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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理2 2/8/8“概率概率概率概率”的概念是如何产生的的概念是如何产生的的概念是如何产生的的概念是如何产生的设设设设 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 发生的发生的发生的发生的随机变量随机变量随机变量随机变量频率频率频率频率概率概率概率概率“频率稳定性频率稳定性频率稳定性频率稳定性”的严格数学描述是什么的严格数学描述是什么的严格数学描述是什么的严格数学描述是什么怎样定义极限怎样定义极限怎样定义极限怎样定义极限次
2、数为次数为次数为次数为 则当则当则当则当时时时时,有有有有n n n n重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验怎样理解怎样理解怎样理解怎样理解“越来越接近越来越接近越来越接近越来越接近”？1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理3 3/8/8皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊蒲蒲蒲蒲 丰丰丰丰 德德德德 摩根摩根摩根摩根实验者实验者实验者实验者罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基设函数设函数设函数设函数在区间在区间在区间在区间上有定义上有定义上有定义上有定义,发生的频率为发生的频率为发生的频率为发生的频率为则则则则正
3、面朝上正面朝上正面朝上正面朝上“抛硬币抛硬币抛硬币抛硬币”试验试验试验试验 将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛将一枚硬币连续抛 次次次次,记记记记是随机变量列是随机变量列是随机变量列是随机变量列次试验中次试验中次试验中次试验中正面朝上正面朝上正面朝上正面朝上蒲丰蒲丰蒲丰蒲丰（17071707-17881788）法国数学家、自然哲学家法国数学家、自然哲学家法国数学家、自然哲学家法国数学家、自然哲学家反面朝上反面朝上反面朝上反面朝上是定义在样本空间是定义在样本空间是定义在样本空间是定义在样本空间有有有有收敛于收敛于收敛于收敛于 是指是指是指是指:逐点收敛逐点收敛逐点收敛逐点收敛对于随
4、机变量列对于随机变量列对于随机变量列对于随机变量列,是否有是否有是否有是否有不太现实不太现实不太现实不太现实,要求太严要求太严要求太严要求太严!发生的次数发生的次数发生的次数发生的次数上的函数列上的函数列上的函数列上的函数列1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理4 4/8/8则称则称则称则称记为记为记为记为依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于是一列是一列是一列是一列随机变量随机变量随机变量随机变量,若若若若有有有有设设设设的直观含义的直观含义的直观含义的直观含义:随着随着随着随着 的增大的增大的增大的增大,绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差
5、较大的可能性越来越小较大的可能性越来越小较大的可能性越来越小较大的可能性越来越小.抛硬币试验的频率稳定性抛硬币试验的频率稳定性抛硬币试验的频率稳定性抛硬币试验的频率稳定性1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5 5/8/8（伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律）设设设设 是是是是 次独立重复试次独立重复试次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件验中事件验中事件 发生的次数发生的次数发生的次数发生的次数,且且且且则则则则 有有有有令令令令第第第第 次试验次试验次试验次试验 发生发生发生发生第第第第 次试验次试验次试验次试验 不发生不
6、发生不发生不发生则则则则相互独立相互独立相互独立相互独立从而从而从而从而如何证明如何证明如何证明如何证明机变量机变量机变量机变量列列列列,且具有相同的数学期望和方差且具有相同的数学期望和方差且具有相同的数学期望和方差且具有相同的数学期望和方差,记记记记（切比雪夫大数定切比雪夫大数定切比雪夫大数定切比雪夫大数定律律律律）设设设设 为相互独立的随为相互独立的随为相互独立的随为相互独立的随则则则则 有有有有 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 的方差的方差的方差的方差 存在存在存在存在,则则则则 有有有有 概率论历史上的第一个大数定概率论历史上的第一个大数定概率论历史上的第一个大数定概率论历史
7、上的第一个大数定律，由雅可比律，由雅可比律，由雅可比律，由雅可比伯努利伯努利伯努利伯努利于于于于17131713年年年年发表的著作猜测术中发表的著作猜测术中发表的著作猜测术中发表的著作猜测术中提出提出提出提出.在黑板在黑板上证明上证明切比雪切比雪切比雪切比雪夫大数夫大数夫大数夫大数定律定律定律定律 伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律、切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律均要求随机均要求随机均要求随机均要求随机列变量列的方差存在列变量列的方差存在列变量列的方差存在列变量列的方差存在,该条件可用该条件可用该条件可用该条件可用“同分布同分布同分布同分
