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2、数学压轴：平行四边形问题2023中考数学压轴题函数平行四边形问题（一）2023中考数学压轴题函数平行四边形问题（二）2023中考数学压轴题函数平行四边形问题（三）2023中考数学压轴：梯形问题2023中考数学压轴题函数梯形问题（一）2023中考数学压轴题函数梯形问题（二）2023中考数学压轴题函数梯形问题（三）2023中考数学压轴：面积问题2023中考数学压轴题函数面积问题（一）2023中考数学压轴题函数面积问题（二）2023中考数学压轴题函数面积问题（三）2023中考数学压轴题:函数相似三角形问题（一）例1、直线y =-gx +l分别交x轴、y轴于4、B两点，A O B绕点。按逆时针方向旋转
3、9 0。后得到C。，抛物线y=ax 2+bx+c经过4、C、。三点.（1）写出点4、B、C、。的坐标；（2）求经过4 C、。三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；（3）在直线8 G上是否存在点Q,使得以点4、B、Q为顶点的三角形与C O D相似？假设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.图1思路点拨1.图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角.2.用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标.3 .第(3)题判断N 4 BQ=9 0 是解题的前提.4 .ZBQ与C O D相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点8的位置关系分上下两种
4、情形，点Q共有4个.忌分值斛签(1)4(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-l,0).(2)因为抛物线y=ax 2+bx+c经过力(3,0)、Q 0,3)、)(-1,0)三点，所以9 a +3b+c =0,a =-1,-c =3,解得 =2,a-b+c =0,c =3.所以抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3 =(x 1尸+4,顶点G的坐标为(1,4).(3)如图2,直线BG的解析式为y=3 x+l,直线C D的解析式为y=3 x+3,因此C D BG.因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以因此即 N A BQ=9 0 .因为点Q在直线B G上，设点Q的坐标为(x,3
5、x+l),那么B。=+由 了=.R t A C O D的两条直角边的比为1:3,如果Rt AB Q与R t aC O D相似，存在两种情况：当 些=3时，主 照=3-解得x =3.所以。(3,10),。,(-3,-8).B A M 当 鬻=:时，=7 ,解得”=土；,所 以。3(；,2)，。4(一,0)，B A 3 (10 3 3 3 3图2图3考点伸展第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明力BLBG；二是=西+尸=V 10 x .我们换个思路解答第(3)题：如图3,作GH_ Ly轴，Q N _ Ly轴，垂足分别为H、N.通过证明A O B四 BHG,根据全等三角形的
6、对应角相等，可以证明N 4 BG=9 0 .在 R t ZBGH 中,s i n Z1-c o s Z1=1=V 10 V 10 当 柜=3时，B Q=3 5/10 .BA在 R t BQ N 中，Q N =BQ-s i n N l=3,B N=B Q-c o s Nl=9.当Q在B上方时，2,(3,10);当Q在B下方时，。2(-3,-8).当 丝=1时，=同理得到Q 3(1,2)，Q4(-,0).B A 3 3 3 3k例2、R t/V I BC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数 =一(攵。0)在第一x象限内的图像与BC边交于点。(4,m),与A B边交于点E(2,n),BD E的
7、面积为2.(1)求，与的数量关系；(2)当t an/4=1B寸，求反比例函数的解析式和直线A B的表达式；2(3)设直线A B与)，轴交于点尺 点P在射线尸。上，在(2)的条件下，如果与相似，求点P的坐标.图1思路点拨1.探求m与n的数量关系，用m表示点8、D、E的坐标，是解题的突破口.2.第(2)题 留 给 第(3)题的隐含条件是FD x轴.3.如果AE O与E F P相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况.名分值筹答k K(1)如 图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y =士的图像上，所以 x 2n k.整理，得n =2m.(2)如图 2,过点 E作 E HJ_8C
