《2023年微分方程习题及超详细解析超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年微分方程习题及超详细解析超详细解析答案.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、微分方程习题及答案 微分方程习题 1 基本概念 1、验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解、(1)yxyyxCyxyx2)2(,22(2)y 0 222t-)(,1eyyyxdt 2、已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C,CC均为常数)(一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、)(1)1)(22yCx;(2)xCxCy2cos2sin21、3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在 yx,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。(2)曲线在点 P yx,处的法线 x 轴的交点为 Q,PQ 为 y 轴平分。(3)曲线上的点 P yx,处的切线与 y
2、 轴交点为 Q,PQ 长度为 2,且曲线过点(2,0)。2 可分离变量与齐次方程 1、求下列微分方程的通解(1)2211yyx;(2)0tansectansec22xdyyydxx;(3)23xyxydxdy;(4)0)22()22(dydxyyxxyx、2.求下列微分方程的特解(1)0 ,02xyxyey;(2)21 ,12xyyyyx 3、求下列微分方程的通解(1)1(lnxyyyx;微分方程习题及答案(2)03)(233dyxydxyx、4、求下列微分方程的特解(1)1 ,022xyyxxydxdy;(2)1 ,02)3(022xyxydxdyxy、5、用适当的变换替换化简方程,并求解下
3、列方程(1)2)(yxy;(2)ln(lnyxyyyx(3)11yxy(4)0)1()1(22dyyxxyxdxxyy 6、求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线与x轴所围城三角形面积等于常数2a、7、设质量为m的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(t速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系、8、有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了 0、3g 染色,30 分钟后剩下 0、1g,试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量)(tP随时间t变化的规律,此人胰脏就是否正常？9、有一容器内有
4、100L 的盐水,其中含盐 10kg,现以每分钟 3L 的速度注入清水,同时又以每分钟 2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？3 一阶线性方程与贝努利方程 1.求下列微分方程的通解(1)2xxyy;(2)0cos2)1(2xxyyx;(3)0)ln(lndyyxydxy;B A P(x,y)的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染
5、色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案(4)(ln2xyyy;(5)1sin4xedxdyy 2.求下列微分方程的特解(1)0 ,sectan0 xyxxyy;(2)1|,sin0 xyxxxyy 3.一 曲线过原点,在),(yx处切线斜率为yx 2,求该曲线方程、4.设可导函数)(x满足方程 x0 1sin)(2cos)(xtdttxx,求)(x、5.设有一个由电阻 10R,电感HL2,电流电压tVE5sin20串联组成之电路,合上开关,求电路中电流i与时间t之关系、6.求下列贝努利方程的通解 (1)62yxxyy(2)xyxyytancos4(3)0ln2yxxdydxy(4)2121xy
6、xxyy 4 可降阶的高阶方程 1、求下列方程通解。(1)yyx ;(2)122xyxy;2(3)20yyy 341y y 2002.1,0,1xxyyyy 求下列方程的特解(2)0 ,0 ,2002xxxyyeyxy 3.求xy 的经过)1 ,0(且在与直线12xy相切的积分曲线 4.证明曲率恒为常数的曲线就是圆或直线、证明:0,0(,)1(232KKKyy可推出y就是线性函数;K可取正或负 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲
7、线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 5.枪弹垂直射穿厚度为的钢板,入板速度为a,出板速度为b)(ba,设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板的时间就是多少？5 高阶线性微分方程 1、已 知)(),(21xyxy就 是 二 阶 线 性 微 分 方 程)()()(xfyxqyxpy的 解,试 证)()(21xyxy就是0)()(yxqyxpy的解 2、已知二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的三个特解xeyxyxy33221,试求此方程满足3)0(,0)0(yy的特解、3.验证1,121xe
