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1、第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 第第3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.1 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析 一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。连续系统的稳定性分析是在连续系统的稳定性分析是在S平面进行的，离散系统的稳平面进行的，离散系统的稳定性分析是在定性分析是在Z平面进行的。平面进行的。3.1.1 3.1.1 S S平面与平面与Z Z平面的关系平面的关系 S平面与平面与Z平面的映射关系，可由平面的映射关系，可由 来确定。来确定。设设 则有则
2、有 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 在在Z 平平面面上上，当当为为某某个个定定值值时时z=eTs随随由由-变变到到的的轨轨迹迹是是一一个个圆圆，圆圆心心位位于于原原点点，半半径径为为z=eTs，而而圆圆心心角角是随是随线性增大的。线性增大的。当当=0时时，|z|=1|=1，即即S平平面面上上的的虚虚轴轴映映射射到到Z平平面面上上的的是是以原点为圆心的单位圆。以原点为圆心的单位圆。当当0时时，|z|1|0时时，|z|1|1，即即S平平面面的的右右半半面面映映射射到到Z平平面面上上的的是是以原点为圆心单位圆的外部。以原点为圆心单位圆的外部。S平面与平面与Z平面的映射关系如图平
3、面的映射关系如图3.1所示。所示。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 S-11-jjZjjImRe00图3.1 S平面与Z平面的映射关系第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 于是得到下面结论：于是得到下面结论：1S平面的虚轴对应于平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。平面的单位圆的圆周。在在S平面上，平面上，每变化一个每变化一个s时，则对应在时，则对应在Z 平面上重复平面上重复画出一个单位圆，在画出一个单位圆，在S平面中平面中-s/2/2s/2的频率范围内称的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。S平面的主频平
4、面的主频区和辅频区映射到区和辅频区映射到Z平面的重迭称为频率混迭现象，由于平面的重迭称为频率混迭现象，由于实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工作频率都在主频区内。作频率都在主频区内。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 2S平面的左半面对应于平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。3S平面的负实轴对应于平面的负实轴对应于Z平面的单位圆内正实轴。平面的单位圆内正实轴。4S平平面面左左半半面面负负实实轴轴的的无无穷穷远远处处对对应应于于Z平平面面单单位位圆圆的的圆心。圆心。5S平面的右半面对应于平面的右半面
5、对应于Z平面单位圆的外部。平面单位圆的外部。6S平面的原点对应于平面的原点对应于Z平面正实轴上平面正实轴上z=1的点。的点。在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在S平平面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的闭环闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平平面中的单位圆内时，系统是稳定的。面中的单位圆内时，系统是稳定的。第第3 3章章 计算机控制系统分析
6、计算机控制系统分析 3.1.2 离散系统输出响应的一般关系式离散系统输出响应的一般关系式 设离散系统的闭环设离散系统的闭环Z传递函数为：传递函数为：设有设有n n个闭环极点个闭环极点zi互互异，异，m mn n，输入为单位阶跃函数，输入为单位阶跃函数，则则 其中其中 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 取取Z反变换得：反变换得：上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。若离散系统稳定，则当时间若离散系统稳定，则当时间k k时，输出响
7、应的暂态分时，输出响应的暂态分量应趋于量应趋于0 0，即：，即：这就要求这就要求z zi i1 1 因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：闭环闭环Z Z传递函数的全部极点应位于传递函数的全部极点应位于Z Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 例例3.1 某离散系统的闭环某离散系统的闭环Z传递函数为传递函数为 则则w(z)的极点为的极点为：z1=-0.237，z2=-1.556由于由于|z2|=1.5561，故该系统是不稳定的。，故该系统是不稳定的。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统
