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1、十、几何初步知识279. 什么叫做几何学和几何图形？几何学是数学的一门分科，它是研究物体的形状、大小和相互位置关 系的科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。在我们的周围世界里，各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置 关系。例如：课桌的桌面是长方形的，魔方的每个面是正方形的，各种车 轮的形状是圆的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一样的；汽车 有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相同。还应该看到，物 体与物体之间，有着相互位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右关 系等。公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的 几何知识，并加以系统整理，按
2、照图形在平面或空间的形式，在几何学中 分岀了 “平面几何”和“立体几何”两个分支。由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，根据研 究结果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合 而成的，也是点、线、面的集合。一个图形所有的点，都在同一平面内， 这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和 圆等图形，都是平面几何图形。如果一个图形的点不全在同一平面内，这 个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都 属于立体几何图形。280. 什么叫做爲线、面、体？点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割 的。线和线相交
3、于一个点。也可以理解为“点”是“线的界限。在几何中，用大写字母表示点。如，图中的A点、B点、C点。线：如果两个面相交，就会交岀一条线来。也就是面和面相交于线。 张纸对折起来的痕迹就是“线。也可以理解为“线”是“面的界限。线有直线和曲线等。如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是 长方体的一条棱），就是直线。圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线， 就是曲线。线只是面与面相交的界限，它没有大小（即粗细）,只有长短，或者 说，线只有长，而没有宽和高。面：任何物体都占一定的空间，都是用它的表面和周围分割开来。因 此，可以说“体是由“面围成的。如：课本的封面、黑板的面、粉笔 的截面、水桶的侧面和底面等都
4、是“面。也可以理解为“面是“体” 的界限。由于面是物体的表面，如果放弃物体的本身，只单独想象物体的表面, 这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的（即：高），所以，面 只有长和宽，而没有高。体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如 颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体“。 例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒，虽然它们的颜色、重量、硬度 以及制作材料都不同，只要它们的形状、大小都相同，就可以认为它们是 完全相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说，它们是两个相同的长方 体。281. 直线、射线和线段有什么不同？直线、射线和线段是易于混淆的三个概
5、念，它们之间也是有联系的， 直线是基础，射线和线段是直线概念的发展。它们也是有区别的，这是它 们之间的主要方面。首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成的图形 就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线，都给人以直线的形象。我们把 直线看作可以向两方无限延伸的，直线是无头无尾的，即是没有端点的。直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。例如，直线 AB,或直线BA；也可以用一个小写字母表示一条直线。例如，直线1 （如 下图）。经过一点，可以画无数多条直线，但是，经过两点却只能画岀一条直 线，这就是直线的基本性质。除此之外，两条直线相交，只有一个交点。其次看射线，在直线上某一点一