8、,垂足为 H.在 Rt ZB E H 中，t a n Z B EH=t a n Z A=-,2EH=2,所以 2H=1.因此。(4,m),E(2,2m),B(4,2m +l).B D E 的面积为 2,所以 g 8/：”=；(2 +l)x 2=2.解得 m =l.因此 D(4,1),E(2,2),8(4,3).k因为点D (4,1)在反比例函数丁=一的图像上，所以k=4.因此反比例函数的解析x4式为x设直线48 的解析式为y=k x+b,代入B(4,3)、员2,2),得 3=4k+b 解得=一1，b=l.因此直线4B的函数解析式为y =gx+l .图 2图 3图 4(3)如图3,因为直线y =
9、；x +l 与y轴交于点F (0,1),点。的坐标为(4,1),所 以 阳 x 轴，ZEFP=ZEAO.因此 AE O与 E F P相似存在两种情况：如图3,当EA色=E匕F 时，/27竺5 =2x/土5.解 得 利=1.此时点P 的坐标为(1,1).AO FP2 FP如图4,当早EA=F时P，2土A/5 =三FP解得F P=5.此时点P 的坐标为(5,1).AO EF 2 7 5考点伸展此题的题设局部有条件“Rt ZVIB C 在直角坐标系内的位置如图1 所 示 ，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：1 2第(1)题的结论m与 的数量关 系 不 变.第(2)题反比例
10、函数的解析式为y =-，x直线4 B为 y =7.第(3)题 F D 不再与x 轴平行，AE。与 E F P也不可能相似.图 52 0 2 3 中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例 3、如图1,梯形。4 B C,抛物线分别过点。(0,0)、4 (2,0)、B (6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；(2)将 图 1中梯形04 B C 的上下底边所在的直线04、C B 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点。1、4、C i、B i,得到如图2 的梯形0 1 4 B 1 Q.设梯形0 4&C1的面积为 S 4、&的坐标分别为(x i，%)、的，%).用 含 S的代数
11、式表示X 2%,并求出当S=36时点4 的坐标；(3)在 图1中，设点。的坐标为(1,3),动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段B C运动，动点Q从点。出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运 动.P、Q两点同时出发，当点Q到达点”时，P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线4 B、x轴围成的三角形与直线PQ、直线4 B、抛物线的对称轴围成的三角形相似？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由.思路点拨1.第(2)题用含S的代数式表示X 2X I，我们反其道而行之，用X I，X 2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即以
12、一 1 =3.通过代数变形就可以了.2 .第(3)题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此此题的策略是先假设，再说理计算，后验证.3 .第(3)题的示意图，不变的关系是：直线4 B与x轴的夹角不变，直线A B与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线P Q的斜率，因此假设直线P Q与力B的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方.总分依解签(1)抛物线的对称轴为直线X =l,解析式为丫二/-!，顶点为“(1,-1).-8 4 8(2)梯形G的面积S =2区-1+产I”?=3(%+与)_6 ,由此得到X)+x2 F 2 .由于 y2-=3 ,所以%X =-
13、2%；%=3 .整理，得3 8 4 8 41 1 7 2(入2-X )W(w+x)一工=3.因此得到-X =.X)=1 4,x.=6,当S=3 6时，42 1 解得 此时点4的坐标为(6,3).x2-x=2.X-J=8.(3)设直线4 8与P Q交于点G,直线4 8与抛物线的对称轴交于点E,直线P Q与x轴交于点F,那么要探求相似的G AF与G Q E,有一个公共角NG.在a C E Q中，N G E Q是直线4 8与抛物线对称轴的夹角，为定值.在G 4 F中，NG 4 F是直线4 8与x轴的夹角，也为定值，而且NG E Q/NG 4 F.因此只存在NG Q E=NG/尸的可能，/GQEs 4
