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1、4.1.1 s平面和z平面的基本映射关系s平面与z平面映射关系：是2 的周期函数注意到故有复变量z的模及相角与复变量s的实部和虚部的关系 图4-1 s平面与z平面第1页/共48页s平面和z平面的具体映射关系1.s平面虚轴的映射 s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外。表4-1 s平面与z平面关系几何位置几何位置几何位置几何位置虚轴虚轴=0任意值任意值单位圆周单位圆周=1任意值任意值左半平面左半平面0任意值任意值单位圆内单位圆内0任意值任意值单位圆外单位圆外1任意值任意值第2页/共48页s平面和z平面的具体映射关系2.角频率与z平面相角
2、关系 us 平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到z平面上同一点。u每当变化一个s s 时，z平面相角变化2，即转了1周。u若在s平面虚轴上从-变化到+时，z平面上相角将转无穷多圈。表4-2 角频率 与z平面相角关系00第3页/共48页s平面和z平面的具体映射关系3.s平面上的主带与旁带 主带（任意变化）s平面上被分成了许多平行带子，其宽度为图4-2 主带映射 图4-3旁带映射 第4页/共48页s平面和z平面的具体映射关系4.s平面主带的映射 图4-5 s平面主带左半平面的映射 图4-6 s平面主带右半平面的映射第5页/共48页4.1.2 s平面上等值线在z平面的映射1.s平面实轴平行线
3、（即等频率线）的映射2.s平面虚轴平行线（即等衰减率线）的映射图4-7 等频率线的映射图4-8 等衰减率线的映射第6页/共48页4.1.2 s平面上等值线在z平面的映射3.s平面上等阻尼比轨迹的映射 Matlab命令映射至z平面 相关公式图 4-9 阻尼比线及其映射第7页/共48页4.1.2 s平面上等值线在z平面的映射4.s平面上等自然频率轨迹的映射 所以 s平面 z平面 图4-10 等自然频率轨迹映射 第8页/共48页第9页/共48页4.1 s平面和z平面之间的映射4.2 稳定性分析 4.3 稳态误差分析4.4 时域特性分析4.5 频域特性分析4.6 应用实例第10页/共48页4.2.1
4、离散系统的稳定条件连续系统稳定的充要条件:特征根全部位于s s域左半平面离散系统稳定的充要条件:特征根全部位于z平面单位圆中第11页/共48页4.2.2 稳定性的检测1.直接求取特征方程根缺点是难于分析系统参数的影响 Matlab命令c=1-1.2 0.07 0.3 -0.08;r=roots(c)r=-0.5000 0.8000 0.5000 0.4000系统稳定 例4-2 已知 例 4-3 已知 F=-1.3 -0.4 1 0 ;g=eig(F)Matlab命令g=-0.8000 -0.5000系统稳定 第12页/共48页2.朱利代数稳定判据）系统稳定条件第13页/共48页系统稳定必要条件
5、判断系统稳定性步骤：(1)判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定。(2)若必要条件成立，构造朱利表。或者第14页/共48页二阶系统稳定性条件必要条件：构造朱利表：充分必要条件：第15页/共48页4.2.3 采样周期与系统稳定性例4-5 已知一采样系统的开环传递函数 采样周期是采样系统的一个重要参数，它的大小影响特征方程的系数，从而对闭环系统的稳定性有明显的影响。系统的特征方程 讨论采样周期对系统稳定性的影响。解：系统稳定要求特征根位于单位圆内 结论：当采样周期T ，使系统稳定的k值范围增大。当k=2时，采样周期必须小于0.109 86，系统才能稳定 第16页/共48页采样周期与系统稳定性结