8、yxy就是微分方程1)1(yyxyx的解,并求其通解、6 二阶常系数齐次线性微分方程 1、求下列微分方程的通解(1)02yyy;(2)0136yyy;(3)044yyy;(4)02)4(yyy、2.求下列微分方程的特解(1)10y ,6,0340 x0 xyyyy(2)5y ,2,0250 x0 xyyy(3)3y ,2,01340 x0 xyyyy 3、设单摆摆长为l,质量为m,开始时偏移一个小角度0,然后放开,开始自由摆动、在不计空气阻力条件下,求角位移随时间t变化的规律、4、圆柱形浮筒直径为 0、5m,铅垂放在水中,当稍向下压后突然放开,浮筒周期为 2s,求浮筒P mg l 的曲线所满足
9、的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 质量、。5、长为 6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动,设运动开始时,链条自桌上垂下部分长为 1m,问需多少时间链条全部滑过桌面、7 二阶常系数非齐次线性微分方程 1、求下列微分方程的通解(1)xxeyyy323;(2)xyyy2345;(3)xxyycos4;(4)xyy2sin;(5
10、)4(2xexyyy、2.求下列微分方程的特解(1)2(0)y ,6)0(,523yyyy;(2)1)(y ,1)(,02sinyxyy 3、设连续函数)(xf满足 xxdttfxtexf 0 )()()(求)(xf、4、一质量为m的质点由静止开始沉入水中,下沉时水的反作用力与速度成正比(比例系数为k),求此物体之运动规律、5、一链条悬挂在一钉子上,起动时一端离开钉子 8m,另一端离开钉子 12m,若不计摩擦力,求O x)(tp O)(tx P O)(tx x 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及
11、答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 链条全部滑下所需时间、6、大炮以仰角、初速0v发射炮弹,若不计空气阻力,求弹道曲线、8 欧拉方程及常系数线性微分方程组 1、求下列微分方程的通解 (1)32322xyyxyxyx;(2)xxyxyy22、2.求下列微分方程组的通解(1)33yxdtdydtdxyxdtdydtdx(2)00432222yxdtydyxdtxd 自测题 1、求下列微分方程的解。(1)xyxyytan;(2)0)2(2dyxy
12、xydx;(3)xxyyyy222;)(),()(tytxtp x y O)(txP x 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案(4)xxyy2sin、2.求连续函数)(x,使得0 x时有1 0 )(2)(xdtxt、3.求以xexxCCy2221)(为通解的二阶微分方程、4.某个三阶常系数微分方程 0cyyby
13、ay有两个解xe与x,求cba ,、5.设)()(xfyxpy有一个解为x1,对应齐次方程有一特解2x,试求:(1)(),(xfxp的表达式;(2)该微分方程的通解、6.已知可导函数)(xf满足关系式:1)(1)()(1 2xfdttftfx求)(xf、7.已知曲线)(xyy 上原点处的切线垂直于直线012 yx,且)(xy满足微分方程xeyyyx2cos52,求此曲线方程、微分方程习题答案 1 基本概念 1.验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解、(1)yxyyxCyxyx2)2(,22 yxyyxyyyxyx2)2(:022:移项求导解 故所给出的隐函数就是微分方程的解(2)y 0 2
14、22t-)(,1eyyyxdt、解:隐函数方程两边对 x 求导 0122yey 方程两边再对 x 求导 022yyyyey 指数函数非零,即有 2)(yyy 故所给出的隐函数就是微分方程的解 2.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C,CC均为常数)的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案(一般方法:对曲线簇方
15、程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、)(1)1)(22yCx;102)(2:222yyyyycxyycx代入原方程得解出求导得(2)xCxCy2cos2sin21、04:,2cos42sin4:)2sin(22cos2:212121yyccxcxcyxcxcy得消去再求导得求导得 3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。(1)曲线在 yx,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。解:设曲线为 y=y(x)则曲线上的点 yx,处的切线斜率为y,由题意知所求方程为2xy (2)曲线在点 P yx,处的法线 x 轴的交点为 Q,PQ 为 y 轴平分。解:曲线上的点 yx,处法线方程:1Y
