桥梁结构非线性分析学习教案.pptx

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1、桥梁结构(jigu)非线性分析第一页，共51 页。（1）材料非线性问题若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第 13 章所介绍的混凝土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的非线性。在桥梁工程问题中:混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题 桥梁结构中常用(chnyn)的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段，呈现出材料非线性本质。材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类，前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本质是相同的，求解方法亦完全一样。（2）几何非线性问题若放弃小变形假设，

2、从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题第1 页/共50 页第二页，共51 页。恒、活载计算问题结构稳定等均属几何非线性问题。众 所 周 知 的 吊 桥 挠 度 理 论 以 及 第19 章 的 拱 桥 挠 度 理 论 则 是 典 型 的桥梁几何非线性问题。几 何 非 线 性 理 论 一 般 可 分 为 大 位 移 小 应 变 即 有 限 位 移 理 论 和 大 位移大应变即有限应变理论两种

3、。桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。一 些 简 单 几 何 非 线 性 问 题 可 以 找 到 解 析 解，如 压 弯 杆 稳 定 问 题，拱 圈 刚 度 按 一 定(ydng)规 律 变 化 的 拱 桥 大 挠 度 问 题，悬 索 桥 在 简 单荷载作用下的大挠度问题等。但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解（3）接触问题 若 受 力 后 的 边 界 条 件 在 求 解 前 是 未 知 的，即 不 满 足 理 想 约 束 假 定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题 支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象 等均属此类，此问题在桥梁工程

4、上表现不多，但不应忽视。第2 页/共50 页第三页，共51 页。（4）桥梁结构(jigu)非线性 材 料 非 线 性 问 题 在 混 凝 土 桥 中 表 现 最 为 突 出，由 于 混 凝 土 材 料本 身 的 特 性，可 以 说，混 凝 土 桥 从 施 工 到 运 营 全 过 程 中，非 线 性 始终 贯 穿 其 中。由 于 收 缩、徐 变、开 裂 等 因 素 的 综 合 作 用，使 得 全 因素 精 确 分 析 非 常 困 难，而 不 得 不 采 用 单 因 素 或 少 因 素 非 线 性 分 析 后，再近似叠加考虑综合因素影响。圬 土 材 料 桥 梁 结 构(jigu)的 材 料 非 线

5、 性 特 性 是 材 料 非 线 性问 题 在 桥 梁 工 程 上 的 又 一 难 点，这 方 面 的 研 究 文 献 亦 不 多 见，长 安大学公路学院胡大琳教授的研究3 具有代表性。相 对 材 料 非 线 性 问 题 来 说，桥 梁 结 构(jigu)的 几 何 非 线 性 问题 更 多 一 些，特 别 是 跨 径 增 大，结 构(jigu)变 柔，系 统 复 杂 后，分 析 中 的 梁 柱 效 应、索 垂 度 效 应、结 构(jigu)位 移 与 后 期 荷 载 的二 次 影 响 等 变 得 不 可 忽 略。所 建 立 的 挠 度 理 论 平 衡 微 分 方 程 求 解 也越来越困难。寻

6、 求 更 精 确、更 方 便 的 理 论 和 方 法 一 直 是 研 究 者 努 力 的 方 向，也是工程界所渴望的 第3 页/共50 页第四页，共51 页。桥梁结构材料非线性分析(1)材料非线性问题的平衡方程以钢材和混凝土为主要(zhyo)材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主要(zhyo)是弹塑性问题。以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍然成立，但物理方程(fngchng)是非线性的，可以写成注 意 到 平 衡 方 程 式 是 以 应 力 表 示 的，由 于 小 变 形 的 关 系 仍 然 是 线 性 的，但是 以 结 点 位

7、移 表 示 的 平 衡 方 程 则 不 再(bzi)是 线 性 的，因 为 应 力 和 应 变 之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关系所联系，于是改写为此即为材料非线性问题的平衡方程 第4 页/共50 页第五页，共51 页。(2)迭代求解方法用迭代方法求解材料非线性问题的平衡(pnghng)方程，可分为 变刚度迭代法 常刚度迭代法（a）变刚度迭代法 变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果材料的本构关系能够表示成 则应力(yngl)位移关系 刚度矩阵平衡方程迭代公式迭代(didi)步骤如下 首先取，则 由式 第5 页/共50 页第六页，共51 页。取，算得 多次迭代直止

