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1、任意角和弧度制及任意角的三任意角和弧度制及任意角的三角函数角函数几何表示几何表示:三角函数三角函数线线可以看作是三角函数的几何表示可以看作是三角函数的几何表示.正弦正弦线线的起的起点都在点都在x x轴轴上上,余弦余弦线线的起点都是原点的起点都是原点,正切正切线线的起点都是的起点都是(1,0).(1,0).如如图图中有向中有向线线段段MP,OM,ATMP,OM,AT分分别别叫做角叫做角的的_,_,_和和_._.正弦正弦线线余弦余弦线线正切正切线线(4)(4)终边终边相同的角的三角函数相同的角的三角函数:sin(+k2)=_,sin(+k2)=_,cos(+k2)=_,cos(+k2)=_,tan
2、(+k2)=_(tan(+k2)=_(其中其中kZ),kZ),即即终边终边相同的角的同一三角函数的相同的角的同一三角函数的值值相等相等.(5)(5)扇形的弧扇形的弧长长与面与面积积公式公式:扇形的弧扇形的弧长长l=_;=_;扇形的面扇形的面积积S=_=_.S=_=_.sinsincoscostantanrr2.2.必必备结论备结论教材提教材提炼炼记记一一记记(1)(1)象限角与象限角与轴线轴线角角象限角象限角:轴线轴线角角:(2)(2)任意角三角函数的定任意角三角函数的定义义设设P(x,y)P(x,y)是角是角终边终边上异于上异于顶顶点的任一点点的任一点,其到原点其到原点O O的距离的距离为为
3、r,r,则则sin=_,cos=_,tan=_.sin=_,cos=_,tan=_.3.3.必用技法核心必用技法核心总结总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法:数形数形结结合法合法.(2)(2)数学思想数学思想:分分类讨论类讨论、数形、数形结结合合.(3)(3)记忆记忆口口诀诀:各象限角三角函数各象限角三角函数值值符号的符号的记忆记忆口口诀诀:一全正一全正,二正弦二正弦,三正切三正切,四余弦四余弦.【小【小题题快快练练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)顺时针顺时针旋旋转转得到的角是正角得到的角是正角.(.()(2)(2)钝钝角是第二象限的角角是第二象限的角
4、.(.()(3)(3)若两个角的若两个角的终边终边相同相同,则这则这两个角相等两个角相等.(.()(4)1(4)1弧度的角就是弧度的角就是长长度度为为1 1的弧所的弧所对对的的圆圆心角心角.(.()(5)(5)终边终边在在y y轴轴上的角的正切上的角的正切值值不存在不存在.(.()【解析】【解析】(1)(1)错误错误.顺时针旋转得到的角是负角顺时针旋转得到的角是负角.(2).(2)正确正确.钝角的范围钝角的范围是是(,),(,),显然是第二象限的角显然是第二象限的角.(3).(3)错误错误.角角180180的终边与角的终边与角-180-180的终边相同的终边相同,显然它们不相同显然它们不相同.