14、GAF.ZG A F=Z G Q E=Z PQD.由于tan NG A尸=,tan N P Q。=些=一,所以3 =.解得 =2 2.4 Q P 5-t 4 5-t 7图3图4例4、如图1,点4 (-2,4)和点B(l,0)都在抛物线丁 =m/+2加氏+上.(1)求 m、n：(2)向右平移上述抛物线，记平移后点力的对应点为4,点B的 对 应 点 为 夕，假设四边形4 B B为菱形，求平移后抛物线的表达式；(3)记平移后抛物线的对称轴与直线4B 的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点夕、C、。为顶点的三角形与ABC相似.图1思路点拨1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各 具 特 色.第
15、(1)题用在待定系数法中；第(2)题用来计算平移的距离；第(3)题用来求点B 的坐标、A C和B C的长.2 .抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变.3 .探求4 BC与C D相似，根据菱形的性质，N B A C=N C B，D,因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论.总分彼解答(1)因为点4 (-2,4)和点8(1,0)都在抛物线了 =/+2/加+上，所以4 m-4 m +n =4,解得机=，“小m+2 m+n O.3(2)如图2,由点4 (-2,4)和点B(l,0),可得A B=5.因为四边形4 B B为菱形，所以 4 4 =B B=A B=5.因为 y=x x+4=(x
16、+1)H-，所以原抛3 3 3、,3物线的对称轴x=-l向右平移5个单位后，对应的直线为x=4.因此平移后的抛物线的解析式为y =-：(X-4)2+.图2(3)由点 A(-2,4)和点 B (6,0),可得 AB =4后.如图2,由4 M C N,可 得 乌&=竺 ,即2 =解得BC=下.所以B M BA 8 475A C =3亚.根据菱形的性质，在4 8 C与4夕C D中，Z B A C=Z C B D.如图3,当 空=时，-4-=,解得0=3.此时。=3,点。的坐A C B,D 3#B D标 为(3,0).A D R r)5 A/)5 i o如图4,当 丝 =U时，=，解得B =士.此 时
17、。=二，点。的A C BC 3 7 5 y5 3 31 3坐 标 为(上，0).3图3图4考点伸展在此题情境下，我们还可以探求a B C D与 4 B B 相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况.我们也可以讨论夕C D与 C 8 8 相似，这两个三角形有一组公共角N B,根据对应边成比例，分两种情况计算.2 0 2 3中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5、如图1,抛物线经过点4(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.(1)求此抛物线的解析式；(2)P是抛物线上的一个动点，过P作P M L x轴，垂足为M,是否存在点P,使得以4、P、M为顶点的三角形与0 4
18、 C相似？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)在直线A C上方的抛物线是有一点。，使得C C 4的面积最大，求出点。的坐标.思路点拨1 .抛物线与X轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.2 .数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.3 .按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4 .把D C 4可以分割为共底的两个三角形，高的和等于0 4总分值解答(1)因为抛物线与x轴交于力(4,0)、B(1,0)两点，设抛物线的解析式为y =a(x l)(x 4),代入点C的 坐 标(0,-2),解得a =所以抛物线的解析式为1 1
19、,5y=_/(x-l)(x-4)=-万r+/X-2 .(2)设点 P 的坐标为(x,，(x l)(x-4).2如图 2,当点 P在x轴上方时，l x 4,P M =(x l)(x 4),A M=x-4.2(x l)(x 4)解方程2-=2,得x =5.此时点P的坐标为(5,2).x-4解方程工-=-,得x =2不合题意.x 4 2如图4,当点P在 点B的左侧时，xl,P M=-(x-)(x-4),AM =4 x.2(x-l)(x-4)解方程2-=2,得x =-3.此时点P的坐标为(3,1 4).4-x(x l)(x-4).解 方 程-=,得x =0.此时点P与点。重合，不合题意.4-x 2综上
