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1、高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数 第三章三角函数与解三角形第三章三角函数与解三角形 高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考考 纲纲 要要 求求1了解任意角的概念了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义的定义.高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、角的概念一、角的概念
2、1角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，叫做置旋转到另一个位置所形成的图形，叫做_按逆时针按逆时针方向旋转所形成的角叫做方向旋转所形成的角叫做_，按顺时针方向旋转所形成，按顺时针方向旋转所形成的角叫做的角叫做_，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个个_射线的起始位置称为射线的起始位置称为_，终止位置称为，终止位置称为_射线的端点叫做角的射线的端点叫做角的_2角的分类：角的分类：_.角角正角正角负角负角零角零角始边始边终边终边顶点顶点正角、负角、零角正角、负角、零角高考总
3、复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)3象限角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原象限角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的轴的非负半轴重合，角的_在第几在第几象限，就说这个角是第几象限的角象限，就说这个角是第几象限的角4轴线角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐轴线角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边落在轴非负半轴重合，角的终边落在_，就说这个角是轴线角，就说这个角是轴线角5区间角：区间角是介于两个角之间的所有
4、角，如：区间角：区间角是介于两个角之间的所有角，如：6终终边边相相同同的的角角：与与角角终终边边相相同同的的角角的的集集合合(连连同同角角在在内内)，可以记为，可以记为_终边终边坐标轴上坐标轴上|k360，kZ高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)7几种终边在特殊位置时对应角的集合如下表所示：几种终边在特殊位置时对应角的集合如下表所示：角的角的终边终边所在位置所在位置角的集合角的集合x轴轴正半正半轴轴_y轴轴正半正半轴轴_x轴负轴负半半轴轴_y轴负轴负半半轴轴_x轴轴_y轴轴_坐坐标轴标轴_|k360，kZ|k36090，kZ|k360180，kZ|k3602
5、70，kZ|k180，kZ|k18090，kZ|k90，kZ 高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)二、弧度制二、弧度制11弧度角的定义：我们把长度等于弧度角的定义：我们把长度等于_的弧所对的的弧所对的圆心角叫做圆心角叫做_角角.1弧度记作弧度记作1 rad.用弧度作为度量角的制度，叫做用弧度作为度量角的制度，叫做_(1度的角：把周角分成度的角：把周角分成360等份，则其中等份，则其中1份所对的圆心角份所对的圆心角叫做叫做1度的角用度作为度量角的制度，叫做角度制度的角用度作为度量角的制度，叫做角度制)2.角度制与弧度制的互化：角度制与弧度制的互化：180 ra
6、d,1 rad；1弧弧度度 57.3.半径长半径长1弧度弧度弧度制弧度制高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)度度30456090120135150弧度弧度_度度210225240270300315330弧度弧度_特殊角的互化：特殊角的互化：高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)3.弧长公式：弧长公式：l|r(是圆心角的弧度数是圆心角的弧度数)4扇形面积公式：扇形面积公式：Slr|r2.三、任意角的三角函数三、任意角的三角函数1三角函数的定义：以角三角函数的定义：以角的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为x轴轴正半轴
7、建立直角坐标系，在角正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点的终边上任取一个异于原点的点P(x，y)，点，点P到原点的距离记为到原点的距离记为r(r0)，那么，那么sin _，cos _，tan _.注意：注意：上述比值不随点上述比值不随点P在终边上的位置的改变而改变在终边上的位置的改变而改变高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)2三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号.由由三三角角函函数数的的定定义义，以以及及各各象象限限内内点点的的坐坐标标的的符符号号，我我们们可可以以得得到到三三角角函函数数在在各各象象限限的的符符号号如如上上表表也也
8、可可概概括括为为如如下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦若终边落在坐标轴上，则可用定义求出三角函数值若终边落在坐标轴上，则可用定义求出三角函数值sin cos tan 高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)3特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值.0sin _cos _tan _不存在不存在_不存在不存在01011010010高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)4三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域.函数函数定定义义域域值值域域ysin _ycos _ytan _R1,1R1,1
9、R高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)5单位圆上角单位圆上角的三角函数线的三角函数线正弦线：正弦线：_，余弦线：余弦线：_，正切线：正切线：_，即即sin _，cos _，tan _.注意注意：各三角函数线对应的有：各三角函数线对应的有向线段的起点、终点位置，不要弄向线段的起点、终点位置，不要弄混了混了MPOMATMPOMAT高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)基础自测基础自测1(2012深深圳圳市市模模拟拟)若若 0，则则点点(tan，cos)位位于于()A第一象限第一象限 B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象
10、限第四象限解析：解析：0，为第四象限角为第四象限角tan 0，cos 0.点点(tan，cos)位于第二象限故选位于第二象限故选B.答案：答案：B高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)2经过一刻钟，长为经过一刻钟，长为6 cm的分针所扫过的面积是的分针所扫过的面积是()A6 cm2 B9 cm2C12 cm2 D18 cm2高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)3用弧度制表示终边落在用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为轴上方的角的集合为_4已知角已知角的终边过点的终边过点(a,3a)(a0)，则，则sin _，tan _.