5、(4).(4)错误错误.1.1弧度的角是单位圆中弧度的角是单位圆中长度为长度为1 1的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角.(5).(5)正确正确.终边在终边在y y轴上的角与单位圆的交轴上的角与单位圆的交点坐标为点坐标为(0,1),(0,-1).(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知由三角函数的定义知,角的正切值不存在角的正切值不存在.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改教材改编编链链接教材接教材练练一一练练(1)(1)(必修必修4P10T104P10T10改改编编)单单位位圆圆中中,200,200的的圆圆心角所心角所对对的弧的弧长为长为()A
6、.10A.10B.9B.9C.C.D.D.【解析】【解析】选选D.D.单位圆的半径单位圆的半径r=1,200r=1,200的弧度数是的弧度数是200 =,200 =,由由弧度数的定义得弧度数的定义得 ,所以所以l=.=.(2)(2)(必修必修4P15T64P15T6改改编编)若角若角满满足足tan0,sin0,sin0tan0知知,是一、三象限角是一、三象限角,由由sin0sin0,tan0,则则()A.sin0 B.cos0A.sin0 B.cos0C.sin20 D.cos20C.sin20 D.cos20【解析】【解析】选选C.C.由由tan0tan0可得可得:kk+(kZ),:kk+(
7、kZ),故故2k2 2k2 2k+(kZ),0.sin20.考点考点1 1象限角及象限角及终边终边相同的角相同的角【典例【典例1 1】(1)(1)终边终边在直在直线线y=xy=x上上,且在且在-2,2)-2,2)内的角内的角的集合的集合为为.(2)(2)如果如果是第三象限的角是第三象限的角,试试确定确定-,2-,2的的终边终边所在位置所在位置.【解题提示】【解题提示】(1)(1)数形结合数形结合,先写出先写出0,2)0,2)内的角内的角,再写出再写出-2,0)-2,0)内内的角的角,最后写出集合最后写出集合.(2)(2)由由的范围写出的范围写出-与与22的范围的范围,再由终边相同角的关系判断再
8、由终边相同角的关系判断.【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图，在坐标系中画出直线如图，在坐标系中画出直线y=xy=x，可以发现它与可以发现它与x x轴的夹角是轴的夹角是 ，在，在0 0，2)2)内，终内，终边在直线边在直线y=xy=x上的角有两个：上的角有两个：;在在-2-2，0)0)内满足条件的角有两个：内满足条件的角有两个：故满足条件的角故满足条件的角构成的集合为构成的集合为答案：答案：(2)(2)由由是第三象限的角得是第三象限的角得所以所以即即所以角所以角-的终边在第二象限的终边在第二象限.由由+2k+2k +2k(kZ)+2k(kZ)，得，得2+4k2+4k223+3+4k(kZ)
9、.4k(kZ).所以角所以角22的终边在第一、二象限及的终边在第一、二象限及y y轴的非负半轴轴的非负半轴.【易错警示】【易错警示】解答本题解答本题(2)(2)有两点容易出错：有两点容易出错：(1)(1)由由的象限表达式得到的象限表达式得到-的不等式时，不能正确地运用不等式的的不等式时，不能正确地运用不等式的性质化为终边相同的角的形式，导致判断出错性质化为终边相同的角的形式，导致判断出错.(2)(2)由由的象限表达式得到的象限表达式得到22的表达式后，容易漏掉的表达式后，容易漏掉y y轴的非负半轴轴的非负半轴这一情况，导致不全而判断失误这一情况，导致不全而判断失误.【互动探究】【互动探究】在本
10、例题在本例题(2)(2)的条件下，判断的条件下，判断 的终边所在的位置的终边所在的位置.【解析】【解析】因为因为+2k+2k +2k(kZ),+2k(kZ),所以所以当当k=3n(nZ)k=3n(nZ)时，时，当当k=3n+1(nZ)k=3n+1(nZ)时，时，当当k=3n+2(nZ)k=3n+2(nZ)时，时，所以所以 的终边在第一、三、四象限的终边在第一、三、四象限.【规规律方法】律方法】1.1.终边终边在某直在某直线线上角的求法步上角的求法步骤骤(1)(1)数形数形结结合合,在平面直角坐在平面直角坐标标系中画出系中画出该该直直线线.(2)(2)按逆按逆时针时针方向写出方向写出0,2)0,