20、所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-1 4)或(5,-2).图2图3图4(3)如图5,过点。作x轴的垂线交4?于E.直线A C的解析式为y =2.设点。的横坐标为m(l 4),那么点。的坐标为(丸加2+一加一 2),点E的2 21 1 ,5 1 1 ,坐标为(/,一 机-2).所以 D E -(m +/2-2)(m-2)=m +2m .2 2 2 2 2因此5A oAC=g(g m?+2 m)x 4 =-m2+4 z =-(m-2)2+4 .当加=2时，的面积最大，此时点。的坐标为(2,1).图5图6考点伸展第(3)题也可以这样解：如图6,过。点构造矩形O AM N,那么 D 8
21、的面积等于直角梯形C AM N的面积减去C D N和 4 0 M的面积.设点D的横坐标为(m,n)(1 m 4),那么S-(2n+2)x 4-m(n+2)-(4 -i n)-m+2 +4.2 2 21,5 2由于”=m +-m-2 ,所以 S =-m +4 m .2 23例6、如图1,A B C中，力B=5,4 c=3,c o s 4=.D为射线区4上 的 点(点。1 0不与点B重 合)，作D E/B C交射线G 4于点E.(1)假设C E=x,B D=y,求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当分别以线段B D,C E为直径的两圆相切时，求D E的长度；(3)当点。在A B边上时，
22、B C边上是否存在点F,使A B C与D E F相似？假设存在，请求出线段B F的长；假设不存在，请说明理由.图1 备用图 备用图思路点拨1 .先解读背景图，A B C是等腰三角形，那 么 第(3)题中符合条件的D E F也是等腰三角形.2 .用含有x的式子表示B D、D E、MN是 解 答 第(2)题的先决条件，注意点E的位置不同，D E、MN表示的形式分两种情况.3 .求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意.4 .第(3)题按照D E为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题.总分值斛答A H 3(1)如图2,作B H _ L
23、 4 C,垂足为点从 在R tZ X A B H中，AB=5,c o s A=一，AB 1 03|所以4 H=-=-4 C.所 以 垂 直 平 分A C,A B C为等腰三角形，A B=C B=5.2 24 p A C 0).D B E C y x 3(.2,)如,图 3,图4,因、为,C E/B C,所以,D E =A E ，MN =AN ，即n丝p=113?yi ,B C A C B C A C 5 3理Y=上 宣1.因此D E=213二2 1,圆心距MN=6 XI.5 3 3 6图2 图3 图4在。M 中，-B D=y=x,在。N 中，rN-C E-X.M 2 2 6 N 2 2当两圆外
24、切时，W 5 1 6 r l解得尤=理 或者%=一1 0.6 2 6 1 3如图5,符合题意的解为*=的，此时。E=史二=.1 3 3 1 3当两圆内切时，-x-x =5 x.6 2 6当x 6时，解得x=1 0,如图7,此时E在。1的延长线上，O E=5(X-3)=更3 3图5图6图7(3)因为A B C是等腰三角形，因此当4 B C与A OE尸相似时，D E F也是等腰三角形.如图8,当。、E、尸为4 B C的三边的中点时，D E为等腰三角形D E F的腰，符合题意，此时B F=2.5.根据对称性，当尸在B C边上的高的垂足时，也符合题意，此时B F=4.1.1 2 5如图9,当C E为等
25、腰三角形OE F的底边时，四边形D E C F是平行四边形，此时6尸=.3 4图8 图9 图1 0 图1 1考点伸展:第(3)题的情景是一道典型题，如图1 0,如 图1 1,4 H是4 B C的高，。、E、F为A A B C的三边的中点，那么四边形D E H F是等腰梯形.例7 如图1,在直角坐标系xC(y中，设点力(0,t),点Q (t,b).平移二次函数y=-%2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于8、C两点(I OB I 0时,O B 0时，由t a n N A 3 0=2 =91=一，解得f=3.此时二次函数2 0B t-的解析式为y=-3/+I8 x-24 .如
26、图3,当，一1 0时，由tan N A80=3=3 =一，解得。=之.此时二次2 O B -t +5函数的解析式为y=-3 x2+x+.5 25 125图2图33如图4,如图5,当，0时，由|O8|OC|,将一/代f,可 得/=一,，f =-3.此时二次函数的解析式为y=|/+鲁 或y=3/+i 8 x +24.图4图5考点伸展第(2)题还可以这样分类讨论：n A 3因为4 Q比,所以t=b,于是抛物线产为y=-r(x-r)2+r .由t a n Z A B O =1,2得O 3 =OA.32把3(t,0)代入 y=-f(x-f)2+f,得 =3(如图 2,图 5).2 3把3(f,0)代入