11、解析：解析：若角若角的终边落在的终边落在x轴上方，则轴上方，则2k2k，kZ.答案：答案：|2k2k，kZ3高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考考 点点 探探 究究考点一考点一终边相同的角的表示终边相同的角的表示思路点拨：思路点拨：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角示出所有与角终边相同的角，然后列出一个关于终边相同的角，然后列出一个关于k的不等式，找的不等式，找出相应的整数出相应的整数k，代回求出所有角；，代回求出所有角；(2)可对整数可对整数k的奇、偶数情的奇、偶数情况展开讨论况展开讨论高考总复
12、习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)解析：解析：(1)所有与角所有与角终边相同的角可表示为终边相同的角可表示为45k360(kZ)，则令则令72045k3600，解得，解得 k ，由于由于kZ，从而，从而k2或或k1，代回得角代回得角675或角或角315.(2)因为因为Mx|x(2k1)45，kZ表示的是终边落在表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合，集合四个象限的平分线上的角的集合，集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，因表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，因此此MN.点评：点评：与与角终边相同的角角终边相
13、同的角(连同角连同角在内在内)，可以表示为，可以表示为k360，kZ.高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)变式探究变式探究高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考点二考点二象限角的确定象限角的确定高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)(法二法二)把各象限均分把各象限均分3等份，再从等份，再从x轴的正向的上方起依轴的正向的上方起依次将各区域标上次将各区
14、域标上，并依次循环一周，则，并依次循环一周，则原来是原来是第第象限的符号所表示的区域即为象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的区域的终边所在的区域由图可知，由图可知，是第一或第三或第四象限角是第一或第三或第四象限角点评：点评：(1)已知角已知角的范围或所在的象限，求的范围或所在的象限，求 所在的象限是所在的象限是常考题型之一，一般解法有直接法和几何法常考题型之一，一般解法有直接法和几何法高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)若若是第是第k(k取取1,2,3,4之一之一)象限的角，象限的角，利用单位圆判断利用单位圆判断 (nN*)是第几象限角是第几象限角的方法
15、：把单位圆上每个象限的圆弧的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等等份，并从份，并从x轴正半轴开始，沿逆时针方向轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直，再循环，直到填满为止，则有标号到填满为止，则有标号k的区域就是角的区域就是角(nN*)终边所在的范围终边所在的范围如：如：k2，则角，则角 是第一或第二或第是第一或第二或第四象限的角右图中标有号码四象限的角右图中标有号码2的区域就的区域就是是 终边所在位置终边所在位置(2)确定角所在的象限是确定函数值确定角所在的象限是确定函数值符号的关键，故必须掌握已知角符号的关键，故必须掌握已知角的范围，的范围，
16、求与求与有运算关系的角的范围这一类问题有运算关系的角的范围这一类问题的解法的解法高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)变式探究变式探究2已知已知 ，则，则k(kZ)所在的象限是所在的象限是()A第一象限或第三象限第一象限或第三象限 B第二象限或第四象限第二象限或第四象限C第三象限或第四象限第三象限或第四象限 D第一象限或第二象限第一象限或第二象限解析：解析：，是第一象限角，是第一象限角，k为偶数时，为偶数时，k是第一象限角；是第一象限角；k为奇数时，为奇数时，k是第三象限角是第三象限角故选故选A.答案：答案：A高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学
17、数学数学 (文科文科)考点三考点三角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的互化高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)变式探究变式探究高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考点四考点四扇形弧长、面积的计算扇形弧长、面积的计算【例【例4】一个半径为一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多圆的长，则扇形的
18、圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？少？高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)变式探究变式探究4(1)设扇形的周长为设扇形的周长为8 cm，面积为，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的，则扇形的圆心角的弧度数是弧度数是_(2)已知扇形的周长为已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为何值时，扇形的为何值时，扇形的面积面积S最大，并求出最大，并求出S的最大值的最大值高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考点五考点五利用定义求三角函数值利用定