11、2)内的角内的角.(3)(3)再由再由终边终边相同角的表示方法写出相同角的表示方法写出满满足条件角的集合足条件角的集合.(4)(4)求并集化求并集化简简集合集合.2.2.确定确定k,(kNk,(kN*)的的终边终边位置的方法位置的方法先用先用终边终边相同角的形式表示出角相同角的形式表示出角的范的范围围,再写出再写出kk或或 的范的范围围,然然后根据后根据k k的可能取的可能取值讨论值讨论确定确定kk或或 的的终边终边所在位置所在位置.【变式训练】【变式训练】设角设角是第二象限的角，且是第二象限的角，且 则角则角 属于属于()()A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限
12、第三象限 D.D.第四象限第四象限【解析】【解析】选选C.C.因为因为是第二象限角，所以是第二象限角，所以90+k36090+k360180+k360(kZ),180+k360(kZ),45+k18045+k180 90+k180(kZ),90+k180(kZ),当当k k是偶数时，是偶数时，是第一象限角是第一象限角;当当k k是奇数时，是奇数时，是第三象限角是第三象限角.又由又由|cos|=-cos|cos|=-cos 得得 是第三象限角是第三象限角.【加固训练】【加固训练】1.(20151.(2015济南模拟济南模拟)若若=k360+,=m360-=k360+,=m360-(k,mZ)(k
13、,mZ)，则角，则角与与的终边的位置关系是的终边的位置关系是()()A.A.重合重合 B.B.关于原点对称关于原点对称C.C.关于关于x x轴对称轴对称 D.D.关于关于y y轴对称轴对称【解析】【解析】选选C.C.显然角显然角与角与角的终边相同，角的终边相同，角与角与角-的终边相同，的终边相同，而而与与-的终边关于的终边关于x x轴对称，故选轴对称，故选C.C.2.2.如如图图所示：所示：则终边则终边在在图图中所示直中所示直线线上的角的集合上的角的集合为为_._.【解析】【解析】由题干图易知由题干图易知,在在00360360范围内范围内,终边在直线终边在直线y=-xy=-x上的角上的角有两个
14、有两个,即即135135和和315,315,因此因此,终边在直线终边在直线y=-xy=-x上的角的集合为上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+n180,nZ.|=135+n180,nZ.答案答案:|=135+n180,nZ|=135+n180,nZ考点考点2 2 弧度制及扇形面弧度制及扇形面积积公式的公式的应应用用【典例【典例2 2】(1)(1)时间经过时间经过8 8小小时时,钟钟表中表中时针转过时针转过的角的弧度数的角的弧度数为为_._.(2)(2)已知扇形的已知扇形的圆圆心角是心角是,半
15、径是半径是r,r,弧弧长为长为l,若若=100,r=2,=100,r=2,求扇形的面求扇形的面积积;若扇形的周若扇形的周长为长为20,20,求扇形面求扇形面积积的最大的最大值值,并求此并求此时时扇形扇形圆圆心角的弧心角的弧度数度数.【解题提示】【解题提示】(1)(1)明确时针旋转的方向是解题的关键明确时针旋转的方向是解题的关键.(2)(2)先把角度数化成弧度数先把角度数化成弧度数,再利用扇形的面积公式求解再利用扇形的面积公式求解;利用扇形的面积公式建立函数关系利用扇形的面积公式建立函数关系,利用函数的最值求解利用函数的最值求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)时针是顺时针方向旋转的，所以经
16、过时针是顺时针方向旋转的，所以经过8 8小时，时针转小时，时针转过的角度数为过的角度数为-360 =-240-360 =-240，其弧度数为，其弧度数为答案：答案：(2)=100=100(2)=100=100所以所以l=2=2=故故S S扇扇=lr=r=由题意，得由题意，得l+2r=20,+2r=20,l=20-2r,=20-2r,所以所以S S扇扇=lr=(20-2r)r=-rr=(20-2r)r=-r2 2+10r=-(r-5)+10r=-(r-5)2 2+25,+25,所以，当所以，当r=5r=5时时,S,S扇最大扇最大=25=25，此时扇形圆心角的弧度数为，此时扇形圆心角的弧度数为【规
17、律方法】【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)(1)明确弧度制下弧长公式明确弧度制下弧长公式l=r=r，扇形的面积公式是，扇形的面积公式是S=S=lr=r=(其中其中l是扇形的弧长，是扇形的弧长，是扇形的圆心角是扇形的圆心角).).(2)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量任意两个量.【变式训练】【变式训练】(2015(2015太原模拟太原模拟)已知已知2 2弧度的圆心角所对的弦长为弧度的圆心角所对的弦长为2 2，那么这个圆心角所对的弧长是那么