27、y=,得，=g 如图 3,图 4).2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1、如 图1,正方形Q 4 B C的边长为2,顶点4、C分别在x、y轴的正半轴上，M是B C的中点.P(0,m)是线段OC上 一 动 点(C点 除 外)，直线P M交力B的延长线于点D.(1)求点。的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当A P D是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点。作直线M E的垂线，垂足为H (如图2).当点P从。向C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).图 1图 2思路点拨1.用含m的代数式表示表示 4 P 0
28、的三边长，为解等腰三角形做好准备.2.探求 A P D 是等腰三角形，分三种情况列方程求解.3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？R t O HM的斜边长。”是定值，以 O M为直径的圆过点H、C.总分值斛答（1）因为PC/D B,所以，工=0=如=.因 此 P M=O M,C P=B D=2 m.所以B D DM M BA D=4 m.于是得到点。的坐标为（2,4 m J.（2）在4 P D 中，A D2=（4-r n）2f A P2=1+4,P D2=（2 P M）2=4 +4（2-w）2.当4 P=4D时，（4 一 2）2=/+4.解得m=3 （如图3
29、）.2当P/=P D 时，m 之+4 =4 +4（2）2.解得m=3 （如图4）或租=4 （不合题意，3舍去）.当D 4=D P 时，（4-机产=4 +4（2-2.解得小=2 （如图5）或帆=2（不合题意，3舍去）.综上所述，当 4 P D 为等腰三角形时，m的值为2,&或 2.2 3 3图 3 图 4 图 5（3）点，所经过的路径长为亚乃.4考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图3,当4 P=4 D 时,4 M 垂直平分P D,那么 P C M s M B A.所 以 匹=逊=.因CM B A 2i a此 PC =t n 2 2如图4,当 出=P。时，
30、P在 4。的垂直平分线上.所以D4 =2 P O.因此;4 一根=2 相.解得/?=.3第(2)题的思路是这样的:如图6,在 Rt/XOHM中，斜边0M 为定值，因此以0M 为直径的。G 经过点H,也就是说点H 在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图7,P 与。重合时，是点H 运动的起点，N C O H=45 ,NC GH=9 0 .图 6图 7例 2 如图1,一次函数y=-x+7 与正比例函数y交于点8.(1)求点4 和点B 的坐标;(2)过点4 作AC y轴于点C,过点B作直线/轴.动点 P 从点。出发，以每秒1 个单位长的速度，沿。一C一4的路线向点4 运动；同时直线/从点B 出发
31、，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线/交x 轴于点R,交线段区4或线段4 0 于 点 Q.当点P 到达点4 时，点 P 和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.当 t 为何值时，以4、P、R 为顶点的三角形的面积为 8?的图象交于点4且与x 轴3是否存在以力、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求 t 的值；假设不存在，请说明理由.图 1思路点拨1.把 图 1 复制假设干个，在每一个图形中解决一个问题.2.求?!/?的面积等于8,按照点P 的位置分两种情况讨论.事实上，P 在。1上运动时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8 的可能.3.讨论等腰三
32、角形力P Q,按照点P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况.总分依解答y=-x+7,(x-3(1)解方程组 4 得 所以点4 的坐标是(3,4).y=-x,y=4-7.所以点B 的坐标是(7,0).如 图 2,当 P 在 上运动时，0 4 4.由5的=S梯 形 c网 T 心一“的=8,得g(3+7-f)x 4-g x 4 x(4-r)-g x 7-f)=8.整理，得*-&+12=0.解得 t=2 或 t=6(舍 去).如 图 3,当 P 在 G4上运动时，?!/?的最大面积为6.因此，当 t=2 时，以4、P、R 为顶点的三角形的面积为8.图 2图 3图 4我们先讨论P