8、分析 3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用稳定性准则在离散系统的应用 连续系统的连续系统的Routh稳定性准则不能直接应用到离散系稳定性准则不能直接应用到离散系统中，这是因为统中，这是因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代稳定性准则只能用来判断复变量代数方程的根是否位于数方程的根是否位于S平面的左半面。如果把平面的左半面。如果把Z平面再映平面再映射到射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方的超越方程。因此，使用双线性变换，将程。因此，使用双线性变换，将Z平面变换到平面变换到W平面，使平面，使得得Z平面的单位圆内映射到平面的单位圆内映
9、射到W平面的左半面。平面的左半面。设设 （或（或 ）则）则 （或（或 ）其中其中z z，w w均为复变量，即构成均为复变量，即构成W W变换，如图变换，如图3.23.2所示。所示。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析-11-jjZjImRe0Wj0图3.2 Z平面与W平面的映射关系 这种变换称为这种变换称为W变换，它将变换，它将Z特征方程变成特征方程变成W特征方程，特征方程，这样就可以用这样就可以用Routh准则来判断准则来判断W特征方程的根是否在特征方程的根是否在W平面平面的左半面，即系统是否稳定。的左半面，即系统是否稳定。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析
10、 例例3.2 某离散系统如图某离散系统如图3.3所示，试用所示，试用Routh准则确定使该准则确定使该系统稳定系统稳定k值范围，设值范围，设T=0.25s。解：解：该该系系统统的开的开环环Z Z传递传递函数函数为为：r(t)y(t)T图3.3 例3.2离散系统第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 该系统的闭环该系统的闭环Z传递函数为：传递函数为：求得该系统的闭环求得该系统的闭环Z Z特征方程为：特征方程为：对应的对应的W W特征方程为：特征方程为：RouthRouth表为表为w w2 2 0.158 0.158kkkk)w w1 1 1.264 0 1.264 0w w0 0k
11、 k)0)0解得使系统稳定的解得使系统稳定的k k值范围为值范围为0 0k k17.317.3 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 显显然然，当当k17.3时时，该该系系统统是是不不稳稳定定的的，但但对对于于二二阶阶连连续续系系统统，k为为任任何何值值时时都都是是稳稳定定的的。这这就就说说明明k对对离离散散系系统的稳定性是有影响的。统的稳定性是有影响的。一一般般来来说说，采采样样周周期期T也也对对系系统统的的稳稳定定性性有有影影响响。缩缩短短采采样样周周期期，会会改改善善系系统统的的稳稳定定性性。对对于于本本例例，若若T=0.1s，可可以得到以得到k值的范围为值的范围为0k4
12、0.5。但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。适当选取采样周期。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.2 离散系统的过渡响应分析离散系统的过渡响应分析 一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。新的稳定状态的整个动
13、态过程称之为控制系统的过渡过程。一般认为被控变量进入新稳态值附近一般认为被控变量进入新稳态值附近5%或或3%的范的范围内就可以表明过渡过程已经结束。围内就可以表明过渡过程已经结束。通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性或者说系统的动态响应特性)。如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z Z变换变换Y Y(z z)，那那么，对么，对Y Y(z z)进行进行Z Z反变换，就可获得动态响应反变换，就可获得动态响应y y*(t t)。将将y
14、y*(t t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量调量%与过渡过程时间与过渡过程时间t ts s），），如图如图3.43.4所示。所示。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 1.61.41.210.80.60.40.2y(t)tts图3.4 线性离散系统的单位阶跃响应第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 首首先先研研究究离离散散系系统统在在单单位位脉脉冲冲信信号号作作用用下下的的瞬瞬态态响响应应，以了解离散系统的动态
15、性能。以了解离散系统的动态性能。式式中中zi与与zj分分别别表表示示闭闭环环零零点点和和极极点点。利利用用部部分分分分式式法法，可将可将W(z)展开成展开成 由由此此可可见见，离离散散系系统统的的时时间间响响应应是是它它各各个个极极点点时时间间响响应应的线性叠加。的线性叠加。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 设系统有一个位于设系统有一个位于zi的单极点，则在单位脉冲作用下，的单极点，则在单位脉冲作用下，当当zi位于位于Z平面不同位置时，它所对应的脉冲响应序列如图平面不同位置时，它所对应的脉冲响应序列如图3.5所示。所示。-11-jjjImRe0图3.5 不同位置的实极点与脉
16、冲响应的关系第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析(1)极极点点在在单单位位圆圆外外的的正正实实轴轴上上，对对应应的的暂暂态态响响应应分分量量y(kT)单调发散。单调发散。(2)极极点点在在单单位位圆圆与与正正实实轴轴的的交交点点，对对应应的的暂暂态态响响应应y(kT)是等幅的。是等幅的。(3)极极点点在在单单位位圆圆内内的的正正实实轴轴上上，对对应应的的暂暂态态响响应应y(kT)单单调衰减。调衰减。(4)极极点点在在单单位位圆圆内内的的负负实实轴轴上上，对对应应的的暂暂态态响响应应y(kT)是是以以2T为周期正负交替的衰减振荡。为周期正负交替的衰减振荡。(5)极极点点在在单单位