8、 给定(idn)小数，则 就是方程的解此图是此种迭代过程的应力变化，可以看出，弹性矩阵表示应力应变曲线上的割线斜率，所以(suy)此法称为割线刚度法或称直接迭代法第6 页/共50 页第七页，共51 页。如果材料的应力(yngl)应变关系能够表示为增量的形式，即并将平衡(pnghng)方程式改写为 上式的增量(znlin)形式为 则有 切线刚度矩阵 切线弹性矩阵 可以采用Newton-Raphson 切线刚度迭代法，其迭代公式为迭代步骤如下 已知，求得，切线弹性矩阵，第7 页/共50 页第八页，共51 页。算出 及，则 重复、步骤，直到(zhdo)接近真实解，使给定小数计算时，可取 进行首次(s

9、huc)迭代。下图是此种迭代过程的应力变化。可 看 出，弹 性(tnxng)矩 阵 表示应力、应变曲线上的切线斜率，所以此法亦称为切线刚度法。第8 页/共50 页第九页，共51 页。（b）常刚度迭代法如果(rgu)材料的本构关系可以写为将其用具有初应力的线弹性物理方程来代替初应力(yngl)列阵线性弹性矩阵(jzhn)，即 时的切线弹性矩阵(jzhn)若调整，使上列两式等价，则假想弹性应力有平衡方程写成迭代公式迭代步骤类似于切线刚度法，首次近似解通常取，切线性弹性问题的解。以上叙述的是常刚度迭代法中的初应力法，类似的还有适于求解蠕变问题的初应变法，可参阅文献1第9 页/共50 页第十页，共51

10、 页。（3）增量求解(qiji)方法（a）弹塑性本构关系(gunx)的特点单 轴 应 力 下 的 材 料 典 型 弹 塑 性 本 构 关 系(gunx)如 图 所 示，其 特 点可归纳为：应 力 在 达 到 比 例 极 限 前，材 料为线弹性；应 力 在 比 例 极 限 和 弹 性 极 限 之间，材料为非线性弹性。应 力 超 过 屈 服 点（），材 料应 变(yngbin)中 出 现 不 可 恢 复 的 塑性 应 变(yngbin)，应 力 和 应 变(yngbin)间为非线性关系 应力在 下卸载，则应力增量与应变增增量之间存在线性关系，即 可用下列条件判断是加载还是卸载：当 时为加载，且满足

11、；当 时为卸载，且满足 在 卸 载 后 某 应 力 下 重 新 加 载，则 当 时，卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力 由 卸 载 转 入 反 向 加 载，应 力 应 变 关 系继续依线性关系，一直到反向屈服。第10 页/共50 页第十一页，共51 页。若，称此材料为理想塑性材料若，称 此 为 硬 化(ynghu)现 象 或 加 工 硬 化(ynghu)。理想(lxing)塑性材料（b）增量形式的弹塑性矩阵通式在 复 杂 应 力 状 态(zhungti)下，判 断 材 料 是 否 屈 服，可 用 应 力 的某种函数表示 即此式的几何意义为第11 页/共50 页第十二页，共51 页。

12、以 为 坐 标 轴 的 空 间 超 曲 面。任 一 应 力 状 态 在 此 空 间 中 代 表 一 个 点，当 此点落在屈服面之内时，材料呈弹性状态；时，材料开始进入塑性。各 向 同 性 材 料 的 屈 服 条 件 与 坐 标 轴 的 选 取 无 关，屈 服 函 数 可 以 主 应 力 函数形式表示(biosh)为 屈服准则表达形式较多，常用的有：米 赛 斯（V onMises,1913）准 则：应 力 偏 量 的 第 二 不 变 量（）达到 某 一 极 限 时，材 料 开 始 屈 服(qf)，相 当 于 材 料 力 学 中 的 第 四 强度理论，即 特雷斯卡（Tresca,1864）准则(z