16、yXxy 。故法线 x 轴的交点为 Q 坐标应为,0yyx,又 PQ 为 y 轴平分,故102yyxx,便得曲线所满足的微分方程:02 xyy(3)曲线上的点 P yx,处的切线与 y 轴交点为 Q,PQ 长度为 2,且曲线过点(2,0)。解:点 P yx,处切线方程:()Yyy Xx 故 Q 坐标为0,yyx,则有 2202PQxyyy x 则得初值问题为:222(1)40 xxyy 2 可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解(1)2211yyx;的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案
17、求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 解:分离变量 cxyxdxydyxdxydyarcsinarcsin11,112222得两边积分(2)0tansectansec22xdyyydxx;解:分离变量 22secsectantanxdxydyxy(tan)(tan)tantandxdyxy 1ln tanln tanxyC 1ln tantanxyC 1ln tan tanxyCee1tan tanCxye1tantanCxye tantanxy
18、C其中1CCe (3)23xyxydxdy;解:23dyxyxydx(3)dyxy ydx分离变量得(3)dyxdxy y(3)dyxdxy y(3)dyxdxy y 133dydyxdxyy 2111lnln332yyxC 213ln332yxCy 213ln332yxCyee213323xCyeey 2323xyCey其中13CCe (4)0)22()22(dydxyyxxyx、解:分离变量得222121yxyxdydx 222121yxyxdydx 21212121yxyxdd 1ln 21ln 21yxC 1ln 2121yxC 1ln 21 21yxCee 1ln 2121Cyxe
19、12121Cyxe 21 21yxC 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 其中1CCe 2.求下列微分方程的特解(1)0 ,02xyxyey;)1(212102120222xyxxyxyxyeecyceedxedyedxedye所以特解为：解得由解：(2)21 ,12xyyyyx 解:分离变量得2dydxyy
20、x11()1dxdyyyx 11lnlnyxCy 11lnlnyxCyee11Cyexy11Cye xy 1yCxy,其中1CCe,由11 2xy得1C ,故特解为1yxy 3.求下列微分方程的通解(1)1(lnxyyyx;解:方程变形为齐次方程(ln1)dyyydxxx,yux令,则dyduuxdxdx,故原方程变为(ln1)dyuxuudx,分离变量得lndudxuux,两边积分lndudxuux,即lnlnduudxx,故1ln lnlnuxC,得1ln lnlnuxCee 1lnCuex1lnCue x lnyCxx,其中1CCe (2)03)(233dyxydxyx、的曲线所满足的微
21、分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 解:方程变形为齐次方程3213ydyxdxyx ,令yux则dyduuxdxdx,故原方程变为3213duuuxdxu,分离变量得 23312u dudxux,两边积分23312u dudxux,即3311 221 2dudxux,即331 221 2dudxux,得31ln 1 22ln
22、uxC 31ln 1 22lnuxC321ln 12uxC 321ln 1 2uxCee 13212Cuxe13212Cyxex 13212Cyxex 332xyCx其中1CCe 4 求下列微分方程的特解(1)1 ,022xyyxxydxdy;解:原方程化为21ydyxdxyx ,令yux则dyduuxdxdx,故原方程变为21duuuxdxu,分离变量得231 udxduux 两边积分231 udxduux,即311dxduuux,得211lnln2uuxC 211lnln2uuxC 211ln2uuxC 211ln2uyCee 2112uCeey 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等
23、于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 2112xyCee y 212xyeCy 其中1CCe 1CCe,由0 1xy得1C,故特解为212xyey (2)1 ,02)3(022xyxydxdyxy、解:原 方 程 可 化 为,322xyxydxdy令yux则dyduuxdxdx,故 原 方 程 变 为,322uudxduxu分 离 变 量 得233,u
24、dxduuux两 边 积 分233udxduuux,即11311dxduuuux得2331lnln1ln1lnlnlnuuuuxCu 即231lnlnuCxu得231uCxu,即231yxCxyx ,又01xy得特解为.223xyy 5 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程(1)2)(yxy;解:令uxy 则1dydudxdx,原方程变为21duudx,分离变量并积分21dudxu得arctan uxC 故方程通解为arctan()xyxc (2)ln(lnyxyyyx 解:,x yu令则dyduxydxdx,原 方 程 变 为lnduuudxx,分 离 变 量 并 积 分lndudxuu
