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1、第五章 大数定律及中心极限定理第1页，本讲稿共39页5.1 大数定律大数定律一、大数定律的客观背景一、大数定律的客观背景二、几个常见的大数定律二、几个常见的大数定律三、小结三、小结三、小结三、小结第2页，本讲稿共39页 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 一、大数定律的客观背景一、大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率 第3页，本讲稿共39页二、几个常见的大数定律二、几个常见的大数定律切比雪夫切比雪夫Th1:切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况定理的特殊情况第4
2、页，本讲稿共39页说明说明 （2）在所给的条件下，当在所给的条件下，当n充分大时，充分大时，n个随机个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏差的可变量的算术平均值与它们的数学期望有较小的偏差的可能性比较大。能性比较大。可以考虑可以考虑用算术平均值作为所研究指用算术平均值作为所研究指标值的近似值标值的近似值。（1）此定理也称为切比雪夫大数定理）此定理也称为切比雪夫大数定理第5页，本讲稿共39页 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式是切比雪夫不等式.注意注意切比雪夫不等式切比雪夫不等式第6页，本讲稿共39页说明说明例例=3 ,P|X-|=P|
3、X-|3 0.8889=4 P|X-|=P|X-|105的近似值的近似值解解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12 (k=1,2,20).近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),第28页，本讲稿共39页第29页，本讲稿共39页例例3.对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次炮击次炮击,在每次在每次炮击中炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为炮弹命中颗数的数学期望为2,均方差为均方差为1.5,求在求在100次炮击中次炮击中,有有180颗到颗到220颗炮弹命中目标的颗炮弹命中目标的概率概率.解解:设设Xk为第为第k次炮击炮弹命中的颗数次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在在100
4、次炮击中炮弹命中的总颗数次炮击中炮弹命中的总颗数相互独立地服从同一分布，相互独立地服从同一分布，E(Xk)=2,D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)第30页，本讲稿共39页随机变量随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布第31页，本讲稿共39页例例4 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数设各学生参加会议
5、的家长数相互独立相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率.(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的的概率概率.第32页，本讲稿共39页解解(1)以以Xk(k=1,2,400)记第记第k个学生来参加会议个学生来参加会议的家长数的家长数,其分布律为其分布律为pk0.050120.80.15XkXk 相互独立地服从同一分布相互独立地服从同一分布第33页，本讲稿共39页随机变量随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布第34页，本讲稿共39页(2)以以Y表示有一名家长来参加会议的学生
6、表示有一名家长来参加会议的学生,则则Yb(400,0.8)第35页，本讲稿共39页三三 小结小结1、独立同分布的中心极限定理、独立同分布的中心极限定理2.李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理3.棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理近似服从近似服从标准标准正态分布正态分布N(0,1)。第36页，本讲稿共39页一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于纵摇角大于3 的概率为的概率为p=1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪次波浪冲击，问其中有冲击，问其中有2950030500次纵摇角度大于次纵摇角度大于3 的概率是的概率是多少？多少？解解将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验，将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验，假定各次试验是独立的假定各次试验是独立的90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于3 的次数记为的次数记为X，Xb(90000,1/3),思考题思考题第37页，本讲稿共39页第39页，本讲稿共39页