13、hnz)：最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论，即Drucker-Prager 准则：第12 页/共50 页第十三页，共51 页。在一般情况下，对于弹塑性状态的物理方程，无法建立起最终应力状态和最终应变状态之量的全量关系，而只能建立反映加载路径的应力应变之间的增量关系，且可反映加载和卸载(xizi)过程。研究弹塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数为应力(yngl)状态硬化(ynghu)函数全应变增量可以分为两部分：弹性增量 塑性增量 而 应力增量与弹性应变增量之间是线性关系，即 弹性矩阵 塑 性 变 形 不 是 唯 一 确 定 的，对 应 于 同 一

14、应 力 增 量，可 以 有 不 同 的 塑 性 变 形 增量。若 采 用 相 关 联 流 动 法 则（普 朗 特 路 斯 流 动 法 则1）。塑 性 变 形 大 小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交，用数学公式表示为第13 页/共50 页第十四页，共51 页。得 对 全微分(wifn)得用 乘上式，并消去(xioq)，可得第14 页/共50 页第十五页，共51 页。此即为增量理论的弹塑性矩阵通式。文献1 给出了三维空间问题、轴对称问题、平面应力问题和平面应变问题的 显式（c）弹塑性问题的增量理论有限元法在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。于是，其应变 位移几何运动方程和平衡方程相同于

15、线性问题，不需要(xyo)作任何变动。需要(xyo)改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵代替原来的弹性系数矩阵。因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程分别表示与结构面荷载及体荷载对应的等效(dnxio)节点力增量；节点集中外荷载(hzi)增量；初应力或初应变增量引起的外荷载增量。第15 页/共50 页第十六页，共51 页。它们在 至 时间(shjin)的增量为对于(duy)初应力问题对于(duy)初应变问题 由小变形弹塑性分析的有限元方程知，代表了荷载与位移增量的切线刚度(nd)，随不同加载历程而变化。求解这一问题的关键是计算单元的切线刚度(nd)阵和应力。由于本构关系 是当前应

16、力的函数，即当前位移的隐函数，所以计算时要引入一个材料模型的子程序来处理塑性问题。这个子程序的主要计算内容与步骤如下：由前边迭代结果的位移计算应变增量 暂假定 是弹性的，计算 由此推出新的应力状态为第16 页/共50 页第十七页，共51 页。核 对(hdu)在 第 二 步 中 的 假 定 是 否 符 合 事 实。将 上 式 代 入 加 载 函 数 中，计算当前的加载函数值 若 说明 确定是弹性(tnxng)的，第二、三步中的计算正确，此子程序的执行可以结束。若，说明 中包括(boku)了（或甚至全部是）塑性变形，则改变执行以下计算 若本次迭代开始时的应力是弹性的，则本次迭代的应力增量中有一部分

17、是弹性的而另一部分是弹塑性的。将弹性部分记为 显然，将上式代入到加载函数中可解出 计算塑性部分应变增量及当前应力第17 页/共50 页第十八页，共51 页。计 算 应 变 增 量 塑 性 部 分 所 引 起 的 应 力。由 于 材 料 刚 度 矩 阵 是 非 线 性 的，这 一 计 算 应 是 积 分(jfn)过 程。作 为 数 值 计 算，可 改 为 逐 段 线 性 化 求 和，为此，将 再细分为 个小的增量 在每一个小的子增量 中，先根据(gnj)子增量起始时的应力计算，而于是新的应力(yngl)状态为 由 可计算下一个子增量时的，并重复以上步骤，有 由此可形成最终状态的 以上方法 将平衡