6、旁的部分叫做射线。这一点叫做射线 的端点。射线的另一端是可以无限延伸的，因此，没有端点。射线只有一 个端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射岀的光线，都可以看 作射线的实际例子。射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示， 并且把表示端点的字母写在前面。例如，以点0为端点的射线，可以在射 线上再取一点A,记作：射线0A （如图）。最后再看线段，直线上任意两点间的部分叫做线段。具有一定长度的 拉直了的细绳，可看作线段的实际例子。线段是有长短的，因此可以进行 度量。线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。例如，线段AB, 或者线段BA。也可以用一个小写字母表示。例如，线段
7、a （如下图）。在连结两点的所有线中，线段最短。这就是线段的基本性质。282. 什么叫做“角” ?几何中所指的角的定义是：从一点画岀的两条射线所组成的图形, 叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”， 构成角的两条射线，叫做角的“边”。角的大小与两边的长短无关，只与角两边的相互位置关系有关。这一 点，在初学时很容易混淆，必须引起注意。角用符号“匕”来表示。如：从图2中可以看到:角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成 的。个角一般有以下三种表示方法：(1) 用“匕”与三个大写字母表示角。如：（图4）图3中的角记作：ZAOB；图4中的角记作：ZBOC, ZAOB, ZAO
8、Co(2) 用“匕”与一个大写字母表示角。这里所指的一个大写字母，应该是角顶上的字母。而且这种用一个大 写字母表示角的方法，只适用于单个的角。如图3,用Z0来表示，如果 是具有共同顶点的两个或两个以上的角时，则不能用这种方法来表示角。 如图4,如果用/Q来表示，就表述不清到底/0表示哪个角。(3) 用与一个小写希腊字母或一个数字表示角。例如：下图中下角分别记作:ZK Z2s ZQs ZPo283. 几何中的角可分为哪聞？(1) 周角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到这条 射线回到它的原来的位置时，就形成了一个周角。如图图中的皿绕它的端点0.按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来 的位
9、置，形成了一个周角。一个周角等于360 ,个周角是一个平角的 2倍。（2）平角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到和原 来位置成为一条直线，这时所成的角，叫做平角。如图图中的射线0A绕它的端点0,按逆时针方向旋转，转到射线0B的位 置上（射线0A与射线0B构成一条直线），形成一个平角。一个平角等于180度，记作180。（3）优角：一个大于平角又小于周角的角，叫做优角。优角在小学 数学教材中没有岀现，但在教学中常常遇到学生提岀这样的问题：比周角 小又比平角大的角叫什么角？ 181。的角是什么角等等。如图优角大于180，小于360。（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。如图直角通常记作
10、“RTN”。直角的大小通常用d来表示，这样，平角等 于2d,周角等于44。（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。如图钝角的度数大于90 ,小于180。(6) 锐角：小于直角的角叫做锐角。如图匕0 A锐角小于90。(7) 余角：当两个锐角ZAOB与ZBOC之和等于一个直角ZAOC时， 其中一个角ZBOC叫做另一个角ZAOB的余角。这两个角叫做互为余角。如图(8) 邻角：当两个角有一个公共的顶点，有一条公共的边，这两个 角另外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。如图图中的OC是ZAOC与ZCOB的公共边，ZAOC是ZCOB的邻角；ZBOC 也是/COA的邻角(9) 补角：两个角的