18、这个圆心角所对的弧长是()()A.2 B.sin 2 C.D.2 sin 1A.2 B.sin 2 C.D.2 sin 1【解析】【解析】选选C.C.如图如图:AOB=2:AOB=2弧度，过弧度，过O O点作点作OCABOCAB于于C C，并延长，并延长OCOC交弧交弧ABAB于于D.D.则则AOD=BOD=1AOD=BOD=1弧度，且弧度，且AC=AB=1AC=AB=1，在在RtAOCRtAOC中，中，AO=AO=即即 从而弧从而弧ABAB的长为的长为l=|r=|r=【加固训练】【加固训练】1.1.已知扇形的周长是已知扇形的周长是6 6，面积是，面积是2 2，则扇形的圆心角的弧，则扇形的圆心
19、角的弧度数是度数是()()A A1 B1 B4 C4 C1 1或或4 D4 D2 2或或4 4【解析】【解析】选选C.C.设此扇形的半径为设此扇形的半径为r r，弧长为，弧长为l l，则则 解得解得 或或从而从而 或或2.2.已知半径已知半径为为1010的的圆圆O O中，弦中，弦ABAB的的长为长为1010，(1)(1)求弦求弦ABAB所所对对的的圆圆心角心角的大小的大小.(2)(2)求求所在的扇形弧所在的扇形弧长长l及弧所在的弓形的面及弧所在的弓形的面积积S.S.【解析】【解析】(1)(1)在在AOBAOB中，中，AB=OA=OB=10AB=OA=OB=10，所以所以AOBAOB为等边三角形
20、为等边三角形.因此弦因此弦ABAB所对的圆心角所对的圆心角(2)(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得由扇形的弧长与扇形面积公式，得l=r=10=,S=r=10=,S扇形扇形=r=rl=又又S SAOBAOB=OAOBsin =OAOBsin =所以弓形的面积所以弓形的面积S=SS=S扇形扇形-S-SAOBAOB=考点考点3 3三角函数的定三角函数的定义义及其及其应应用用知知考情考情任意角的三角函数任意角的三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定的定义义属于理解内容属于理解内容.在在高考中以高考中以选择题选择题、填空、填空题题的形式出的形式出现现,考考查查利用定利用定义义求三角函数求三角
21、函数值值或或已知角求点的坐已知角求点的坐标标等等问题问题.明明角度角度命命题题角度角度1 1：利用三角函数的定利用三角函数的定义义求三角函数求三角函数值值【典例【典例3 3】(2015(2015广州模广州模拟拟)若角若角的的终边经过终边经过点点P(P(，m)(m0)m)(m0)且且sin=sin=则则cos cos 的的值为值为_._.【解题提示】【解题提示】由三角函数的定义及由三角函数的定义及sin=sin=列方程求列方程求m m，再求，再求cos.cos.【规范解答】【规范解答】由题意得，由题意得，r=r=，所以，所以因为因为m0m0，所以，所以当当m=m=时，时，点点P P的坐标为的坐标
22、为()()，所以所以当当m=-m=-时，时，点点P P的坐标为的坐标为()()，所以所以答案：答案：命命题题角度角度2:2:利用三角函数的定利用三角函数的定义义求点的坐求点的坐标标【典例【典例4 4】(2015(2015临临沂模沂模拟拟)顶顶点在原点点在原点,始始边边在在x x轴轴的正半的正半轴轴上的角上的角,的的终边终边与与圆圆心在原点的心在原点的单单位位圆圆交于交于A,BA,B两点两点,若若=30,=30,=60,=60,则则弦弦ABAB的的长为长为.【解题提示】【解题提示】根据三角函数的定义求根据三角函数的定义求A,BA,B两点的坐标两点的坐标,由两点间的距离由两点间的距离公式求解公式求
23、解.【规范解答】【规范解答】由三角函数的定义得由三角函数的定义得A(cos 30,sin 30),A(cos 30,sin 30),B(cos 60,sin 60)B(cos 60,sin 60)，即，即所以所以|AB|=|AB|=答案：答案：悟悟技法技法三角函数定三角函数定义义的的应应用方法用方法(1)(1)已知角已知角终边终边上一点上一点P P的坐的坐标标,可求角可求角的三角函数的三角函数值值.先求先求P P到原到原点的距离点的距离,再用三角函数的定再用三角函数的定义义求解求解.(2)(2)已知角已知角的某三角函数的某三角函数值值,可求角可求角终边终边上一点上一点P P的坐的坐标标中的参数