19、义求三角函数值高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)变式探究变式探究5.(1)已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(5，12)，则，则sin cos 的值为的值为_(2)已知角已知角的终边在直线的终边在直线ykx上，始边与上，始边与x轴非负半轴重合，轴非负半轴重合，若若sin ，且，且cos 0，则实数，则实数k的值为的值为_高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习
20、高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考点六考点六特殊角三角函数值的计算特殊角三角函数值的计算点评：点评：熟记特殊角的三角函数值是正确解题的关键熟记特殊角的三角函数值是正确解题的关键高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)变式探究变式探究高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)考点七考点七根据三角函数值的符号确定角所处象限根据三角函数值的符号确定角所处象限(取值范围取值范围)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)
21、变式探究变式探究7(1)如果点如果点P(tan，cos)位于第二象限，那么位于第二象限，那么所在的象限是所在的象限是 ()A第一象限第一象限 B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象限第四象限(2)设角设角属于第三象限，且属于第三象限，且 cos ，则角，则角 属于属于()A第一象限第一象限 B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象限第四象限高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)课时升华课时升华1对角概念的理解要准确对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把不少同学往往容易把
22、“小于小于90的角的角”等同于等同于“锐角锐角”，把把“090的角的角”等同于等同于“第一象限的角第一象限的角”其实锐角的集合其实锐角的集合是小于是小于90的角的集合的真子集，的角的集合的真子集，“090的角的角”的集合为的集合为|090，第一象限角的集合为，第一象限角的集合为|k360k36090，kZ(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等边相同的角的同一三角函数值相等2终边关于坐标轴终边关于坐标轴(原点原点)对称的角的关系对称的角的关系(1)终边与终边与终边共线终边共线(的终边在的终边在终边所在直
23、线上终边所在直线上)k(kZ)高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)(2)终边与终边与终边关于终边关于x轴对称轴对称2k(kZ)(3)终边与终边与终边关于终边关于y轴对称轴对称2k(kZ)(4)终边与终边与终边关于原点对称终边关于原点对称2k(kZ)3对弧度制概念的理解要准确：等于半径长的弧所对的圆对弧度制概念的理解要准确：等于半径长的弧所对的圆心角等于心角等于1弧度容易错把弦长等于半径的圆心角当成弧度容易错把弦长等于半径的圆心角当成1弧度弧度4引入弧度制后，角的表示可用弧度制，也可用角度制，引入弧度制后，角的表示可用弧度制，也可用角度制，但两者不能混合使用如
24、：但两者不能混合使用如：k180 或或2k60等都等都是不规范的是不规范的高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)5在弧度制下，任意一个角在弧度制下，任意一个角的弧度数都有唯一的一个实的弧度数都有唯一的一个实数数x与之对应；反之，任何一个实数与之对应；反之，任何一个实数x也都对应唯一的一个角也都对应唯一的一个角.也也就是说，角的集合与实数的集合建立一一对应关系如角就是说，角的集合与实数的集合建立一一对应关系如角 对应唯一的实数对应唯一的实数 .6三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度弧度制制)的集合到一个比值的
25、集合的函数也可以看成是以实数为自的集合到一个比值的集合的函数也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围如如tan 有意义的条件是角有意义的条件是角终边上任一点终边上任一点P(x，y)的横的横坐标不等于零，也就是角坐标不等于零，也就是角的终边不能与的终边不能与y轴重合，故正切函数的轴重合，故正切函数的定义域为定义域为 .7应掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特应掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值殊角的三角函数值.高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)感感 悟悟
26、高高 考考品味高考品味高考高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)2已知角已知角的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若轴的正半轴，若P(4，y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且sin ，则，则y_.高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)高考预测高考预测1(2012广东高州三中模拟广东高州三中模拟)若若sin cos 0，则角，则角的终边的终边在在()A第二象限第二象限 B第四象限第四象限C第二、四象限第二、四象限 D第三、四象限第三、四象限解析：解析：sin cos 0，sin 与与cos 符号相反，符号相反，角角的的终边在第二、四象限故选终边在第二、四象限故选C.答案：答案：C高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)B高考总复习高考总复习高考总复习高考总复习 数学数学数学数学 (文科文科)