11、和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是 说，其中任个角是另个角的补角。如图图中的/I是Z2的补角，匕2是匕1的补角，或者说，匕1与匕2互 为补角。(10) 对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线 所夹的角，叫做原角的对顶角。如图图中的/AOD 与 ZBOCs /AOB 与 ZDOC；两对顶角是相等的。图中的ZAOD=ZBOC； ZAOB = ZDOC；。(11) 三线八角：两条直线被第三条直线所截，所得的八个角，叫做三线八角。图中的11、12、13和匕1、匕2、Z3s匕4、匕5、匕6、匕7、Z8 就是三线八角。按上述八个角的相互位置，给以下列不同名称： 同位角：当形成三线八角
12、时，如果有两个角分别在两条直线的同一 方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角。如图中的/I与匕5、匕2与匕6、Z4与Z8、匕3与匕7都是同位角。 内错角:如果两个角都在两直线的内侧,并且在第三条直线的两侧, 那么这样的一对角叫做内错角。图中的/6与Z6、匕4与匕5都是内错角。 外错角:如果两个角都在两直线的外侧,并且在第三条直线的两侧, 那么这样的一对角叫做外错角。图中的/I与Z8、匕2与匕7都是外错角。 同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线 的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角。图中的/3与Z5、匕4与匕6都是同旁内角。 同旁外角：如果有两个角都在两条
13、直线的外侧，并且在第三条直线 的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。图中的/I与Z7、匕2与匕8都是同旁外角。284. 垂直和垂线有什么不同？垂直和垂线是两个不同的概念。垂直的含义是:两条直线相交成直角， 这两条直线叫做互相垂直。图中的直线AE.与直线CD相交于0,并且它们所成的角等于90 ,因 此，直线AB与CD互相垂直。在两条相互垂直的直线中，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它 们的交点叫做垂足。垂直通常用符号“丄”来表示。如图中的AB垂直于CD,可记作AB 1CD,读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表示岀来，也可以写作AB 丄CD于0,读作：AB垂直于CD于0点。垂线还具有以下两个
14、性质：(1) 经过一宸且只有一条直线垂直于已知直线；(2) 从直线夕、一点到这条线上的各点所连结的线段中，和这条直线 垂直的线段最短。画垂线时的要点是什么？通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板画垂线；另 种是借助“直尺、圆规”来画垂线。用三角板画一条直线的垂线，一般所给的条件有两种：（1）过直线夕、一点画这条直线的垂线。（2）过直线上的一点画这条直线的垂线。如图：例如：已知点P是直线AB外的一点，用三角板过P点作P0垂直于ABo如图，把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直 角边与直线AB重合），并沿AB移动，使另一条直角边靠上P点，固定住 三角板，并用铅笔沿着这另一条
15、直角边画一条直线P0,直线P0与直线AB 交于0点，这样，P就是直线AB的垂线。用一个三角板作垂线时，往往在接近垂足0点处的一段不容易作得很 好。可以釆用另一种方法，如图所示:用两个三角板,把一个三角板（如 虚线中的三角板）先固定住，然后把另一个三角板与它靠紧，再拿去第一 个三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠 上P点的一条边）画一条直线P0。这种方法的关键是第二个三角板靠P 点的一条边与直线AB相交，因此，在垂足0处，可以画得准确些。又如：已知点P是直线AB上的一点，用三角板过P点作PC垂直于直 线AB。图如图：图如图，把三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿着AB移
16、动，使另 条直角边靠上P点(即直角顶点靠上P点)时，把三角板固定，并且用 铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点，则PC是AB 的垂线。与上例相同，也可以按图所示，用两个三角板，当第一个三角板的 条直角边靠在直线AB上，沿AB移动到另一条直角边靠上P点时，固定 住三角板，把第二个三角板的一条边与它靠紧，然后拿掉第一个三角板， 用铅笔沿第二个三角板靠P点的一边画一条直线PC,则PC是AB的垂线。用直尺和圆规画一条直线的垂线时，通常有两种情况：(1) 过直线AB外的一点P作AB的垂线。(2) 过直线AB上的一点P作AB的垂线。如图：图图如图，以P为圆心，以大于P到AB的距离为半径作
