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1、第五单元第五单元 基本初等函数（基本初等函数（）知识体系知识体系第一节第一节 任意角与弧度制及任意角的三角函数任意角与弧度制及任意角的三角函数基础梳理基础梳理1.弧度制(1)弧AB的长=半径AOB=1弧度.rad=360,1 rad =.(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是,则这个扇形的弧长l=|r,面积S=|,周长=|r+2r.2.角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线 所 成的图形.绕着端点从一个位置旋转到另一个位置(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角.(3)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x
2、轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.(4)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成角的集合是|=k360+,kZ.3.任意角的三角函数设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r(r=),那么sin=，cos=,tan=(x0).4.单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.sin=MP,cos=OM,tan=AT.典例分析典例分析题型一题型一 象限角问题象限角问题【例1】若是第二象限的角，则 是第几象限的角?是第几象限的角?2是第几象限的角?5.三角函数值在各象限的符号 象限函数 符号 sin +-cos +-+tan
3、 +-+-分析 由于是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出的范围，进而求得 ,2的范围，判定其所在的象限.解 由是第二象限的角得k360+90k360+180（kZ）.(1)k180+45 k180+90（kZ）当k=2n（nZ）时，n360+45 n360+90（nZ）,则 是第一象限角;当k=2n+1（nZ）时，n360+225 n360+270（nZ）,则 是第三象限角.综合、可知，是第一或第三象限角.（2）360+30 360+60（kZ）当k=3n（nZ时）,n360+30 n360+60（nZ）,则 是第一象限角;当k=3n+1（nZ）时，n360+150 n360+1
4、80（nZ）,则 是第二象限角；当k=3n+2（nZ）时，n360+270 n360+300（nZ）,则 是第四象限角.综合、可知，是第一、第二或第四象限角.（3）2k360+18022k360+360（kZ）.故2是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.举一反三举一反三1.设为第三象限角，试判断 的符号.学后反思 知道所在的象限，则 ,，所在的象限也可由象限等分法得到，下面以 为例说明.如图所示，将每一个象限二等分（若是 则三等分，）从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4；若是第一象限角，则 在标有数字1的区域内;若是第二象限角，则 在标有数字2的区
5、域内，以此类推，则很容易确定 所在的象限.解析:为第三象限角，2k+2k+(kZ),k+k+(kZ).当k=2n(nZ)时，2n+2n+（nZ）,此时 在第二象限，sin 0,cos 0,0；当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ),此时 在第四象限，sin 0,cos 0,0.综上可知:0.题型二题型二 扇形弧长、面积公式的应用扇形弧长、面积公式的应用【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.学后反思
6、 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积：S=(20-2r)r=-+25.当r=5时，l=10，=2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25 .故当扇形的圆心角=2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 .举一反三举一反三2.已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径为r.（1）若=60，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值C（C 0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：（1）设弧长
7、为l，弓形面积为 ，=60=,r=10,l=(cm),=-S=10-sin=50 ().扇形面积为(2)方法一：扇形周长C=2r+l=2r+r,r=,=当且仅当=,即=2(=-2舍去)时，扇形面积有最大值.方法二：由已知2r+l=C,r=(lC),S=当l=时,此时=当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.题型三题型三 利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值【例3】(12分)已知角的终边经过点P（-4a,3a）(a0),求sin、cos、tan 的值.分析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a,要注意分类讨论.解 r=5|a|2若a0，
8、r=5a,角在第二象限，sin=cos=tan=；.6若a0,r=-5a,角在第四象限，.8sin=,cos=,tan=12学后反思 （1）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.（2）熟记几组常用的勾股数组，如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便.（3）若角已经给定，不论点P选择在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也都是确定的.举一反三举一反三3.已知角的终边过点P（-4m,
9、3m）(m0),则2sin+cos 的值为()A.1或-1 B.或 C.1或 D.答案：B题型四题型四 利用三角函数线解三角不等式利用三角函数线解三角不等式解析：当m0时，点P在第二象限，|OP|=5m,有2sin+cos=当m0时，点P在第四象限，|OP|=-5m,有2sin+cos=【例4】解下列不等式.（1）sin ;(2)cos .分析 作出满足sin=、cos=的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围.解 (1)作直线y=交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域（图1中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+2k+,kZ.(2)作直线x=-交
10、单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域（图2中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角集合为|2k+2k+,kZ.图1 图2学后反思 对形如f()m或f()m的三角函数，求角的范围的问题可利用三角函数线来求解.举一反三举一反三4.求下列函数的定义域.（1）y=;(2)y=lg(3-4 ).解析：(1)2cos x-10,cos x .如图1，在单位圆中，利用三角函数线可求得x的范围为：2k-,2k+(kZ).图1 图2易错警示易错警示（2）3-4 0,-sin x ，如图2，由单位圆及三角函数线，得x(k-,k+)(kZ).【例】已知+,-,则2-的取值范围为 .错解 由
11、 +得0 ,所以-0，02.由+得-,由+得-2-.错解分析 上述解题过程分别求出、的范围所采用的做法是不等价的，扩大了范围.正解 设2-=A(+)+B(-)(A,B为待定系数)，则2-=(A+B)+(A-B).对应两边系数得 解得所以2-=(+)+(-).又 (+),-(-)-,所以-2-.考点演练考点演练10.半径为4的扇形，如果它的周长等于它所在圆的周长的一11.半，则该扇形的面积为 .解析:设扇形的圆心角为，则有8+4=4,所以=-2,于是该扇形的面积为 .答案:8-1611.已知角的终边在直线y=-3x上,求 的值.解析：如图,(1)当角终边在第二象限时,取终边上一点(-1,3)，此时,x=-1,y=3,r=，（2）当角终边在第四象限时，取点（1，-3），此时x=1,y=-3，r=,12.如图,动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P、Q各自走过的弧长.解析：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则 ，所以t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C，第一次相遇时点P已运动到终边在 的位置，则 ,所以点C的坐标为（-2，-23）,点P走过的弧长为 ，点Q走过的弧长为 .