25、x,即lnlndudxux 得1ln lnlnuxC,得lnuCx,即ln xyCx,其中1CCe 故方程通解为cxxye(11ln lnlnlnlnux CCeeuexuCx,其中1CCe)(3)11yxy 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 解:xyu 令,则1dydudxdx,原方程变为111dudxu
26、,分离变量并积分ududx得 22uxC 故方程通解为2()2xyxC (4)0)1()1(22dyyxxyxdxxyy 解:,x yu令则dyduxydxdx,原方程变为221duuuxudxuu ,分离变量并积分231 uudxduux,得2111lnln2uuuxC,即2321 2x yCxy其中1CCe(分析原方程可变形为221xyxydyx xyxydxxyxy,故令,x yu令)(32111dxduuuux,2111lnln2uuuxC2111ln2uCuux,2111ln2uCuuxee 12112Cyexyxy 2321 2x yCxy其中1CCe)22222322222221
27、2ln2:ln211ln:11)11()1(11,1,)1()1(:ycxxyyyxcxuuuxdxduuuuuuxuxuuuxuxuxyuxyuxyxydxdyyxxyyx得通解解得代入上式令解 6 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线与x轴所围城三角形面积等于常数2a、的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分
28、方程习题及答案 解:曲线点 P(x,y)的切线方程为:)(xXyyY 该曲线与 x 轴交点记为 B,则 B 坐标为,0yxy,过点P(x,y)平行于y轴的直线与x轴交点记为 A,则 A 坐标为,0 x 故三角形面积为212yAB APxx yay 即有微分方程222dyyadx 当222dyyadx时用分离变量法解得2()2y Cxa 当222dyyadx 时用分离变量法解得2()2y Cxa 7 设质量为m的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(t速度为0,求物体速度v与时间t的函数关系、).1()ln(0)ln(0.).(,|00|tmkttekmgvmgkmcvck
29、vmgkmtkvmgmdvdtvdtdvmkvmgvkkvmgFdtdvmmaF所以得：解得由积分得：求解方程：及初始条件：满足微分方程：便得为比例常数而解：根据 8 有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了 0、3g 染色,30 分钟后剩下 0、1g,试求注射染色后B A P(x,y)的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物
30、体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 t分钟时正常胰脏中染色量)(tP随时间t变化的规律,此人胰脏就是否正常？解:t 以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收 40%染色可得 pdtdp4.0 通解为:ctpln25 加以初始 p(0)=0、3,便可求出 p(t)=0、3et4.0及 p(30)=0、3 e12 然后与实测比较知,此人胰脏不正常、9、有一容器内有 100L 的盐水,其中含盐 10kg,现以每分钟 3L 的速度注入清水,同时又以每分钟 2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？解:设t时刻容器内含盐)(tP,10)0
31、(P,由于t时刻容器内液体为:100+t,因此t时刻容器内浓度为:ttPtQ100)()(、于就是在t时刻盐的流失速度为:)(2tQ,从而有)(tP满足的方程为:tttPtdP2100)()(初始化条件为:)(9.32560010000060.)100(100000100000,10)100()100(lnln)100ln(2ln1002106020220kgp，ttPcPtcPtcctPdttpdpPttt分钟时当于是求得由 3 一阶线性方程与贝努利方程 1.求下列微分方程的通解(1)2xxyy;解:法一:常系数变易法:解齐次方程0yyx ,分离变量得dydxyx,的曲线所满足的微分方程曲线
32、在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 积分得1lnlnyxC,即yCx,其中1CCe(注:在常系数变易法时求解齐次方程通解时写成显式解;1lnlnyxC1lnlnyxCee1CyexyCx其中1CCe。设非齐次方程有解 yu x x,代入非齐次方程有 2u x xu xu xx,即 u xx,故 212u xxC,非齐次微分方程的通解2
33、2xyxC 法二(公式法)112dxdxxxyex edxCln2lnxxex edxC xxdxC 22xxC(2)0cos2)1(2xxyyx;222cos11xxyyxx 解：故2222112cos1xxdxdxxxxyeedxCx 21 cos1xdxCx2sin1xCx(22212)11d xxdxxx(3)0)ln(lndyyxydxy;解:方程变形为11lndxxdyyyy 故1lnln11dydyyyyyxeedyCylnlnlnln11yyyeedyC 111lnlnyydyCy 2111lnln2yCy 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处