17、瓠，交AB于E、F,再分别以E、F为圆心，以大于!EF为半径作弧交于D,过P、D作直线PD, PD交AB于D,则PD是AB的垂线，垂足为0。如图，以P点为圆心，以任一长为半径作弧交AB于E、F；以E、F为圆心，以大于! EF长为半径，作弧交于C点，连结CP,则CP是AB的垂线，垂足为Po285. 祎与什么关系？平行与平行线是两个不同的概念，它们之间又有着内在的联系。平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关 系。当线与线、线与面、面与面平行时，其共同特点是没有公共点。但一 组直线平行，除了直线之间没有公共点之外，这组直线必定在同一个平面 上。通常用“ / ”表示平行。平行线的
18、概念是指在同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线。如图：直线AB与CD,无论怎样把它们向两方无限地延长岀去，这两条直线 是永远不会相交的。类似这样的两条直线，就是平行线。可记作AB / CD,读作AB平行于CDo平行线具有以下几个性质：(1) 经过直线外一点，且只有一条直线平行于这条直线。(2) 在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两 条直线平行。(3) 两条平行线被第三条直线所截，它们的同位角相等。(4) 两条平行线被第三条直线所截，它们的内错角相等。(5) 两条平行线被第三条直线所截，它们的同旁内角互补。(6) 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也垂直于平 行线
19、中的另一条。依据上述平行线的性质，可以对两条直线是否为平行线进行判定。286. 画平行线时的要点是什么？画平行线时，通常借助的工具是直尺和三角板。其画法的要点是：先 把三角板靠在直尺上(如下图)。把三角板顺着直尺滑动，沿着三角板的其它一边，在滑动的不同位置 上作两条直线（如图中AB和CD）,这两条直线就是平行线。般情况下，需要通过直线外一点，作已知直线的平行线。其画法的 要点是：先把三角板的一条边靠在直线上（如图）：三角板所靠的直线为AB,再把直尺贴在三角板的另一边上，然后再 把直尺与三角板一起沿着直线AB移动，使直尺边靠在点P上，这时，固 定住直尺，把三角板沿着直尺推到与原直线AB靠在一起的
20、一边的点P上, 最后用铅笔在这条边上画一条直线CD,这样，直线CD过P点，并且与直 线AB平行。287. 长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗？回答这个问题，首先明确一下平行四边形的意义及其性质，才能对此 做岀肯定或否定的判定。平行四边形的意义是：平面上两组对边分别平行的四边形，叫做平行 四边形。平行四边形用符号来表示。如下图:根据平行四边形的意义，图中四边形ABCD的两组对a AB/CD； AD HBC,因此，四边形ABCD是 平行四边形。平行四边形ABCD记作QABCD。在标记平行四边形的四 个顶点时，要用大写字母依次顺序标岀。平行四边形的性质是判定平行四边形的主要依据。这些性质有：(1)
21、 对边相等。即：AB=CD, AD = BCo(2) 邻角互补。即：ZA+ZB=ZB+ZC=180。(3) 对角相等。即：ZA=ZC； ZB=ZDo(4) 对角线互相平分。即：AO=OC； BO=ODo 根据上述意义和性质，可以对问题做岀判定:长方形两组对边分别平行，符合平行四边形的意义，也具备其性质， 因此，长方形也属于平行四边形。同时，长方形的四个角都是直角。正方形本身就是特殊的长方形，除了四条边都相等外，具备了长方形 的一切特征，因此，正方形也属于平行四边形。菱形的四条边也相等，也具备了平行四边形的意义和性质，因此， 也属于平行四边形。般情况下，为了突岀本身的特征，上述三种图形分别叫它们
22、为长方 形、正方形和菱形,从实质上划分，也可以说它们都是特殊的平行四边形。288. 三角形应该如何分类？由于三角形是由不在同一直线上的三条线段所围成的封闭图形，因 此，三角形必有三条边和三个角。三角形通常用符号来表示。三角形的分类方法，一般是按“角”和“边”来划分的，角是根据内 角的大小，边是根据边的长短。按内角大小来划分，可分为三类：（1）锐角三角形：每个角都是锐角（小于90 ）的三角形，叫做锐 角三角形。左图中的三角形的三个角都是锐角，所以、，是锐角三角 形。（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形，叫做直角三角形。 左图*AABC的内角A是直角，因此，这个三角形是直角三角形。（3）钝魚
