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1、 这是2002 年在北京召开的第24 届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab1、正方形ABCD的面积S=、四个直角三角形的面积和S=、S与S有什么样的不等关系？探究：S_S问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式 的证明吗？证明：（作差法）结论：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b 时，等
2、号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,bR替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？证明：要证 只要证要证，只要证 要证，只要证显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.分析法证明不等式：特别地，若a0，b0，则 通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt ACD Rt DCB，A BCDEabO如图,AB是圆的直
3、径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.如何用a,b表示CD?CD=_如何用a,b表示OD?OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用a,b表示CD?CD=_如何用a,b表示OD?OD=_OD与CD的大小关系怎样?OD_CD如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件a=b a=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,bR a0,b
4、0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_.例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则
5、2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xy m2得 xy 81当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_；各项皆为正数；和或积为定值；注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时,取“=”号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时,取“=”号).14变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形
6、花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为xy m2ABDC得 1442xy 当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即 xy 72即x=12，y=6x+2y=24 x=2y变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为xy m2ABDCx+y不是 定值.2=24为 得 2xy 144当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形
7、的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即 xy 72即x=12，y=6x+2y=24 x=2y变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设AB=x，BC=242x，ABDC变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为x(242x)m2当且仅当2x=242x,即x=6时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2(其中2x+(
8、24-2x)=24 是定值)变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x，BC=242x，矩形花园的面积为x(242x)m2因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为72小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时,取“=”号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式1、本节课主
9、要内容？你会了吗？五、小结2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。2、(04重庆）已知则x y 的最大值是。1、当x0时，的最小值为，此时x=。21 3、若实数，且，则 的最小值是（）A、10 B、C、D、D第二课时习题课题型一、构造基本不等式证明不等式构造条件二、应用例1、若,求 的最小值.变3:若,求 的最小值.变1:若 求 的最小值变2:若,求 的最小值.发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？三、应用例2、已知,求函数 的最大值.变式:已知,求函数 的最大值.发现运算结构，应用不等式课堂练习1.(1)已知，求函数 的最大值。(2)已知，且，
10、求 的最小值。2.求 函数的值域。分析：要求x y 的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会答案：A 例6(数学与日常生活)某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理 因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元 变式训练6 如下图所示，动物
11、园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有长36 m 的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？练习2：若，则（）（1）（2）（3）B练习1：设a0，b0，给出下列不等式其中恒成立的。2、(04重庆）已知则x y 的最大值是。练习：1、当x0时，的最小值为，此时x=。21 3、若实数，且，则 的最小值是（）A、10 B、C、D、4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、DC例4、求函数 的最小值构造积为定值，利用
12、基本不等式求最值思考：求函数 的最小值构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知，求 的最大值 练习：已知 且，则最大值是多少？二、新课讲解其中当且仅当ab时取等号.三、探索由a、b、c R，依次对其中的两个运用公式(2)，有a+b 2ab;b+c 2bc;c+a 2ca.把以上三式叠加，得 a+b+c ab+bc+ca（a、b、c R）(3)(当且仅当a=b=c 时取“=”号)从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法迭代与叠加.证明：a+b+c ab+bc+ca（a、b、c R）(当且仅当a=b=c 时取“=”号)变式：3种情况，5个结论：4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、C(4)1、设 且a+b=3,求ab的最小值_。3、若，则函数的最小值是_。2、求函数f(x)=x2(4-x2)(0 x2)的最大值是多少？