18、迭代与本构迭代分开，主步进行平衡迭代，子步进行本构迭代，可称之为子增量法 第18 页/共50 页第十九页，共51 页。(4)钢筋混凝土梁单元的弹塑性有限元分析的折减刚度法 折减刚度法的实质就是由单元两端力的平均(pngjn)条件来确定单元的非弹性刚度。当杆件材料进入弹塑性阶段后，尽管截面的拉压刚度 及抗弯刚度 都是随着荷载而变化的，但当荷载增量不大，单元长度划分得足够小时，可认为下列的物理关系式依然成立 抗弯刚度(nd)折减系数抗拉压刚度(nd)折减系数折减抗弯刚度，是位移的函数 折减抗拉压刚度，是位移的函数 截面曲率 截面几何中心的应变 结构在特定荷载下，如果能求出相应的 和，就可以象弹性分

19、析一样进行弹塑性分析了 第19 页/共50 页第二十页，共51 页。对于(duy)钢筋混凝土梁单元，假定 平截面假定成立；忽略剪应力和剪应变的影响；钢筋和混凝土之间无滑移现象；单 元 两 端 之 间 的 截 面 内 力 近 似 地 按 线 性 变 化，取 单 元 的 平 均 刚度作为单元刚度；假设钢筋为理想弹塑性材料，其应力 应变关系可写成 折减刚度计算(jsun)步骤如下：将截面分成 等分，设第 个分块上的面积(minj)为 设截面几何中心的应变和曲率为荷载分级号 则第 分块形心的应变为（看下图）第20 页/共50 页第二十一页，共51 页。由混凝土的应力应变(yngbin)曲线可求得各分块

20、的应力，并得到该分块所承担的轴力为当时(dngsh)，可认为 计算(jsun)截面上、下部钢筋形心的应力、由内外力平衡条件，得 第21 页/共50 页第二十二页，共51 页。令 若、均 小 于 或 等 于 指 定(zhdng)的 允 许 误 差，那 么 上 述 的 和 假 定 正 确，即 已 求 得 真解。反之，需要对 和 进行调整，调整的原则是使得在下一次的迭代计算中要求、为零。为截面几何中心应变和曲率的修正量。要使、同时为零，应满足(mnz)如下方程混凝土的切线(qixin)模量第22 页/共50 页第二十三页，共51 页。下次(xic)迭代的值为 直到满足精度要求(yoqi)为止 由求得

21、截面的折减刚度桥梁结构几何(jh)非线性分析桥 梁 结 构 几 何 非 线 性 分 析 一 般 采 用 有 限 位 移 理 论，在 建 立 以 杆 系 结构 有 限 位 移 理 论 为 基 础 的 大 跨 径 桥 梁 结 构 几 何 非 线 性 分 析 平 衡 方 程时，一般考虑以下 三方面 的几何非线性效应：杆 端 初 内 力 对 单 元 刚 度 矩 阵 的 影 响。一 般 情 况 下 是 指 单 元 轴 力对 弯 曲 刚 度 的 影 响，有 时 也 考 虑 弯 矩 对 轴 向 刚 度 的 影 响，常 通 过 引入 稳 定 函 数 或 单 元 几 何 刚 度 矩 阵 的 方 法 来 考 虑。

22、结 构 分 析 中 的 初 应力（或 初 应 变）问 题，就 是 结 构 现 有 内 力 引 起 的 刚 度 变 化 对 本 期 荷载响应的影响问题。第23 页/共50 页第二十四页，共51 页。大 位 移 对 建 立 结 构 平 衡 方 程 的 影 响。此 问 题 有 两 种 考 虑 办 法，一 是 将参 考 坐 标 选 在 未 变 形 的 结 构 上，通 过 引 入 大 位 移 单 元 刚 度 矩 阵 来 考 虑 大 位移 问 题，称 为T.L 列 式 法；另 一 种 是 以 将 参 考 坐 标 选 在 变 形 后 的 位 置 上，让节 点 坐 标 跟 随(nsu)结 构 一 起 变 化，