33、 在。C上运动时的情形，0W t 45 ,0B=7,AB=4&,所以 0BA B.因此如图4,点 P 由 0 向 C运动的过程中，O P=B R=R Q,所以PQx 轴.因此N 4Q P=45保持不变，NR4Q越来越大，所以只存在NAPQ=N4QP的情况.此时点4 在 PQ的垂直平分线上，OR=2CA=6.所以BR=1,t=l.我们再来讨论P 在 C4上运动时的情形，4W t 0).将 B (1,0)代入 y=x+b,得 b=l.将 y=4 代入 y=x+l,得 x=3.所以点。的坐标为(3,4).3(2)因为 D (3,4),所以 0。=5,c o s Z D O P =-.5O E 3如图
34、 2,当 P D=P。时，作 P E _ L。于 E.在 R t A OP E 中，c o sZ D O P =-,O P 5O E =-5 ,所以。=上2 5 .此 时 点P的坐标为(25,().2 6 6如图3,当。=。=5时，点P的坐标为(5,0).如图4,当。=。时，点。在0 P的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6,0).图2图3图4(3)圆P的半径与=/7),两圆的圆心距为O P.当两圆外切时，圆。的半径r 0=O P P D.如图2,当P D=P。时，2=0,此时圆。不存在.如图 3,当。P=OD=5 时，作 D H 1.OP 于 H.在 R t Z s OH P 中，DH=4,H
35、 P=2,所以。2=2百.此 时2 =。尸P D =5 2右.如图 4,当 OO=D P 时，ro=O P-P D =6-5 =.考点伸展如图5,在此题情景下，如果圆P与圆C外切，那么点P的变化范围是什么？3如图6,当圆P经过点C时，点P在C D的垂直平分线上，点P的坐标为(2,0).2因此当点P在x轴上点(,()的右边时，圆P与圆C外切.2图5图62 0 2 3中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)例1、如图1,抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于力、B两 点(点A在点B左 侧)，与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=L直线B C与抛物线的对称轴交于点。.(1)求抛物线的函数表达式；(
36、2)求直线B C的函数表达式：(3)点E为y轴上一动点，C E的垂直平分线交C E于点F,交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限.当线段P Q =：A B时，求t a n/C E D的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第(3)问的题意，在图中补出图形，以便作答.图1思路点拨1 .第(1)、(2)题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题.2 .第(3)题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.3.根 据C、。的坐标，可以知道直角三角形C D E是等腰直角三角形，这样写点E的坐标
37、就简单了.总分值解答(1)设抛物线的函数表达式为y =(x-l)2+，代入点C(0,-3),得=T.所以抛物线的函数表达式为y =(x 1)2-4 =/一2元 3 .由 y=/-2 x-3 =(x+l)(x-3),知 2(1,0),B(3,0).设直线 BC 的函数表达式为y=，代入点B(3,0)和点C(0,-3),得J，解得上=1,h=-3.所以b=-3.直线BC的函数表达式为y=x-3.(3)因为力B=4,所以PQ=A3=3.因为P、Q关于直线x=l对称，所以点P4的横坐标为-g.于是得到点P的坐标为点F的坐标为所以7 5 5FC=O C-O F =3-=一，E C =2FC=-4 4 2
38、进而得到OE=OC-EC=3-g =g，点E的坐标为(0,-g).直线BC:y=x-3与抛物线的对称轴x=l的交点。的坐标为(1,-2).过点。作。HJ_y轴，垂足为H.在 RtZXEDH 中，DH=1,E H O H-O E=：2-=-所以 tanNCED=也=2.2 2 E H 3耳(1-0,-2)，g(l一孚一|).图2图3图4考点伸展第(3)题求点P的坐标的步骤是：如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点尸的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标.例2、设直线A：y=kix+bi与gy=k2x+b2,假