6、论：(1)离散系统的稳定性比连续系统差 体现在使系统稳定的k值：连续系统的k值范围大于离散系统的k值范围。(2)采样周期也是影响稳定性的重要参数，一般来说，T减小，系统稳定性增强。第17页/共48页4.1 s平面和z平面之间的映射4.2 稳定性分析 4.3 稳态误差分析4.4 时域特性分析4.5 频域特性分析4.6 应用实例第18页/共48页4.3.1 离散系统稳态误差定义单位反馈系统误差定义 连续系统：连续系统：离散系统：离散系统：第19页/共48页4.3.2 离散系统稳态误差的计算给定R(z)情况下的离散系统稳态误差的计算：与输入信号与输入信号R(z)及系统及系统 结构特性均有关结构特性均
7、有关 第20页/共48页划分系统 连续系统按其开环传函中所含的积分环节的个数 来划分0型I型II型离散系统按其开环传函中所含 的环节的个数 来划分第21页/共48页称为稳态位置误差系数称为稳态位置误差系数 对对“0 0”型系统，型系统，在在z=1z=1处无极点处无极点,K Kp p为有限值为有限值 对对“I I”型系统，型系统，在在z=1z=1处有处有1 1个极点个极点,1.指令信号作用下的稳态误差计算 若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差的条件是系统前向通道中至少含有的条件是系统前向通道中至少含有1 1个积分环节。个积分环节。(1)
8、(1)输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数第22页/共48页称为稳态速度误差系数称为稳态速度误差系数 对对“0 0”型系统，型系统，在在z=1z=1处无极点处无极点,对对“I I”型系统，型系统，在在z=1z=1处有处有1 1个极点个极点,1.指令信号作用下的稳态误差计算对对“IIII”型系统，型系统，在在z=1z=1处有处有2 2个极点个极点,(2)输入信号为单位斜坡信号第23页/共48页称为稳态加速度误差系数称为稳态加速度误差系数 对对“0 0”型系统，型系统，在在z=1z=1处无极点处无极点,对对“I I”型系统，型系统，在在z=1z=1处有处有1 1个极点个极点,对对“IIII
9、”型系统，型系统，在在z=1z=1处有处有2 2个极点个极点,1.指令信号作用下的稳态误差计算(3)输入信号为单位加速度信号第24页/共48页误差系数误差系数连续系统连续系统离散系统离散系统0型系统型系统I型系统型系统0II型系统型系统00离散系统稳态误差离散系统稳态误差 离散及连续系统稳态误差系数第25页/共48页关于稳态误差的说明（1）计算稳态误差前提条件是系统稳定。（2）稳态误差为无限大并不等于系统不稳定，它只表明该系统不能跟踪所输入的信号。（3）上面讨论的稳态误差只是系统原理性误差，只与系统结构和外部输入有关，与元器件精度无关。第26页/共48页2.干扰作用下的离散系统稳态误差系统中的
10、干扰是一种非有用信号，由它引起的输出完全是系统的误差。误差完全由干扰n(t)引起，此时有据终值定理，可求出系统在干扰作用下采样时刻的稳态误差 第27页/共48页4.3.3 采样周期对稳态误差的影响对具有零阶保持器的采样系统而言，稳态误差的计算与T T无关，只与系统的类型、输入信号的形式有关。D/A本身就是一个本身就是一个ZOH 以下为针对不具有ZOH的采样系统的计算。第28页/共48页4.1 s平面和z平面之间的映射4.2 稳定性分析 4.3 稳态误差分析4.4 时域特性分析4.5 频域特性分析4.6 应用实例第29页/共48页4.4.1 离散系统动态特性指标的提法及限制条件动态特性主要是用系