17、位圆圆与与负负实实轴轴的的交交点点，对对应应的的暂暂态态响响应应y(kT)是以是以2T为周期正负交替的等幅振荡。为周期正负交替的等幅振荡。(6)极极点点在在单单位位圆圆外外的的负负实实轴轴上上，对对应应的的暂暂态态响响应应y(kT)是是以以2T为周期正负交替的发散振荡。为周期正负交替的发散振荡。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 例例3.3 某离散系统如图某离散系统如图3.6所示，分析该系统的过渡过程。所示，分析该系统的过渡过程。设系统输入是单位阶跃函数设系统输入是单位阶跃函数 解：解：(1)设设 K=1，T=1；则则 r(t)e(t)e*(t)y(t)T图3.6 例3.3离
18、散系统第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调量约为量约为40%，且峰值出现在第，且峰值出现在第3、4拍之间，约经拍之间，约经12个采个采样周期过渡过程结束，如图样周期过渡过程结束，如图3.7曲线曲线a所示。所示。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析(2)现将图中的保持器去掉，现将图中的保持器去掉，k=1，T=1；则则 由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约由以上数
19、据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为为21%，峰值产生在第，峰值产生在第3拍，调整时间为拍，调整时间为5拍，如图拍，如图3.7曲曲线线b所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能好。这是因为保持器有滞后作用所致。好。这是因为保持器有滞后作用所致。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.61.41.210.80.60.40.2y(t)tab图3.7 离散系统的响应曲线第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 劳动创造了人类历史，同时推动人
20、类历史不断向文明开化前进。在几百万年劳动创造了人类历史，同时推动人类历史不断向文明开化前进。在几百万年的人类历史中，由于分工不同，劳动形式不同，劳动职业也变得丰富多样。的人类历史中，由于分工不同，劳动形式不同，劳动职业也变得丰富多样。在加快推进全面小康，建成富强民主文明和谐的社会主义现代化国家的历史在加快推进全面小康，建成富强民主文明和谐的社会主义现代化国家的历史进程中，进程中，13亿中国人通过不同形式的劳动，在自己的本职岗位上奉献着绵薄之力。亿中国人通过不同形式的劳动，在自己的本职岗位上奉献着绵薄之力。这里面有微不足道的小商小贩，默默耕耘的农民伯伯，生产一线的普通工人，有这里面有微不足道的小
21、商小贩，默默耕耘的农民伯伯，生产一线的普通工人，有处于行业顶端的地产大亨，大集团处于行业顶端的地产大亨，大集团CEO，政界精英等等。社会是一台机器，组成，政界精英等等。社会是一台机器，组成这台机器需要超强的发动机，同时也需要连接机器的细小零部件，只有所有组成这台机器需要超强的发动机，同时也需要连接机器的细小零部件，只有所有组成要件互相配合，共同发力，才能让这台机器时刻保持高速运转。要件互相配合，共同发力，才能让这台机器时刻保持高速运转。习近平说习近平说“在我们社会主义国家，一切劳动，无论是体力劳动还是脑力劳动，在我们社会主义国家，一切劳动，无论是体力劳动还是脑力劳动，都值得尊重和鼓励；一切创造
22、，无论是个人创造还是集体创造，也值得尊重和鼓都值得尊重和鼓励；一切创造，无论是个人创造还是集体创造，也值得尊重和鼓励。励。”从大家的固有观念来看，职业应该分为三六九等，脑力劳动者理应比体力劳从大家的固有观念来看，职业应该分为三六九等，脑力劳动者理应比体力劳动者更体面、光鲜，受人尊重。在沿海大城市，我们会发现这样一个现象，每当动者更体面、光鲜，受人尊重。在沿海大城市，我们会发现这样一个现象，每当过年，城市几乎成了过年，城市几乎成了“空城空城”，因为有数以千万计的农民工回家过年，这个时候城，因为有数以千万计的农民工回家过年，这个时候城里的人才会由衷的感叹，生活多么不便，家里的家务活没有人做了，去吃
23、饭饭馆里的人才会由衷的感叹，生活多么不便，家里的家务活没有人做了，去吃饭饭馆速度变慢了，早饭速度变慢了，早饭第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 clear%数值方法r=1;k=1;tao=1;T=1;h=T/10;num=k;den=tao 1 0;a,b,c,d=tf2ss(num,den);y0=0;x=0;0;for i=1:20 e(i)=r-y0(i);for j=1:10 k1=a*x+b*e(i);k2=a*(x+h*k1/2)+b*e(i);k3=a*(x+h*k2/2)+b*e(i);k4=a*(x+h*
24、k3)+b*e(i);x=x+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 y(i-1)*10+j)=c*x+d*e(i);end y0(i+1)=y(end);endplot(1:10:20*10)*h-h,y0(1:end-1),*)hold onplot(1:10*20)*h,y)for i=1:20 plot(i,i-1,y0(i),0,-)end第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 clear%控制工具箱函数法r=1;k=1;tao=1;T=1;num=k;den=tao 1 0;numd1,dend1=c2dm(n