23、三角形：有一个内角是钝角的三角形，叫做钝角三角形。 左图*AABC的内角A是钝角，因此，这个三角形是钝魚三角形。钝角三角形与说角三角形的合称，叫做斜三角形。如果按三角形的边的长短来划分，也可分为三类：B（1）不等边三角形：三条边互不相等的三角形，叫做不等边三角形。左图*aabc的三条边互不相等，所以，这个三角形是不等边三角形。（2）等边三角形：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。左图 中的三条边都相等，所以，这个三角形是等边三角形。（3）等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。左图 中的的两条边是相等的，即AB=BC,所以，这个三角形是等腰三角 形。由于等边三角形ABC中，AB=B
24、C=AC,任选两边都相等，符合等腰三角 形的条件，所以，等边三角形也是等腰三角形。上述三角形分类情况如下图所示：按角分斜三角形J锐角三角形钝角三角形直角三角形 不等边三角形按边分等膀十俾和底不等的等腰三角形 节眼一用儿腰和底相等的等边三角形289. 什么叫做“勾股定理” ?勾股定理是关于直角三角形边与边之间的关系的定理，即：在直角三 角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b,把斜边记为c, 那么它们之间的关系式是：2 11 Z一 2a +b -c在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。如图：般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾，长的一条直角 边
25、叫做“股”，斜边叫做“弦。所以，我国古代把边与边关系所形成的 定理，叫做勾股定理（如图1）。图（2）中的直角三角形ABC中，勾AB=3,股BC=4,弦AC=5。按照 勾股定理，所掲示三条边的关系为：3a+4a=5a这就是我国最古的算书周髀算经（约成书于公元前一世纪左右） 开始就指岀的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都 是整数时的例证。古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前572年-公元前497年）证明了这 个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。290. 怎酣导三角形的面积公式？在认识三角形特征的基础上，推导岀三角形的面积公式，既是教学的 自然发展，也是教学的重点。推导三角
26、形的面积公式，一般有以下三种方 法：（1）将两个全等的直角三角形转化成长方形:釆用这种方法，可让学生动手实践，先准备一张长方形纸，事先量岀 它的长和宽，并计算岀面积。在课堂上，用剪刀沿长方形的对角线剪开, 形成两个全等的直角三角形。如图：通过剪完后的观察，启发学生找岀长方形的长相当于三角形的底，长 方形的宽相当于三角形的高，而长方形面积则等于两个三角形的面积。由 此推导岀公式：长方形面积米x宽I I三角形面积=底*高+ 2同理，也可以将两个全等的等腰三角形转化成正方形进行推导。（2）将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形：这是一种通常的推导三角形面积的方法。先剪岀两个全等的锐角三角 形，将这两
27、个三角形一正一反地组成平行四边形。然后对照进行推导。如图:转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一 样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三 角形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积。由此可推导岀公 式：平行四边形面积=底*高I I三角形面积=底*高+ 2也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导。如图：由图中看到：长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高，长方形面 积相当于两个全等三角形面积。其公式推导同（1）。（3）将一个三角形转化成长方形：把一个三角形的底边各:处，向上画一线，线的终端与三角形的上角的 顶点处于同一水平线上,通过割、
28、补即可将这个三角形转化成长方形。 如图：这种图形割补的演示方法，也可以让学生动手实践进行剪拼。从图形割补可观察到：三角形转化为长方形后，面积大小没有任何改 变，长方形的长相当于三角形的高,长方形的宽相当于三角形底的一半（已 割去两个:，还剩下!）。至此，用长方形面积公式即可推导出三角形的面积。长方形面积=长x宽 I三角形高三角形底的半三角形面积=菖X底！2运用交换律得：底X高！ 2291. 三角形的中线、三角形的中敞以及三角形的高线有什么区别？这是三个完全不同的概念。三角形的中线是指：连结三角形的一个顶 点和这个顶点对边的中点的一条线段，叫做三角形的一条中线。下图中，D是3C的中点，AD则是的
