主带映射为整个z平面，而其余每一个旁带也都重叠映射在整个z平面上。主带旁带图4
3、-3 主带映射 图4-4旁带映射 s平面上的主带与旁带的映射v v v v v稳定性是指当扰动作用消失以后，系统恢复原平衡状态的性能。v稳定性是系统的固有特性，与扰动的形式无关，而只取决于系统本身的结构与参数v系统稳定的充要条件：连续系统-特征根全在s左半平面,如有特征根在虚轴上，称作临界稳定，由于响应不会收敛，因此，系统也是不稳定的。离散系统-特征根全部位于z平面单位圆内,即每一特征根的模值应小于1：4.1.2 离散系统的稳定条件v v v v 离散系统稳定充要条件数学上的简单推导v离散系统的脉冲传递函数为v若系统输入为 函数（代表瞬时扰动），系统输出为v v v v v假如该脉冲传递函数有
4、 n个相异的极点 pi，对上式作部分分式分解，有v反变换后得v根据系统稳定性定义，如果系统的函数响应c(k)，在 时衰减为零，即 则离散系统是稳定的。v v v v v为此，要求c(k)每一个分量都要衰减为零，即v由于，为此要求每一特征根的模值应小于1，即位于单位圆中v上述结论对系统中有重根时也成立。v v v v v 检验系统的稳定性，最直接的办法就是求出它的全部特征根。v 优点：判断系统稳定性，了解特征根的具体特性.v 缺点：难于分析系统参数的影响。4.1.3 离散系统的稳定性检测1 直接求取特征方程根v v v v 例4-2 已知系统的特征方程为r=-0.5000 0.8000 0.50
5、00 0.4000利用MATLAB软件中相关指令(roots)，求得特征根：4个特征根模值均小于1，位于单位圆中，系统稳定 MATLAB命令：c=1-1.2 0.07 0.3-0.08;r=roots(c)v v v v v 连续系统的Routh稳定判据准则不能直接应用到离散系统中；v 使用双线性变换，将Z平面变换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半面。v 用Routh判据来判断W特征方程的根是否在W平面的左半面，即系统是否稳定 2 Routh稳定准则v v v v W变换v设（或）v则（或）设vvvv设线性系统的特征方程为劳斯表如下：劳斯判据 vvvv劳斯判据：系统特征方程具有正
6、实部根的数目与劳斯表第一列元素中符号变化的次数相等。n 根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必要条件为：由系统特征方程系数组成的劳斯表的第一列元素没有符号变化。n 若劳斯表第一列元素的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程的根在s右半平面的个数，表明相应的线性系统不稳定。v v v v 例：给定系统的特征方程为 试用Routh判据分析系统的稳定性。解：对其进行 变换 整理，得 该二阶系统的特征方程，经 变换后所得方程的系数不同号，由Routh判据知该系统不稳定。v v v v 例某离散系统如图所示，试用Routh准则确定使该系统稳定k值范围，设T=0.25s。解：该系统的开环Z传递函数为：r
7、(t)y(t)Tv v v v v该系统的闭环Z传递函数为：v求得该系统的闭环Z特征方程为：v 对应的W特征方程为：vRouth表为 w2 0.158k(2.736-0.158k)w1 1.264 0 w0(2.736-0.158k)0v解得使系统稳定的k值范围为0k17.3 v v v v v显然，当 k17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。v 在采样系统里，采样周期是系统的一个重要参数，它的大小影响特征方程的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响v 缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若 T=0.1s，可
8、以得到k值的范围为0k40.5。v 但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。v v v v 4.2 离散系统的动态特性分析v动态特性主要是用系统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。v v v v 极点位置与时间响应的关系v与连续系统类似，如已知脉冲传递函数的极点，同样也可估计出它对应的瞬态响应。v离散系统的脉冲传递函数为v v v v v当 时，离散系统输出的Z变换v将 展开成部分分式v于是v v v v 1.极点位于实轴图 z平面极点分布与脉冲响应（实极点）Pi=0的