25、um,den,T,zoh);numd,dend=feedback(numd1,dend1,1,1);figure(2)y,t=dstep(numd,dend,20);dstep(numd,dend,20)hold onfor i=1:20 plot(i,i-1,y(i),0,-)endaxis(0,20,0,1.5)第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析(3)现将图中保持器去掉，设现将图中保持器去掉，设K=5，T=1，则则由由上上面面数数据据可可以以看看出出，当当K=K=5 5，T=T=1 1时时，没没有有保保持持器器的的二二阶阶系系统统是是不不稳稳定定的的，且且是是正正负负交交
26、替替的的发发散散式式振振荡荡较较剧剧烈。烈。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 但但我我们们知知道道，对对于于二二阶阶的的连连续续系系统统无无论论K为为何何值值都都是是稳稳定定的，而采样控制系统则不然。的，而采样控制系统则不然。以以上上说说明明，利利用用Z变变换换本本身身含含有有时时间间概概念念的的特特点点，分分析析采采样控制系统的运动特性是很方便的，且很适用于计算机。样控制系统的运动特性是很方便的，且很适用于计算机。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.3 离散系统的稳态准确度分析离散系统的稳态准确度分析 利利用用Z变变换换的的终终值值定定理理方方法法，
27、求求取取误误差差采采样样的的离离散散系系统统在在采样瞬时的终值误差。采样瞬时的终值误差。设单位负反馈误差离散系统如图设单位负反馈误差离散系统如图3.8所示。其中所示。其中G(s)为为连续部分的传递函数，连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，为系统连续误差信号，e*(t)为为系统采样误差信号，其闭环误差系统采样误差信号，其闭环误差Z传递函数为传递函数为 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 如如果果We(z)的的极极点点（即即闭闭环环极极点点）全全部部严严格格位位于于Z平平面面的的单单位位圆圆内内，即即若若离离散散系系统统是是稳稳定定的的，则则可可用用Z变变换换的的终终
28、值值定理求出采样瞬时的终值误差为定理求出采样瞬时的终值误差为上上式式表表明明，线线性性定定常常离离散散系系统统的的稳稳态态误误差差，不不但但与与系系统统本本身身的的结结构构和和参参数数有有关关，而而且且与与输输入入序序列列的的形形式式及及幅幅值值有有关关，除除此此之之外外，离离散散系系统统的的稳稳态态误误差差与与采采样样周周期期的的选选取也有关。取也有关。e*(t)y(t)Tr(t)e(t)图3.8 单位负反馈离散系统G(s)第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数G(z)具有具有z=1的极点数的极点数v
29、作为划分离散系统型别的标准，把作为划分离散系统型别的标准，把G(z)中中v=0,1,2,的系统，称为的系统，称为0型，型，型和型和系统等。系统等。1 1单位阶跃输人时下稳态误差单位阶跃输人时下稳态误差 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入r(t)=1(t)时，时，则则 称为位置放大系数。称为位置放大系数。在单位阶跃函数作用下，在单位阶跃函数作用下，0 0型离散系统在采样瞬时存在型离散系统在采样瞬时存在位置误差；位置误差；型或型或型以上的离散系统，在采样瞬时没型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。有位置误差。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 2单位速度输入时的稳态误差单位速度
30、输入时的稳态误差对于单位速度输入对于单位速度输入r(t)=t 时时则则 称为速度放大系数。称为速度放大系数。在单位速度函数作用下，在单位速度函数作用下，0 0型离散系统在采样瞬时稳态误型离散系统在采样瞬时稳态误差无穷大，差无穷大，型离散系统在采样瞬时存在速度误差；型离散系统在采样瞬时存在速度误差；型型或或型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3单位加速度输入时的稳态误差单位加速度输入时的稳态误差 对于单位加速度输入对于单位加速度输入 时时则则 称为加速度放大系数。称为加速度放大系数。0 0型
31、及型及型系统型系统K Ka a=0 0；型系统的型系统的K Ka a为常值，为常值，型及型及型型以上系统以上系统K Ka a=。因而，因而，0 0型和型和I I型离散系统不能承受单位加速型离散系统不能承受单位加速度函数作用，度函数作用，型离散系统在单位加速度信号作用下存在加型离散系统在单位加速度信号作用下存在加速度误差，只有速度误差，只有型或型或型以上的离散系统，在采样瞬时不型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。存在稳态误差。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 例例3.4 对于图对于图3.8所示的离散系统，设所示的离散系统，设 求该系统在三种典型信号的作用下的稳态误差。求该系统在三种典型信号的作用下的稳态误差。解：解：(1)(1)单位阶跃函数输入时单位阶跃函数输入时 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析(2)单位速度函数输入时单位速度函数输入时(3)单位加速度函数输入时单位加速度函数输入时 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 THANK YOU VERY MUCH！本章到此结束，本章到此结束，谢谢您的光临！谢谢您的光临！返回本章首页结束放映