11、统在单位阶跃输入信号作用下的响应特性来描述。超调量超调量 上升时间上升时间 峰值时间峰值时间 调节时间调节时间 图4-16 系统阶跃响应的采样 图4-15 系统阶跃响应特性第30页/共48页4.4.2 极点与零点位置与时间响应的关系1极点位于实轴图4-17 z平面极点分布与脉冲响应（实极点）第31页/共48页例4-7 已知数字滤波器稳态值为稳态值为A A振幅为振幅为 的等幅振荡脉冲的等幅振荡脉冲 单调收敛，很快衰减为单调收敛，很快衰减为0 0 第32页/共48页2极点为复根振荡频率：振荡频率：振荡幅值与振荡幅值与 有关有关 第33页/共48页复极点位置与系统响应之间关系Pi=0=0，脉冲响应时
12、间，脉冲响应时间最短，延时一拍最短，延时一拍图4-17 z平面极点分布与脉冲响应（复极点）第34页/共48页例4-8：试分析z平面上4对共轭复数极点对应的脉冲响应第35页/共48页4.1 s平面和z平面之间的映射4.2 稳定性分析 4.3 稳态误差分析4.4 时域特性分析4.5 频域特性分析4.6 应用实例第36页/共48页4.5.1 频域系统稳定性分析乃奎斯特稳定判据：(1)确定 的不稳定的极点数p；(2)以 代入，在 范围内，画开环频率特性 ；(3)计算该曲线顺时针方向包围z=1的数目n；(4)计算z=p n；当且仅当z=0时，闭环系统稳定。注意：z平面的不稳定域是单位圆外部。离散系统特征
13、方程 第37页/共48页乃奎斯特稳定判据的实例说明 例4-9 某单位反馈离散系统开环传递函数 采样周期 ，试绘制它的幅相特性曲线，并分析闭环系统的稳定性。解：该开环系统稳定，所以不稳定的极点数p=0 幅相特性曲线 当k=0.198时，频率特性不包围z=1点，n=0，所以 z=0，故此时闭环系统稳定；当 k=1时，频率特性包围z=1点一次，n=1，所以 z=1，此时闭环系统不稳定；当k=0.7584，频率特性穿越z=1点，此时闭环系统为临界稳定。第38页/共48页4.5.2相对稳定性的检验为了检验系统在达到不稳定之前，允许提高多少增益和允许增加多少额外的相位滞后，离散时间系统引进幅值裕度和相位裕
14、度的相对稳定性的概念（定义与连续系统相同）利用相对稳定性两个指标，可以间接判断和检测闭环系统的动态特性，如系统快速性及振荡性等。相位裕度增益裕度Matlab命令w=logspace(-1,3);zG=0.198 0.198;pG=1-1.242 0.242;dbode(zG,pG,0.1,w)gridk=0.198截止频率 第39页/共48页4.1 s平面和z平面之间的映射4.2 稳定性分析 4.3 稳态误差分析4.4 时域特性分析4.5 频域特性分析4.6 应用实例第40页/共48页4.6 应用实例天线计算机控制系统结构图如图3-26所示。试求该系统使系统稳定的参数D(z)=kd的范围；试确
15、定该系统的静态误差系数以及常值干扰Un(s)时的稳态误差；试确定当T=0.02s、kd=10时系统的稳定裕度；计算T=0.02s、kd=10时 闭环系统的单位阶跃曲线，并求系统的主要动态响应指标。解(1)系统传递函数第41页/共48页(2)判断稳定性 整理，得到根据第42页/共48页若改变采样周期T，考查极限放大系数kd 的变化 T=0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5100.8 51.621.811.96 7.285.17结论：随着采样周期的增大，保证系统稳定的极限放大系数减小 第43页/共48页(3)稳态特性分析 该系统为I型系统，位置误差系数 速度误差系数由于干扰 所引起的输出均为误差 T=0.02s、kd=10时 稳态误差：第44页/共48页(4)稳定裕度的计算 开环传递函数 Matlab命令num=0.0374 0.0351;den=1-1.8187 0.8187;w=logspace(-1,3);dbode(num,den,0.02,w)grid 截止频率相位裕度增益裕度图4-21 Bode图及稳定裕度第45页/共48页(5)动态响应计算 图4-22 单位阶跃响应超调量调节时间峰值时间第46页/共48页第第4 4章章 内容结束！内容结束！第47页/共48页48感谢您的欣赏！第48页/共48页