9、时间响应为发生在k=0时的脉冲.v v v v（1）极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应单调发散。（2）极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应是等幅的。（3）极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应单调衰减。（4）极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应是以2T为周期正负交替的衰减振荡。（5）极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应是以2T为周期正负交替的等幅振荡。（6）极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应是以2T为周期正负交替的发散振荡。v v v v 例 已知数字滤波器输出响应为z反变换 单调收敛，很快衰减为0稳态值为A振幅为B 的等幅振荡脉冲 v v v v F=sym(0
10、.126*z3/(z+1)*(z-0.55)*(z-0.6)*(z-0.65)numF,denF=numden(F)pnumF=sym2poly(numF)pdenF=sym2poly(denF)r=ones(1,101);k=0:100;c=filter(pnumF,pdenF,r);plot(k,c,-)v v v v Z反变换，对应的瞬态响应为2.极点为复根v v v v v共轭复根对应的脉冲响应 是以余弦规律振荡的。v振荡频率:v振荡幅值与 有关 极点越靠近原点，收敛越快.极点的辐角越大，振荡频率越高.应避免位于负实轴附近v v v v 例：试分析z平面上4对共轭复数极点对应的脉冲响应
11、v v v v v 当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。v 当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近单位圆周，输出的衰减越慢，系统的过渡过程时间越长。v 当极点分布单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的但是由于交替变号，过渡特性并不好。因此在设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面上右半平面内，而且尽量靠近原点。结论v v v v v当离散系统的结构和参数已知时，便可求出相应的脉冲传递函数，在输入信号给定的情况下，便可以得到输出量的Z变换，
12、经过Z反变换，就能得到系统输出的时间序列。v根据过渡过程曲线，可以分析系统的动态特性。用脉冲传递函数分析离散系统的动态特性v v v v 例 某离散系统如图所示，分析该系统的过渡(动态）过程。设系统输入是单位阶跃函数 v解：(1)设 K=1，T=1；则 v v v v v从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调量约为40%，且峰值出现在第3、4拍之间，约经12个采样周期过渡过程结束，如图曲线a所示。v v v v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141.61.41.210.80.60.40.2c(t)tab
13、v v v v（2）设K=1，则v v v v v 当采样周期加大为 时，虽然系统是稳定的，但性能变差，其超调量约为73%，过渡过程时间也加长。v 如果，则系统就不稳定了。这说明一个原来稳定的离散系统，当加大采样周期时，如超过一定程度，系统就会不稳定。v v v v(3)现将图中的保持器去掉，K=1，T=1；则 v 由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为21%，峰值产生在第3拍，调整时间为5拍，如图曲线b所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能好。这是因为保持器有滞后作用所致。v v v v(4)现将图中保持器去掉，设K=5，T=1，则v由上面数据可以看出，当K=5，T=1时
14、，没有保持器的二阶系统是不稳定的，且是正负交替的发散式振荡较剧烈。v v v v num=1;den=1,1,1;连续step(num,den)hold onnum=0,0.368,0.264den=1,-1,0.632;有zohr=ones(1,31);k=0:30;c=filter(num,den,r);plot(k,c,r-);num=0,0.632,0den=1,-0.736,0.368r=ones(1,31);无ZOHk=0:30;c=filter(num,den,r);plot(k,c,g-);legend(1,2,3)v v v v 系 统 类 型时 域 指 标连 续 系 统离散