23、从 而 使 平 衡 方 程 直 接 建 立 在 变 形 后 的位置上，称为U.L 列式法。索 垂 度 效 应 对 单 元 刚 度 的 影 响。此 问 题 亦 有 两 种 处 理 方 法，一 是 引 入Ernst 公 式，通 过 等 效 模 量 法 来 近 似 修 正 垂 度 效 应，而 用 杆 单 元 近 似 模 拟 索类构件；另一种是直接导出索单元切线刚度矩阵。（1）杆系结构的U.L 列式迭代求解法下图所示的未变形平面梁单元在整体坐标系内，从结点和的坐标值出发，算出，和，当单元变形后，结点位移用和表示，于是单元移动(ydng)到如图b)所示的位置 建立起变形后结点 和 的局部坐标(zubio

24、)。由图b）中的几何关系有于是梁单元在局部坐标(zubio)下的结点位移可以表示为第24 页/共50 页第二十五页，共51 页。亦可用局部坐标系下结点位移列阵(lizhn)表示为第25 页/共50 页第二十六页，共51 页。用 角将其转换(zhunhun)到整体坐标中有由 于 单 元(dnyun)刚 度 矩 阵 是 由 局 部 坐 标 转 换 到 整 体 坐 标 而 得 到 的，转换矩阵 的方向余弦成为位移状态的函数，所以是单元结点(jidin)位移列阵的函数迭代步骤 首先对结构以线性理论计算弹性位移，建立各单元的局部坐标 计算在局部坐标下各单元位移得到阵，建立在局部坐标下各单元的刚度矩阵，并

25、计算结点力 变换 和 到整体坐标下的 和 集合单元刚度矩阵，形成结构的整体刚度矩阵，此即为当时变形位置的结构刚度矩阵 若变形后的单元刚度矩阵用 表示，那么它的单元结点力 可以用结点位移 表示为第26 页/共50 页第二十七页，共51 页。计算(jsun)单元作用到结点上的力和不平衡力 求解结构平衡方程，得到(ddo)位移增量，将 加到前次迭代中累积起来的结点(jidin)位移中去，结点(jidin)位移的新的近似值 检查收敛性，直到 趋于零为止。写成迭代公式为 而 和 是以当时的位移 为基础的，它要在每次迭代中加以修改 可以一次计入，也可以分成几个荷载水平，当前级按上述方法求解后再进入下一级荷

26、载水平，即把迭代计算和增量计算结合起来进行。若以位移为基础作为收敛性判据有时会更好一些。这时可取 某一给定小数时，认为 是收敛了 第27 页/共50 页第二十八页，共51 页。(2)几何(jh)非线性问题的一般拉格朗日（lagrangian）列式迭代法建立(jinl)有限元平衡方程的虚位移原理可以描述为：外力因虚位移所作的功等于结构因虚应变所产生的应变能。用公式表示为内力和外力矢量(shling)的总和虚位移 虚应变 所有载荷列阵 若用应变的增量形式写成位移和应变的关系，有 消去 即为 非线性问题的一般平衡方程式，且不论位移（应变）是大的还是小时，都应完全适用在有限位移情况下，应变和位移的关系

27、是非线性的，因此矩阵是 函数，并方便地写为 线性应变分析的矩阵项 与杆端位移有关矩阵项 第28 页/共50 页第二十九页，共51 页。直接按非线性问题的一般平衡方程式建立单元刚度矩阵并建立有限元列式，即为全量列式法。在几何(jh)非线性分析中，按全量列式法得到的单刚和总刚往往是非对称的，对求解不利。一般采用增量列式法。如果应力应变关系是一般的线弹性关系，有材料(cilio)的弹性矩阵初应变(yngbin)列阵初应力列阵 微分关系可以写为平衡方程式写成微分形式有 由则考虑到第29 页/共50 页第三十页，共51 页。是三个刚度之和，称为单元切线刚度矩阵，它表示荷载增量与位移增量之间的关系，也可以

28、理解为特定应力、变形下的瞬时刚度 采用Newton-Raphson 迭代法时，将上式的微分形式改为有限值形式有如果选择的参照构形不是未变形状态（原始状态）的构形，而是最后一个已知平衡状态（上次迭代结构后的变形状态构形，则所推导(tudo)出的增量形式平衡方程称为UL 列式（更新的拉格朗月列式），可写为弹性刚度(nd)矩阵，与节点位移无关初始位移刚度矩阵或大位移刚度矩阵，是由大位移引起的结构刚度矩阵变化(binhu)，是位移的函数初应力刚度矩阵，表示初应力对结构刚度的影响，当应力为压应力时，切线刚度减小，否则增加 第30 页/共50 页第三十一页，共51 页。以变形(binxng)后结构为参考的