39、设 川2,垂足为H，那么称直线A与/2是点H的直角线.(1)直线y=-g x+2：y=x+2；y=2x+2；y=2x+4和点C(0,2),那么直线 和 是点C的直角线(填序号即可)；(2)如图，在平面直角坐标系中，直角梯形O/1BC的顶点力(3,0)、8(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为/1，过4、P两点的直线为/2,假设A与/2是点P的直角线，求 直 线 与 匕的解析式.图1答金(1)直线和是点C的直角线.(2)当/4 P 8=9 0 时，BCPSP O A.那 么 空=，即?_=.解得 0 PC P O A 1-PO 3=6 或 O P=1.如图 2,当
40、0 P=6 时，/i：y=lx+6，/2：y=-2 x+6.2如图 3,当 O P=1 时，八：y=3 x+l,h：v =-x+l-3图2 图32023中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)例5 如 图1,直线y=g x+4和x轴、轴的交点分别为&C,点4的坐标是(-2,0).(1)试说明力B C是等腰三角形；(2)动点M从4出发沿x轴向点8运动，同时动点N从点B出发沿线段B C向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设M运动t秒时，M O N的面积为S.求S与t的函数关系式；设点M在线段。8上运动时，是否存在S=4的情形？假设存在，求出对应的t值
41、；假设不存在请说明理由；在运动过程中，当 M O N为直角三角形时，求t的值.图1思路点拨1 .第(1)题说明A B C是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点.2 .不管“在4 0上还是在O B上，用含有t的式子表示O M边上的高都是相同的，用含有t的式子表示O M要分类讨论.3 .将S=4代入对应的函数解析式，解关于t的方程.4 .分类讨论 M O N为直角三角形，不存在/O N M =9 0 的可能.总分彼解答4(1)直线y=-x+4与x轴的交点为8 (3,0)、与y轴的交点C 0,4).R t AB O C中，O B=3,O C=4,所以B C=5.点A的坐标是(-2,
42、0),所以B 4=5.因此B C=B A,所以A A B C是等腰三角形.4(2)如图 2,图 3,过点 N 作 N H _ L 4 B,垂足为 H.在 Rt/X B NH 中，B N=t,s i n B ,54所以N H=t.5如图2,当M在4。上时，0 M=2 t,此时1 1 4 2 4S=OM.N H =_ Q _ t)x t =t2+-t.2 2 5 5 5定义域为0 V t W 2.如图3,当M在。8上时，O M=t-2,此时1 1 4 2 c 4S=-OM N H =-(t-2)x-t =-t2一一t.定义域为 2 V t N=3N,NCDN=/B =45.又由于NCDM=NC4M
43、=180PNC4B=135,所以 NMDN=ZCDM-ZCDN=135-45=90.在 RtZiMDV中，由勾股定理，得MN?=DM?+DN?.MN2=AM2+BN2考点伸展当扇形CEF绕点C旋转至图5,图6,图7的位置时，关系式MN?=AM2+BN?仍然成立.图6图5图72023中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)例1、平面直角坐标系x。(如图1),一次函数y=3x+3的图像与J轴交于点44点M在正比例函数y=3 x的图像上，且M O=K4.二次函数 个y2y=x2+bx+c的图像经过点4、M.I(1)求线段AM的长；.J.O 1(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于
44、点4下方，点C在上述二次函数的图像上，点。在一次函数y=x+3 的图像上，且四边形4BCD是菱形，求点C-4的坐标.思路点拨1.此题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是根本要求，抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.2.根 据 M 0=M 4确定点M 在。4 的垂直平分线上，并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤.3.第(3)题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m.总分值解答(1)当x=0 时，y=x+3=3，所以点2 的坐标为(0，3),04=3.-4如图2,因为“。=m 4,所以点M 在。