29、中线。由于三角形有三个角，也必然有三个顶点，每个顶点都可以与这个顶 点对边的中点连结成一条线段，因此，每个三角形有三条中线。三角形的中位线是指：三角形两边中点的连线，叫做三角形的一条中 位线。左图中，D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，在D与E之间 作一连线，则DE是的一条中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。同理，三角 形有三条中位线。三角形的高线是指:从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂 线，顶点到垂足之可的线段叫做三角形的高线。简称三角形的高。左图中，AD13C于D,线段AD是的一条高线。同理，三角形 中有三条高线。应该注意的是：（1）直角三角形中，有
30、两条高线与直角边重合。（2）钝魚三角形中，有两条高线在三角形之外。如图中的钝角三角 形ABC,的一个内角NC是钝角，则AD是BC边上的高线，BE是AC边上 的高线。但它们分别与ACs BC的延长线相交于三角形ABC的形外。292. 四边形应该怎样分类？由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。如果没有一组对边平行的四 边形，就叫做任意23边形。在小学中所涉及的四边形，都是凸的四边形，即：如果延长四边形的 任何一边，而整个四边形都在这边延长线的同旁，那么这样的四边形就叫 做凸四边形。四边形在教材中包括以下八种（如下图）：从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内，但各自的名称不相 同。1是任意四边形；
31、2是平行四边形；3是长方形；4是正方形；5是菱 形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。如果把上面图形归类概括，则四边形可做如下分类：任意四边形长方形 四边形（平行四边形（正方形菱形293.怎样认识三角形的三个内角和是180 ?三角形的三个为角和是180 ,这是三角形内角和的性质。在几何初 步知识的教学中，这是一个重要的内容。要通过量一量、折一折、想一想 和算一算等实践活动，让学生在掌握内容的同时，培养和发展学生的推理 判断能力。教学前，先布置课前作业，要求每个学生剪岀六个三角形，即：按角 分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等 边三角形和等腰三角。形固定，但数
32、据不做统一要求，这样剪岀来的三角 形是大小不一的。教师谈话后，先让学生量一量。如：拿岀一个直角三角形，让学生量 岀另外一个角的度数，并报岀来，教师立即报岀第三个角的度数，然后让 学生进行测量核实（用量角器）。如此重复数次，就可以激起学习的兴趣 和教学中的悬念。在此基础上，全体学生一起动手测量自制的六个三角形 三个内角的度数，并把它们加起来，初步明确：无论是什么样的三角形， 也无论它的边是多长和多短，它们内角和都是180。接着，让学生折一折，以丰富学生的感性认识。方法（1）把三角形的三个内角沿虚线折过去，使其组成一个平角， 证明三个内角和为180。如图：方法（2）先画岀一个平角，再将手中的一个三
33、角形的三个角撕下来, 拼在平角上，使三个角正好组成一个平角，进一步证明三角形三个内角和 是 180 。方法(3)把一个正方形沿对角线折成两个三角形，因为正方形四个 角都是直角(90 ),它的内角和是360 ,所以、一个三角形的内角和是 180 。从以上的实践活动，再通过想一想，上升为理性认识，从而形成概念, 这是一个抽象概括、归纳总结的过程。想的过程要通过语言的表述进行检 验。最后运用练一练的形式，以达到巩固概念、运用概念的目的。练习内 容要分基本型和发展型两类。如：基本型求岀下面每个三角形中未知角的度数。已知三角形中匕1是45 ,匕2是60 ,匕3是多少度？发展型:三角形中/是62，匕2是2
34、9 ,这是一个什么三角形？三角形的三个内角和是180 ,如果切去一个角，剩下图形的内角 和是多少度？294.梯形怎样分类？梯形的定义是：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。梯形可分为 _般梯形、直角梯形和等腰梯形三类：（1）般梯形：梯形的各部分名称是这样的：互相平行的两条边，叫做梯形的底，通 常上面的一条边称作上底；下面的一条边称作下底，不平行的两条边称作 腰。nE梯形底边和腰的夹角，称作梯形的底角。上底边和腰的夹角，称作上 底角；下底边和腰的夹角，称作下底角。图中的/A和ZB是下底角；NC和ZD是上底角。梯形上、下底之间的距离，叫做梯形的高。图中的DE1AB, DE是梯 形ABCD的高。（2