29、结构弹性刚度矩阵以变形后结构为参考(cnko)的结构初应力刚度矩阵 和 的积分均需在变形后体积内进行。值得注意的是 是的一阶或二阶小量，因此平衡方程式将 忽略了，这是U.L 列式与T.L 列式的区别。本章(bnzhn)附录中给出了几种常见单元的切线刚度矩阵。由上二小节可以看出，T.L 列式和U.L 列式除在大位移刚度矩阵 上有区别外，在刚度的形成及适用情况上亦有异同之处，具体如下 刚度积分域不同。T.L 列式是在初始构形的体积域内进行，而U.L是在变形后的体积域内进行；转 换 矩 阵 不 同。T.L 列 式 在 集 成 总 刚 时，始 终 采 用 初 始 结 构 的 总 体 坐标 中 的 单

30、元 结 构 方 向 余 弦 形 成 转 换 矩 阵；而U.L 是 用 变 形 后 的 方 向 余弦形成，计算过程中不断改变；关于计算精度。T.L 列式中保留了刚度矩阵中的所有线性和非 第31 页/共50 页第三十二页，共51 页。线性项，而U.L 列式中忽略了高阶非线性项。但 是(dnsh)，U.L 列 式 中 由 于 忽 略 了 大 位 移 刚 度 矩 阵，其 在 结 构 的 大 应 变分 析、弹 塑 性 徐 变 分 析 等 却 优 于T.L 列 式。即U.L 列 式 更 容 易 用 在 考 虑 几 何、材料双重非线性影响的大型混凝土桥梁结构分析中。（3）轴力（弯矩）对弯曲（轴向）刚度的影响

31、(yngxing)（a）轴力对弯曲刚度的影响(yngxing)如图5.3.2 所示压杆的内力和位移为正，其挠曲平衡微分方程为第32 页/共50 页第三十三页，共51 页。方程(fngchng)的解为引入边界条件 于是(ysh)第33 页/共50 页第三十四页，共51 页。如果(rgu)轴力为拉力，则、为 轴 力 影 响 下，杆 端 单 位 力 矩 引 起 的 杆 端 角 形 变 形，为 力 矩 作 用 端 的 角变 形，为 另 一 端 的 角 变 形。最 后，可 导 出 有 初 轴 力 的 杆 单 元 刚 度(nd)方程为第34 页/共50 页第三十五页，共51 页。其中：是轴力 的函数，称为

32、稳定函数，其值随 的变化而变化。以稳定函数表达的刚度系数 包含(bohn)了轴力对弯曲刚度的影响，相当于前面切线刚度阵中弹性刚度系数与几何刚度系数之和。下图给出了稳定函数与单元切线刚度系数随变化的情况说明 时，二者基本一样，当 时，二者区别(qbi)也不大第35 页/共50 页第三十六页，共51 页。事实上，将 展开(zhnki)成级数形式有而 对 比 表 明，几 何 刚 度 系 数 就 是(jish)稳 定 函 数 忽 略 高 阶 项 的 轴 力 影 响 系数。从 以 上 讨 论 可 以 看 到：当3 时，随 的 增 大，几 何 刚 度 矩 阵 的 误 差 也 增 大。但 由 于(yuy)与

33、 成 正 比，有 限 元 分 析 中，只 要 减 小 单 元 长 度，就 可 避 免 使用几何刚度阵产生的这种误差。（b）弯矩对轴向刚度的影响杆 单 元 的 弯 曲 将 引 起 杆 件 计 算 长 度（杆 件 两 端 节 点 的 距 离）的 改 变，从 而 影响 杆 件 的 轴 向 刚 度。在 杆 件 微 段 上，弯 曲 引 起 的 杆 件 轴 线 计 算 长 度 的 改 变 量为第36 页/共50 页第三十七页，共51 页。在外力作用(wilzuyn)下，杆件总的缩短量为弯矩引起的轴向刚度(nd)修正系数将上列(shngli)两式代入 的表达式中进行积分有式中：当（压杆）时第37 页/共50