45、A 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为3.将2 2代入y=?x，得 x=l.所以点”的坐标为(1,1).因此4川=卓.解得b=_*,2c=3.所以二次函数的解析式为 =尤2_犬+3.2(3)如图3,设四边形A8CD为菱形，过点A 作力EL C D,垂足为E.在 RtZXADE 中，设 4E=4m,DE=3 m,那么 AD=5m.因此点C的坐标可以表示为(4m,3 2 m).将 点 C(4m,3 2m)代入y=-*x +3，2得3-2加=16加2-10相+3.解得机=L 或者m=0(舍去).2因此点C的坐标为(2,2).图 2图 3考点伸展如 果 第(3)题中，把“四边形ABCD是菱形”改 为
46、以 4、B、C、。为顶点的四边形是 菱 形 ，那么还存在另一种情况：c=3,因为抛物线y=x2+bx+c经过力(0,3)、M(1,)，所以 Q2 1 +b+c=二如图4,点 C的坐标为(？,空).4 16图 4例 2、将抛物线c i：y =-G x 2 +G 沿 x轴翻折，得到抛物线C 2,如图1 所示.(1)请直接写出抛物线C 2 的表达式；(2)现将抛物线c i 向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与 x轴的交点从左到右依次为小B；将抛物线C 2 向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N,与 x轴的交点从左到右依次为D、E.当8、。是线段AE的三等分点时，求 m
47、 的值；在平移过程中，是否存在以点力、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？假设存在，请求出此时m的值；假设不存在，请说明理由.图 1思路点拨1.把 2、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用 m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.2 .B、0是线段4E 的三等分点，分两种情况讨论，按照4 B 与 4E 的大小写出等量关系列关于m的方程.3 .根据矩形的对角线相等列方程.忍分值斛答(1)抛物线C 2 的表达式为 =岳 2-6.(2)抛物线c i：=-瓜 2+石 与 x 轴的两个交点为(-1,。)、(1,0),顶点为(0,6).抛物线C 2：y =&2-6与 x 轴的两个交点
48、也为(一1,0)、(1,0),顶点为(0,-6).抛物线c i 向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(-肛G),与 x 轴的两个交点为A(-l-w,0)8(1,0),A B=2.抛物线C 2 向右平移m 个单位长度后，顶点N 的坐标为(?,-石)，与 x 轴的两个交点为)(一 1 +?,0)、E(l +m,0).所以 4 E=(l+m)(1=+B、。是线段AE的三等分点，存在两种情况:情形一，如图2,8 在。的左侧，此时A8=AE=2,A E=6.所以2(l+m)=6.解3得 m=2.情形二，如图3,B 在。的右侧，此时4B=2AE=2,A E=3.所以2(l+m)=3.解3W w=2图
49、 2图 3图 4如果以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么4E=M N=20M.而 OM2=n?2+3,所以 4(l+m)2=4(m 2+3).解 得 血=1(如图 4).考点伸展第(2)题，探求矩形4N EM,也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为A8=2,4B边上的高为道，所以ABM是等边三角形.同理OEN是等边三角形.当四边形4NEM是矩形时，B、。两点重合.因为起始位置时B C=2,所以平移的距离m=l.2023中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)例 3、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线经过4(4,0)、6(0-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(
50、2)假设点M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为m,MZB的面积为S,求 S关于m 的函数关系式，并求出S的最大值；(3)假设点P 是抛物线上的动点，点 Q是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.图 1图 2思路点拨1.求抛物线的解析式，设交点式比较简便.2.把AMB分割为共底M。的两个三角形，高的和为定值。43.当 P Q 与。B平行且相等时，以点P、Q、B、。为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程.赵分依解答(1)因为抛物线与x 轴交于4(-4,0)、。2,0)两 点,