8、布”来代替来代替来代替来代替 或或或或（辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律）设设设设 是独立同分布是独立同分布是独立同分布是独立同分布r.vr.vr.vr.v列列列列,存在，则存在，则存在，则存在，则 服从大数定律服从大数定律服从大数定律服从大数定律,即即即即有有有有人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍辛钦辛钦辛钦辛钦该定理通常称为该定理通常称为该定理通常称为该定理通常称为独立同分布大数定律独立同分布大数定律独立同分布大数定律独立同分布大数定律1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理6 6/8/8提供了通过试验来确定事件概率的方法提供了通过试
9、验来确定事件概率的方法提供了通过试验来确定事件概率的方法提供了通过试验来确定事件概率的方法.是数理统计中参数估计的重要理论依据之一是数理统计中参数估计的重要理论依据之一是数理统计中参数估计的重要理论依据之一是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.是是是是 Monte Carlo Monte Carlo 方法的主要数学理论基础方法的主要数学理论基础方法的主要数学理论基础方法的主要数学理论基础.给出了给出了给出了给出了“频率稳定性频率稳定性频率稳定性频率稳定性”的严格数学解释的严格数学解释的严格数学解释的严格数学解释.1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定
10、理7 7/8/8 Monte Carlo Monte Carlo 方法方法方法方法或称为或称为或称为或称为计算机随机模拟方法计算机随机模拟方法计算机随机模拟方法计算机随机模拟方法、计算计算计算计算机仿真方法机仿真方法机仿真方法机仿真方法是科学与工程中的一种重要工具是科学与工程中的一种重要工具是科学与工程中的一种重要工具是科学与工程中的一种重要工具.Monte Carlo Monte Carlo 方法的原理主要基于方法的原理主要基于方法的原理主要基于方法的原理主要基于大数定律大数定律大数定律大数定律.设计算机屏幕上有一矩形区域设计算机屏幕上有一矩形区域设计算机屏幕上有一矩形区域设计算机屏幕上有一
11、矩形区域 不妨设不妨设不妨设不妨设 的面的面的面的面积为积为积为积为 现用鼠标在现用鼠标在现用鼠标在现用鼠标在 的内部任画一封闭曲线的内部任画一封闭曲线的内部任画一封闭曲线的内部任画一封闭曲线 求求求求 围成围成围成围成的内部图形的内部图形的内部图形的内部图形 的面积的面积的面积的面积量量量量(随机点随机点随机点随机点)立、均服从立、均服从立、均服从立、均服从 上均匀分布的随机变上均匀分布的随机变上均匀分布的随机变上均匀分布的随机变用计算机产生一串相互独用计算机产生一串相互独用计算机产生一串相互独用计算机产生一串相互独落入落入落入落入 中个数中个数中个数中个数由伯努利大数定律有由伯努利大数定律
12、有由伯努利大数定律有由伯努利大数定律有记事件记事件记事件记事件 产生的随机点落入产生的随机点落入产生的随机点落入产生的随机点落入 中中中中故当故当故当故当 充分大时充分大时充分大时充分大时 的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积1 1 大数定律大数定律第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理8 8/8/8 在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，所以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率所以缺乏理解概率
13、收敛的理论基础，故把频率所以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率所以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率“趋于趋于趋于趋于”概概概概率视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一率视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一率视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一率视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一样样样样.在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论上进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上上进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上上进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上上进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上称为称为称为称为“大数定理大数定理大数定理大数定理”.”.”.”.ENDEND为什么叫为什么叫为什么叫为什么叫“大数定律大数定律大数定律大数定律”而不叫而不叫而不叫而不叫“大数定理大数定理大数定理大数定理”