34、 页第三十八页，共51 页。当（拉杆(lgn)）时活载非线性分析公路桥梁活载比值较小，活载材料非线性问题并不突出，本节主要以活载几何非线性进行讨论。为了讨论方便，将非线性状态下荷载最不利加载区域称为影响区。活载几何线性分析，会遇到如下问题5：线性叠加原理失败，无法再用传统的影响线加载法进行活载分析。确定影响区本身是一个非线性问题，仅用恒载初始状态计算活载，会带来影响区范围改变和不正确载位引起的误差。单位强迫变位产生的等效力很大，用机动法求解影响区将破坏指定状态结构影响区的真实形状。考虑到结构在确定初始状态下影响线函数的大小，仍以其代表单位荷载作用(zuyng)对关心截面计算参数的影响，因此，可

35、以按如下方法计算非线性活载最不利响应：第38 页/共50 页第三十九页，共51 页。以 结 构 恒 载 状 态 为 初 态 计 算 影 响 区 函 数(hnsh)，用 相 应 的 最 不 利 活 载作 为 试 探，求 出 第 一 次 近 似，将 前 一 次 试 探 活 载 与 恒 载 共 同 作 用 时 的 状 态代 替 初 态，重 新 计 算 影 响 区 和 最 不 利 荷 载。当 本 次 活 载 效 应 与 上 次 活 载 效应 的 误 差 落 在 某 一 允 许 范 围 时，计 算 收 敛。这 样，每 迭 代 一 次，都 加 强 了活载对计算状态的影响。这一计算可归结为如下步骤：将 结

36、构 恒 载 受 力 状 态 作 为 求 解 影 响 区 的 初 始 状 态，计 算 出 初 始 影 响 函数(hnsh)用动态规划加载法，找出最不利加载位置，并作好记录。以 恒 载 受 力 状 态 为 计 算 初 态，将 活 载 按 最 不 利 载 位 一 次 性 作 用 于 结 构，分析恒、活载共同作用下的结构受力状态和关心截面力学量。将 恒、活 载 共 同 作 用 下 的 结 构 状 态 作 为 求 解 下 一 步 影 响 区 函 数(hnsh)新 的 初 态，重 复 的 计 算，经 过 数 次 迭 代 计 算 就 可 以 得 到 活 载作用下关心力学量的最终值求 解 活 载 影 响 区

37、可 用 机 动 法，但 单 位 强 迫 变 位 应 取 用 一 个 很 小 的 数（如10-5），这 样，可 以 保 证 确 定 的 影 响 区 不 失 真，使 动 态 规 划 法 找 到 的 载 位即为相应内力状态下的最不利载位。第39 页/共50 页第四十页，共51 页。小结桥梁结构非线性问题以大跨径桥梁几何非线性表现较为突出，特别是索支承桥梁。材料非线性问题一般仅限于圬工及大跨径混凝土桥梁结构分析、徐变、收缩计算和桥梁极限承载力分析。求解几何非线性问题以U.L 列式法较为普遍，这也是目前国内桥梁结构非线性分析程序采用最多的方法之一。目前除吊桥及拱桥几何非线性问题有解析方法（挠度理论）以外

38、(ywi)，以有限元计算为主的非线性分析已得到相当广泛的应用。结构的损伤单元已逐步应用到在役桥梁评价中去6。第40 页/共50 页第四十一页，共51 页。本章本章(bnzhn)(bnzhn)参考文献参考文献1 1 丁皓江、何福保、谢贻权、徐兴弹性和塑性力学中的有 丁皓江、何福保、谢贻权、徐兴弹性和塑性力学中的有限单元法机械工业 限单元法机械工业(gngy)(gngy)出版社，出版社，1992 1992 2H 2H C.chan.Y.K.Cheung and Y.P.Huang.Nonlinerar C.chan.Y.K.Cheung and Y.P.Huang.Nonlinerar Model