15、系统（只有采样器）离散系统（有采样器和保持器）峰值时间3.6 3 4调节时间5.3 5 12超调量16.5%20.7%40.0%振荡次数0.5 0.5 1.5v v v v 采样器和保持器对离散系统的动态性能分析v采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度；v零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数也增加，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。v减小采样周期，可以提高系统的稳定性；v放大倍数K增加，系统的稳定性变差v v v v v离散系统稳态误差的定义v离散系统稳态误差的计算v采样周期对稳态误差的影响4.3离散
16、系统的稳态误差分析v v v v 离散系统稳态误差的定义v连续系统的误差信号定义为单位反馈系统指令输入与系统输出信号的差值：v稳态误差定义为：v离散系统的误差信号是指采样时刻的输入与输出信号的差值：v稳态误差定义为：v v v v 稳态误差计算离散系统结构图依z变换的终值定理，离散系统采样时刻的稳态误差为 表明 稳态误差与输入信号R(z)及 系统结构D(z)G(z)特性有关。v v v v v连续系统按其开环传函中所含的积分环节的个数 来划分0型I型II型l 离散系统按其开环传函中所含 的环节的个数 来划分v v v v 稳态位置误差系数对“0”型系统,D(z)G(z)在z=1处无极点,Kp为
17、有限值对“I”型系统,D(z)G(z)在z=1处有1个极点,高于“I”型系统,D(z)G(z)在z=1处有多个极点，若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有1个积分环节。(1)单位阶跃函数 v v v v(2)单位斜坡信号稳态速度误差系数 对“0”型系统,D(z)G(z)在z=1处无极点,对“I”型系统,D(z)G(z)在z=1处有1个极点,对“II”型系统,D(z)G(z)在z=1处有2个极点,v v v v(3)单位加速度信号稳态加速度误差系数 对“0”型系统,D(z)G(z)在z=1处无极点,对“I”型系统,D(z)G(z)在z=1处有1个极点,对“
18、II”型系统,D(z)G(z)在z=1处有2个极点,v v v v 0型系统I型系统 0II型系统 0 0离散系统稳态误差 v v v v 例 对于图所示的离散系统，设 求该系统在三种典型信号的作用下的稳态误差。e*(t)y(t)Tr(t)e(t)G(s)v v v v 解：(1)单位阶跃函数输入时(2)单位速度函数输入时(3)单位加速度函数输入时 v v v v v 如果不能写出闭环脉冲传递函数，则输入信号不能从系统的动态特性分离出来，从而上述静态误差系数不能被定义。v 关于稳态误差，应注意以下几个概念：-系统的稳态误差只能在系统稳定的前提下求得。-稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它只表
19、明该系统不能跟踪所输入的信号，或者说，跟踪该信号时将产生无限大的跟踪误差。-上述稳态误差是由系统的构造（如放大系数和积分环节等）及外界输入作用所决定的原理误差。-系统元部件精度仍可能引入稳态误差，计算机控制系统，由于A/D及D/A字长有限，会带来附加的稳态误差。v v v v 采样周期对稳态误差的影响v 离散系统中采样周期是系统的一个重要参数，故其大小对系统的动态特性及稳定性都有很大的影响。v 从离散系统的误差计算公式看，斜坡信号和加速度信号作用下的稳态误差计算公式 都包含有采样周期。v 分析表明：对于具有零阶保持器的离散系统，稳态误差的计算结果与T无关，它只与系统的类型、放大系数及输入信号的
20、形式有关。v v v v 2.干扰作用下的离散系统稳态误差v系统中的干扰是一种非有用信号，由它引起的输出完全是系统的误差。v当指令信号=0时，误差完全由干扰引起：v根据终值定理，有：v v v v 天线计算机控制系统结构图如图所示,T=0.02s,v 判断该系统的稳定性；v 试确定该系统的静态误差系数以及常值干扰Un(s)时的稳态误差；v 计算闭环系统的单位阶跃曲线，并求系统的主要动态响应指标。应用实例v v v v 解(1)系统脉冲传递函数v v v v(2)判断稳定性系统稳定v v v v v 由于干扰 所引起的输出均为误差稳态误差：(3)稳态特性分析该系统为I型系统v v v v 超调量调节时间 峰值时间(4)动态响应计算v v v v v 应清楚地了解s 平面向z 平面映射的规律，特别应注意，s 平面被分为一个主带和许多旁带.应牢记，s 左半平面上所有点，将周期重复地映射在z 平面的单位圆内。v 牢记离散系统稳定的充分必要条件，特别应注意，采样周期对稳定性的影响。v 离散系统稳态误差的概念及基本规律与连续系统类似。v 注意了解z 平面极点分布与时间响应的关系及相应的规律。本章小结