35、）直角梯形：只有一腰垂直于底边的梯形，叫做直角梯形。图中的AD1AB,因此, 梯形ABCD是直角梯形。（3）等腰梯形:B两条腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如图中，AD=BC,因此，梯形ABCD 是一个等腰梯形。等腰梯形还具有以下两个性质：等腰梯形的上底角相等，下底角也相等。如图中，ZDAB=ZCBA, ZADC=ZBCDo等腰梯形的对角线相等。如图中，AC= BDo295.怎样进行梯形面积公式的推导？梯形的面积公式是在平行四边形面积公式的基础上进行推导的。在此 之前，已建立了梯形的概念，因此，在教学前，可先让学生自制两个全等 梯形。铺垫性的准备练习后，拿岀4平方厘米的测量板，用数方格的方法, 算
36、岀梯形面积是多少。（梯形面积占满8个方格，每个方格是4平方厘米, 梯形面积为32平方厘米。）然后，让学生将事前准备好的两个全等梯形，一正放，一倒放拼在一 起，组成一个平行四边形。提岀点抜题：这个平行四边形的底是由梯形的 什么组成的？怎样求岀平行四边形的面积？怎样求岀一个梯形的面 积？如图：由此得岀：梯形面积=（上底+ 下底）X高！ 2。也可以用一个梯形通过割、拼的方法，转化成平行四边形。如图：通过上图可以清楚地推导岀：梯形面积=（上底+下底）X高X：还可以通过对一个梯形的割、补，使其转化为三角形，运用求三角形 面积的公式，对照观察，从而推导岀求梯形面积的公式。对转化后的图观察可知，三角形的底为
37、梯形上底加下底的和，三角形 的高相当于原来梯形的高。由此可以推导岀梯形面积公式：“朴y患回演愁归酔岬S丘划君-ffl。卅沢*,眠山也卄泌国-US -HS1H*。酔 oqx启S *軒朴建w X fr fi .wi frif f贖 X * H nsfc .OESassES Bfw3目,Hht 卜洲罢5ES sasssmi .四感昱 oiRssii 枳-q用粗穽-5i 5is粗*壮右卑丘。政 slis iilsn ksn oz-l-qx (q+怀)Hsz + 植 X (悭?-+僕 TY珞Is漫進.f - 陋样璀應1?-+滩Ifwl X 竖 n 蚁H .长方形面积=长 X宽梯形帝位线梯版高梯形面积=中
38、位线X高296. 什么叫做“圖”？在小学数学教材中，圆是平面图形里最后岀现的图形。建立圆的概念、 明确圆的各部分之可的关系，对于解答圆的周长和面积等实际问题，无疑 都是重要的前提条件。圆的概念是：当一条线段绕着它固定的一端（下图中的0点）在平面 上旋转一周时，它的另一个端点（下图中的A点）所画成的封闭曲线，叫 做圆。到了中学，圆还可以这样下定义：“平面内和一个定点的距离等于定 长的点的轨迹”。或者说：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的集 厶 ”口。定点叫做圆的圆心（图中的0点）；连接圆心和图上任意一点的线段, 叫做圆的半径（图中的0A）；过圆心的弦，叫做圆的直径（图中的BC）； 圆所包围的
39、平面部分，叫做圆面。其表示符号为：圆用符号“”表示，以0为圆心的圆、记作“G0, 读作“圆0” ；半径用字母“r”表示，直径用字母“d”表示。通过对任意半径和任意直径的测量，可以发现：在同一个圆里，所有 的半径都相等，所有的直径都相等，直径等于半径的2倍。其字母公式为：R = ?或 d = 2r。圆是轴对称图形。即：把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的 两个半圆就完全重合在一起。经过圆心的任意一条直线（即直径）都是圆 的对称轴。如图：圆又是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。297. 什么叫轴对称和轴对称图形？轴对称和轴对称图形是两个有联系的概念。轴对称是指：对于两个几 何图形，如果连结他
40、们的对应点之间的线段均被某一定直线垂直平分，这 样的两个图形叫做关于这一定直线对称。也就是说，这两个图形轴对称。 这一定直线叫对称轴。轴对称图形是指:如果一个图形关于一定直线的对称图形和它自身重 合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这一图形的对称轴。轴对称图形并不仅限于圆，其他象等腰三角形、等边三角形以及菱形 等，也都是轴对称图形。如图：如图中，沿着直线MN对折后，三角形ABC全部重合到三角形2 BT CT上，三角形ABC与三角形AT BT CT是轴对称图形，直线MN是对称 轴。又如右上图中，四边形ABCD沿对角线对折后，对角线两旁的图形能 全部重合，所以，23边形ABCD是以对角线AC