39、ling of Reinforced Concrete Structures.Computers Modelling of Reinforced Concrete Structures.Computers&Strutures,Vol.53,No.5,pp.1099-1107,1994&Strutures,Vol.53,No.5,pp.1099-1107,1994 3 3 胡大琳 胡大琳4 4 董毓利混凝土非线性力学基础，中国建筑工业 董毓利混凝土非线性力学基础，中国建筑工业(gngy)(gngy)出版社，出版社，1997 1997 5 5 项海帆高等桥梁结构理论北京：人民交通出版社，项海帆高等

40、桥梁结构理论北京：人民交通出版社，2001 2001 6 6 崔军混凝土结构性能评估的损伤元模型西安公路交通 崔军混凝土结构性能评估的损伤元模型西安公路交通大学学位论文，大学学位论文，2000.6 2000.6 7 7 王新敏空间桁架大位移问题的有限元分析工程力学，王新敏空间桁架大位移问题的有限元分析工程力学，Vol.14,No.4,1997 Vol.14,No.4,1997 第41 页/共50 页第四十二页，共51 页。本章附录：几种常见单元(dnyun)的切线刚度矩阵1 平 面(pngmin)杆 单 元（图附1）式中：第42 页/共50 页第四十三页，共51 页。2 平面梁单元(dnyun

41、)（附图2）式中：第43 页/共50 页第四十四页，共51 页。3 平面柔索单元（附图）柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力（抗弯刚度(nd)为零）；柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载作用，荷载合力效应力为；柔索材料符合虎克定律；局部坐标系取在柔索荷载合力平面内。设无应力索长为，索的荷载集度 向下为正，则参变量之间有如下关系易导得各力素与几何(jh)变量之间的关系为第44 页/共50 页第四十五页，共51 页。对上式取全微分(wifn)有于是，端力和位移的增量(znlin)关系可写成端位移(wiy)和力的增量关系可写成式中：第45 页/共50 页第四十六页，共51 页。合并整理后写成矩阵(j

42、zhn)形式为式中：此即为柔索单元(dnyun)切线刚度矩阵，在索端平衡力已知的情况下，可直接计算，在索端平衡力未知的情况下，首先按单根柔索计算索端力，求解时先初估一个 和，若、自然满足，初估值即为真实值；否则，设估算值产生的误差为第46 页/共50 页第四十七页，共51 页。式中：由估算(sun)的 和 计算出的柔索水平投影长；由估算(sun)的 和 计算出的柔索垂直投影长。下一次计算希望(xwng)通过 和 的修正，使误差趋于零，即易得 用、修正 和，再按照附图4 所示的流程迭代，就可以在已知 的情况下，求出所有索端力。最后(zuhu)，计算切线刚度阵流程见附图5。用直杆代替柔索计算是常用

43、的近似方法，柔索的垂度效应可用Ernst 公式对弹性模量进行修正，这种方法在小位移、高应力水平下，具有较高精度。但如果索工作在大位移状态或应力水平不高的情况下，就会出现很大的误差，因此，采用近似方法计算时应慎重。文献1 给出了板单元及三维单元的切线刚度矩阵，文献7 给出了空间杆单元的切线刚度矩阵。第47 页/共50 页第四十八页，共51 页。进入输入已知量坐标允许误差 计算 l、h 初估 Fxi、Fyi计算 l0、h0计算 ex、eyex 和 ey 计算 Ai、Bi、C、Fxi、Fyi修正 Fxi、Fyi计 算 各 索 端 节 点力计 算 索 有 应 力 索长Y带出 Ai、Bi、C 及索端力、索长返回N附图4 求索端力的计算流程第48 页/共50 页第四十九页，共51 页。进入带入基本参数索端力已知否？计算 Ai、Bi、C计算 kij迭代计算索端力N结束Y附图5 柔索单元切线刚度阵计算流程第49 页/共50 页第五十页，共51 页。感谢您的观看(gunkn)。第50 页/共50 页第五十一页，共51 页。