34、的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 即22 lnlnxyyC,其中12CC(4)(ln2xyyy;解:方程变形为22lndxxydyyy,故222lndydyyyxey edyCy2ln2ln2lnyyey edyCy 2212ln y y dyCyy212 lnyydyCy2211ln2yyCy 即221ln2xyyyC(分部积分法:22 lnlnyydyydy22lnlny
35、yy dy2lnyyydy22ln2yyyC)(5)1sin4xedxdyy 解:两边同乘ye得4sinyydyexedx,即4sinyydexedx,故令yue,则原方程变为4sinduuxdx 故(4sin)dxdxuex edxC,即(4sin)xxuex e dxC 得2(sincos)xxxuex ex eC 即原方程通解为2(sincos)yxexxCe(sinxx e dx用分部积分法积分)2.求下列微分方程的特解(1)0 ,sectan0 xyxxyy;解:tantan secxdxxdxyex edxCsinsincoscos secxxdxdxxxex edxC cosco
36、scoscos secdxdxxxex edxClncoslncos secxxex edxC1cosdxCx 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案(0)00yc 代:cosxyx特解 (2)1|,sin0 xyxxxyy 解:11sindxdxxxxyeedxCxlnlnsinxxxeedxCx()11yc
37、代1 sinxdxCx1(cos)xCx 1:(cos1)yxx特解 3.一 曲线过原点,在),(yx处切线斜率为yx 2,求该曲线方程、解:由题意可得:02,0 xyxyy 于就是:Cdxdxxedxey22xxexedxC 2()xxexd eC2xxxexee dxC(22)xxxexeeC 由00 xy得2C,故曲线方程为2(1)xyex 4.设可导函数)(x满足方程 x0 1sin)(2cos)(xtdttxx,求)(x、解:问题为初值问题 cossin2sin101xxxxxx 该微分方程为线性微分方程故 tantansecxdxxdxxexedxC 2cossecxxdxCcos
38、tanxxC 又 01得1C,故 sincosxxx 5.设有一个由电阻 10R,电感HL2,电流电压tVE5sin20串联组成之电路,合上开关,求电路中电流i与时间t之关系、解:由dtdiLRiE及可得:问题为初值问题0510sin50tdiitdti 该微分方程为线性微分方程故 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习
39、题及答案 5510sin5dtdtietedtC 5510sin 5ttete dtC 5sin5cos5tttCe 又00ti得1C,故5sin5cos5titte(分部积分法积5sin5tte dt)6.求下列贝努利方程的通解 (1)62yxxyy 解:原方程变形为-6-521dyyyxdxx,令5zy,则65dzdyydxdx,故原方程变为线性微分方程255dzzxdxx 故552(5)dxdxxxzeex dxC 5ln5ln2(5)xxeexdxC552(5)xxxdxC3552xCx 贝努利方程的通解为53552yxCx(2)xyxyytancos4 原方程变形为43tancosd
40、yyx yxdx,令3zy,则43dzdyydxdx 故原方程变为线性微分方程3tan3cosdzx zxdx 故3 tan3 tan3cosxdxxdxzex edxC 3lncos3lncos3cosxxex edxC32cos3secxxdxC3cos(3tan)xxC 贝努利方程的通解为33cos(3tan)yxxC(3)0ln2yxxdydxy 解:方程变形为2111lndxxxydyyy,令1zx,则2dzdxxdydy 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适
41、当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 故原方程变为线性微分方程lndzzydyyy 故11lndydyyyyzeedyCy2ln yydyCy1lnyydyC 12lny yyy dyCln1yCy 贝努利方程的通解为1ln1xyCy,即ln11xyCy(4)2121xyxxyy 解:方程变形为112221xyyyxx,令12zy,则1212dzdyydxdx 故原方程变为线性微分方程21212dzxxzdxx 故2211221112xxdxdxxxzexedxC 12
42、2411(1)3xC x 贝努利方程的通解为 11222411(1)3yxC x 4 可降阶的高阶方程 1 求下列方程通解。2(1)yyx 解:令dypdx,则22d ydpdxdx,原方程变为线性微分方程dppxdx 故1dxdxpexedxC1xxxexeeC 故1xxxyexeeCdx 即2122xxyC exC (2)122xyxy;解:令dypdx,则22d ydpdxdx,原方程变为可分离变量的微分方程221dpxpdxx,的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用