41、为对称轴的轴对称图形。298. 什么叫中心对称和中心对称图形？中心对称和中心对称图形，这也是两个有联系的概念。中心对称是指：对于两个几何图形，如果连结它们的对应点之间的线段的 中点都和某一定点重合，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做 对称中心。中心对称图形是指：如果绕着一个定点旋转180后，两个图形中的 每一个能够与另一个原来的位置互相重合，那么，这个图形叫做以这个定 点为对称中心的中心对称图形。如图:图中的三角形2 B，CT绕着定点0旋转180后，与三角形ABC的 原来位置互相重合，因此，三角形ABC与三角形AT BT CT是以0点为 对称中心的中心对称图形。除此之外，如果一个图形绕
42、着某一点旋转180后，能够和原来图形 本身位置重合，就称这个图形为中心对称图形。这一点叫做对称中心。以平行四边形为例：图中的四边形ABCD是平行四边形，绕着对角线交点0旋转180后, 能够和原来图形位置重合，因此，平行四边形是以对角线交点0为对称中 心的中心对称图形。299.什么是弦和弧？弦和瓠是和圆有关的两个概念，这两个概念是不能混淆的。弦的概念是：对于一个圆，连结圆上任意两点的线段叫做弦。弦里面 包括直径,因为通过圆心的弦叫做直径，但弦里面又不限于直径，因为“连 结圆上任意两点的线段”并不一定都通过圆心。如图：AB B(1)(2)（1）（ 2）的图中，AB是圆0上的任意两点，所以，线段AB
43、是 圆0上的一条弦。所不同的是：图（1）中的这条兹是圆0的直径；图（2） 中的这条弦则不是。瓠的概念是：圖上任意两点间的部分，叫做圆瓠，简称瓠。一般意义 下，瓠即指曲线，或曲线的部分。瓠用符号 J 来表示，如：以点A、B为端点的瓠，记作AB,为了 避免混淆，有时也记作扇孟。见下图：CB在图中，以AE为端点的瓠，记作AB;以AC为端点的瓠，记作AC。对于同圆（或等圆）的两段瓠，可以加以比较：通过运动，使它们的 圆心相重合，两弧的端点也重合，则说这两弧是相等的。圆的任一直径的 两个端点分圆成两条瓠，每条瓠都叫做半圆。如上图，BC是圆的直径， 以B、C为端点，把圆分成两个半圆。对于圆瓠，把小于半圆的
44、瓠，叫做劣瓠，把大于半圆的瓠，叫做优瓠。300. 圆心角和圖周角一样吗？圆心角与圆周角是两个完全不同的概念，前者与圆心有关，后者与圆 瓠有关。圆心角是指：分别连结圆心到圆瓠的两个端点所成的角，叫做这个圆 瓠的圆心角。在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角相等，则该圆心角所夹的瓠相 等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距（从圆心到弦的距离）也相等。如图：图（1）中，ZA0B的顶点0即为圆0的圆心，因此，/A0B是圆心 角。图（2）中0C丄AB, 0C是AB的弦心距。圆心角的度数和它所对的瓠的度数相等。图（1）中，ZA0B的度数 =AB的度数。圆周角是指：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。
45、 对于一个圆周角，角的内部必然夫了一段圆瓠，通常把圆周角说成是这一 瓠上的圆周角；角的外部也有一段圆瓠，有时也把圆周角说成是这一瓠所 含的圆周角。如图：圆中的匕BAC的顶点A在圆上，并且角的两边AB、AC都与圆 相交，因此，如是圆0的圆周角。圆周角的度数等于它所对的瓠的度数的一半。如图中，ZBAC = |bCo301. 什么是圆和国的位置关系？圆与圆之间有以下五种位置关系：外离。两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都各在另一个的外部时，叫做 这两个圆外离。图中两圆的半径分别为r、R,圆心距为d,则dr+ RO外离 （其中“勺”表示等价），即当dr+R时，两圆则外离；反之，当两圆外离时，则dr+R
46、。外切。两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都 各在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。图中的两圆半径分别为r、R,圆心距d,则d=r+R夕卜切。（3）相交。两个圆有两个公共点时，这两个圆叫做相交。图中两圆半径分别为r、R,圆心距为d,则R-rdr） 相交。（4）内切。两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都 在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个公共点叫做切点。图中两圆半径分别为r、R,圆心距为d,则d=R-r, （Rr）勺内 切。（5）内含。两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做 这两个圆内含（如左图）。右图为同心圆，同心圆则是内含的一种特例。图中两个圆的半径分别为r、R,圆心距为d,则dr） 内含。302. 圖周长和圖周率