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1、 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律 给出几种大数定律：切比雪夫弱大数定律、辛钦弱大数定律 科尔莫哥洛夫强大数定律、博雷尔强大数定律讨论“概率是频率的稳定值”（伯努利大数定律）的确切含义.对大数定律的直观认识对大数定律的直观认识n学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。随意观察10个学生的身高X1,X2,X10，则10个数据的均值(X1+X2+X10)/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1,X2,X100，则100个数据的均值(X1+X2+X100)/100与a更接近；若随意观察n
2、个学生的身高X1,X2,Xn，则当n为很大数大数时，n个数据的均值(X1+X2+Xn)/n（样本均值）与a（总体平均值）充分接近.5.1.1 5.1.1 大数定律问题的提法大数定律问题的提法依概率收敛依概率收敛弱大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的 0，有则称随机变量序列Xn依概率收敛于Y,记为设有随机变量序列X1,X2,Xn和随机变量Y以概率以概率1收敛收敛强大数定律讨论的就是以概率1收敛.如果则称随机变量序列Xn以概率1收敛于Y,记为设有随机变量序列X1,X2,Xn和随机变量Y可以证明，若 则常用的几个大数定律常用的几个大数定律 大数定律一般形式：若随机变量序列Xn满足：则称Xn 服从
3、大数定律.切比雪夫弱大数定律的证明切比雪夫弱大数定律的证明伯努利大数定律伯努利大数定律推论5.1.1（伯努利大数定律（频率收敛于概率频率收敛于概率）设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A)=p,则对任意的 0，有5.1.3 5.1.3 强大数定律强大数定律5.2 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布极限分布,本节指出极限分布为正态分布正态分布.内容提要：内容提要：设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理定理5.2.1 林德伯格林德伯格莱维中心极限定理莱维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差
4、为 20，则Xn服从中心极限定理，即补充例补充例1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi,则Xi 独立同分布，且 EXi=100，VarXi=100，由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)补充例2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解:设 Xi 为第 i 次射击命中的环
5、数，则Xi 独立同分布，且 EXi=9.62，VarXi=0.82，故=0.00021棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理还有另一种叙述形式拉普拉斯中心极限定理还有另一种叙述形式.二项分布的正态近似定理5.2.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设Yn 为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当 n 充分大时，有棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理的应用有三大类：注 意 点(2)ii)已知 n 和概率，求x；iii)已知 x 和概率，求 n.i)已知 n 和 x，求概率；例例5.2.2 设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600
6、人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？解：解：设每天看电影的人编号1,2,3,1600,且令 假设各观众去不去电影院是独立选择的。则X1,X2,X1600是独立的0-1分布的随机变量。设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+X1600m-200)0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时.中心极限定理的应用例题补充一、给定 n 和 x，求概率补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第
7、i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 EY=90，VarY=9.二、给定 n 和概率，求 x补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为x,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 EY=140，VarY=42.中解得三、给定 x 和概率，求 n补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Xn 服从 b(n,p)分布，k 为Xn的实际取值。又由可解得n=271补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率.解:设 X 表示命中的炮弹数,则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5 X 5.5)=0.1742小结基本概念基本概念：依概率收敛、契比雪夫大数定理、伯努利大数定理、辛钦大数定理、独立同分布的中心极限定理、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理；基本概念基本概念：中心极限定理的应用.nP98 5.1,nP99 5.3、5.4、5.8、5.9作 业