43、适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 分离变量积分得221dpxdxpx,得 211pCx 故 211yCxdx,即31123CyxC xC 2(3)20yyy 解:令dypdx,则22d ydpdp dydppdxdxdy dxdy,原 方 程 变 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程220dpyppdy 若0p,即0y,故yD 若0p,分离变量积分2dppdyy,得21pC y,即21dpC ydx,分离变量积分12dyC dxy,得121C xCy 341
44、y y 解:令dypdx,则22d ydpdp dydppdxdxdy dxdy,原 方 程 变 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程31dpy pdy 分离变量积分3pdpy dy,得221pyC,即21dyyCdx ,变形得211C ydydxy,分离变量积分211ydydxC y 即211211211Cd C ydxC y 得21211212C yxCC ,即21121C yC xC 即221121C yC xC 2002.1,0,1xxyyyy 求下列方程的特解 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通
45、解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 解:令dypdx,则22d ydpdp dydppdxdxdy dxdy,原方程变为可分离变量的微分方程2dpppdy 由01xy ,知0,p 分离变量积分dpdyp得1ypC e,000,1xxyy 得11C 即ydyedx,分离变量积分ye dydx得2yexC,由00 xy得21C 故特解1yex (2)0 ,0 ,2002xxxyyeyxy 解:令dypdx,则22d ydpdxd
46、x,原方程变为线性微分方程22xdpxpedx 故2222211xdxxdxxxxpeeedxCxeC e 由00 0,0 xxyy得10C,即2xdyxedx 故22212xxyxedxeC,由0 0 xy得212C,故特解为 2112xye 3.求xy 的经过)1 ,0(且在与直线12xy相切的积分曲线、解:由题意,原方程可化为:001,12xxyxyy 21,102322031211,2211,221,621,1,11162xxyxCyCyxxyxCyCyxx Q 的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分
47、方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 4.证明曲率恒为常数的曲线就是圆或直线、证明:0,0(,)1(232KKKyy可推出y就是线性函数;K可取正或负)用y作自变量,令yp得:Kdyppdp232)1(,1212)1(1CKyp,从而 2121)()(1CKyCKyp,dxCKydyCKy211)(1)(,再积分:221)(1CKxCKy,1)()(2221CKyCKy,222211)()(KKCxKCy、5.枪弹垂直射穿厚度为的钢
48、板,入板速度为a,出板速度为b)(ba,设枪弹在板内受到阻力与速度成正比,问枪弹穿过钢板的时间就是多少？解:由方程avkvdtdvm)0(,可得 tmkaev,再从 0)0(saedtdstmk,得到 )()(tmkaeakmts,根据 btvts)(,)(00,的曲线所满足的微分方程曲线在处切线的斜率等于该点横坐标的平方曲线在点处的法线轴的交点为为轴平分曲线上的下列微分方程的通解微分方程习题及答案求下列微分方程的特解用适当的变换替换化简方程并求解下列方程求一曲线阻力与速度成正比并设开始下落时求物体速度与时间的函数关系有一种医疗手段就是把示踪染色注射到胰脏里去以检微分方程习题及答案 可得 )(
49、0bamkbaetmk,babatln0 5 高阶线性微分方程 1.已 知)(),(21xyxy就 是 二 阶 线 性 微 分 方 程)()()(xfyxqyxpy的 解,试 证)()(21xyxy就是0)()(yxqyxpy的解 的解是故代入方程的左边将所以其满足方程的解是解)()()()(0)()()()()()()()()()()()(,:212221112121212121xfyxqyxpyyyxfxfyxqyxpyyxqyxpyyyxqyyxpyyyy，xfyxqyxpyyy 3 已知二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的三个特解xeyxyxy33221,试求此方程满足3)
50、0(,0)0(yy的特解、解:212yyxx;2323xyyxe就是齐次微分方程的解,且2122323xyyxxyyxe常数,故原方程通解为22312()()xyC xxCxex 由(0)0,(0)3yy得2102CC，,即特解为232yxx 3.验证1,121xeyxy就是微分方程1)1(yyxyx的解,并求其通解、1)(111)1(,110,1:21322132213222111xcexcy。，yyyy。xyy，exyy，y。y，exeexeyey。y，xxyyxxxxxxx故通解为故线性无关常数个解也是齐次微分方程的一解是齐次微分方程的一个也是微分方程的解易观察得是解故满足方程代入微分方