24、中的参数值值,可根据定可根据定义义中的两个量列方程求参数中的两个量列方程求参数值值.(3)(3)已知角已知角的的终边终边所在的直所在的直线线方程或角方程或角的大小的大小,根据三角函数的定根据三角函数的定义义可求角可求角终边终边上某特定点的坐上某特定点的坐标标.通通一类一类1.(20151.(2015青岛模拟青岛模拟)已知角已知角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点P(-P(-，y),y),则则sin tan=()sin tan=()【解析】【解析】选选C.C.由由|OP|OP|2 2=得得当当y=y=时，时，sin=,tan=sin=,tan=此时，此时，sin tan=sin tan=当
25、当y=-y=-时，时，sin=-,tan=sin=-,tan=此时，此时，sin tan=sin tan=2.(20152.(2015铜铜川模川模拟拟)已知角已知角的始的始边边与与x x轴轴的正半的正半轴轴重合，重合，顶顶点在坐点在坐标标原点，角原点，角终边终边上的一点上的一点P P到原点的距离到原点的距离为为 ，若，若=，则则点点P P的的坐坐标为标为()()A.(1A.(1，)B.()B.(，1)1)C.(C.(，)D.(1 )D.(1，1)1)【解析】【解析】选选D.D.设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，则由三角函数的定义得，则由三角函数的定义得 即即故点故点P P的坐
26、标为的坐标为(1(1，1).1).3.(20153.(2015合肥模拟合肥模拟)已知角已知角的顶点与原点重合，始边与的顶点与原点重合，始边与x x轴的正半轴的正半轴重合，终边在直线轴重合，终边在直线y=2xy=2x上，则上，则cos 2=()cos 2=()【解析】【解析】选选B.B.由题意知，由题意知，tan=2tan=2，即，即sin=2cos sin=2cos，将其代入，将其代入sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1中可得中可得coscos2 2=，故，故cos 2=2coscos 2=2cos2 2-1=-1=自我自我纠错纠错8 8 利用定利用定义义求三角函数求三角函数值值
27、【典例】【典例】(2015(2015杭州模杭州模拟拟)已知角已知角的的终边终边在直在直线线3x+4y=03x+4y=0上，上，则则5sin+5cos+4tan=_.5sin+5cos+4tan=_.【解题过程】【解题过程】【错错解分析】解分析】分析上面解分析上面解题过题过程程,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗?提示提示:解题过程错在求解题过程错在求r r时开方没加绝对值时开方没加绝对值,误以为误以为t0t0而导致漏解而导致漏解.【规规避策略】避策略】1.1.准确利用三角函数的定准确利用三角函数的定义义利用定利用定义义来求任意角的三角函数来求任意角的三角函数,关关键键是求出角的是求出角的终边终边
28、上点上点P P的横、的横、纵纵坐坐标标及点及点P P到原点的距离到原点的距离,再利用定再利用定义义求解求解.2.2.区分角的区分角的终边终边和角的和角的终边终边所在的直所在的直线线角的角的终边终边是射是射线线,若角的若角的终边终边落在某条直落在某条直线线上上,这时终边这时终边位置位置实际实际上有上有两个两个,对应对应的三角函数的三角函数值值有两有两组组,应应分分别别求解求解.【自我矫正】【自我矫正】因为角因为角的终边在直线的终边在直线3x3x4y=04y=0上，上，所以在角所以在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4tP(4t，-3t)(t0)-3t)(t0)，则则当当t t0 0时，时，r=5tr=5t，sin=sin=cos=tan=cos=tan=所以所以5sin 5sin 5cos 5cos 4tan=-3+4-3=-2;4tan=-3+4-3=-2;当当t t0 0时，时，r=-5tr=-5t，sin=cos=sin=cos=tan=tan=所以所以5sin 5sin 5cos 5cos 4tan=3-4-3=-4.4tan=3-4-3=-4.综上，所求值为综上，所求值为-2-2或或-4.-4.答案：答案：-2-2或或-4-4结束结束