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1、 第七章:常微分方程(自测题答案)一、选择题:1、一阶线性非齐次微分方程()+()yP x y Q x 的通解是(C ).(A)()()()P x dxP x dxyeQ x edxC；(B)()()=()P x dxP x dxy eQ x edx；(C)()()=()P x dxP x dxy eQ x edxC；(D)()=P x dxy ce.2、方程22=xyxyy是(A ).(A)齐次方程；(B)一阶线性非齐次方程；(C)一阶线性齐次方程；(D)可别离变量方程.3、已知lnxyx是微分方程()yxyxy 的解，则()xy的表达式为 A .(A)22yx；(B)22yx；(C)22x
2、y；(D)22xy.4、220,(1)2dydxyxy的特解是(B ).(A)22=2xy；(B)339xy；(C)33=1xy；(D)33133xy.5、方程=sinyx的通解是(A ).(A)21231=cos2yxC xC xC；(B)21231=sin2yxC xC xC；(C)1=cosyxC；(D)=2sin 2yx.6、方程=0yy 的通解是(B).(A)1sincos+yxx C；(B)123sincos+yCxCx C；(C)1sincos+yxx C；(D)1sinyxC.7、假设1y和2y是二阶齐次线性方程()()0yP x yQ x y的两个特解,则 1122yC yC
3、 y(其中12,C C为任意常数)(B).(A)是该方程的通解；(B)是该方程的解；(C)不是该方程的解；(D)不一定是该方程的解.8、求方程2()=0yyy的通解时,可令(B ).(A)yP,则 yP；(B),yP 则=dPyPdy；(C),yP 则=dPyPdx；(D),yP 则=dPyPdy.9、设 线 性 无 关 的 函 数123yyy，都 是 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 ()()()yp x yq x yf x的解，12,C C为任意常数，则该非齐次方程的通解是(D ).(A)11223yC yC yy；(B)1122123()yC yC yCCy；(C)1122123(1)
4、yC yC yCCy ；(D)1122123(1)yC yC yCCy .10、方程32xyyyxe的一个特解形式是 (C ).(A)()xyaxb e；(B)；xyae x (C)()xyaxb e x；(D)xyae.二、求以下一阶微分方程的通解:1、ln(ln1)xyxyaxx；2、2(6)20dyyxydx.；lncyaxx；232yxcy;3、(12)2(1)0 xxyyxedxedyy.2xyxyec.三、求以下高阶微分方程的通解:1、yyx；2、20yyy.21212xyC exxC；2123xxyCC eC e;3、123yxyx；解 方程中不显含未知函数y，令Py，xPydd
5、，代入原方程，得 1dd23 PxxPx，311ddxPxxP，这是关于未知函数)(xP的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以)(xP1d13d1de1(eCxxxxxx =1ln3lnde1(eCxxxx=13d1(1Cxxxx=11(1Cxx=xCx121，由此 xydd=xCx121，xxCxyd)1(12=21ln1CxCx，因此，原方程的通解为 y=21ln1CxCx 21,CC为任意常数.4、xyyyx2sine842.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842 rr，特征根 i 222,1r.于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin2cos(e212xCxCyxc 为
6、了求原方程xyyyx2sine842的一个特解,先求xyyy)i22(e84 的特解.由于i 22 是特征方程的单根，且1)(xPm是零次多项式。所以设特解为 xAxy)i22(e，代入原方程，化简得 18)i 22(4i 8)i 44(AxAxAAxA,比较同类项系数，得 1i4A，4ii 41A.所以，方程的特解为)2sin2(cose4i2xixxyx=)2sin2cosi(e412xxxx,其虚部即为所求原方程的特解 xxyxP2cose412.因此原方程通解为)sincos(e212xCxCyxxxx2cose412.四、求以下微分方程满足所给初始条件的特解:1.yyxyxyxydd
7、dd2 满足条件20 xy的特解.解 这是可以别离变量的微分方程，将方程别离变量，有 xxyyyd11d12，两边积分，得 yyyd12xxd11，求积分得 121ln1ln21Cxy，1222)1ln(1lnCxy，1222e)1(1Cxy，222)1(e11xyC，记 0e12CC，得方程的解 22)1(1xCy.可以验证 0C时，1y，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1xCy中的C可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1xCy C为任意常数.代入初始条件 20 xy 得 3C，所以特解为 22)1(31xy.2.)1()(22yyy满足初始条件21xy，11xy的特解.解
8、方程不显含x，令 Py，yPPydd，则方程可化为 )1(dd22yyPPP，当 0P时 yyPPd12d，于是 21)1(yCP.根据 21xy，11xy，知12yy 代入上式，得 11C，从而得到 xyyd)1(d2，积分得 211Cxy，再由21xy，求得 02C，于是当0P时，原方程满足所给初始条件的特解为 xy 11，当0P时，得Cy(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解xy 11中.故原方程满足所给初始条件的特解为xy 11，即 xy11 五、已知某曲线经过点(1,1),它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程 .解 设所求曲线方程为)(xfy，),(yxP为其
9、上任一点，则过P点的曲线的切线方程为 )(xXyyY，由假设，当0X时 xY，从而上式成为 11dd yxxy.因此求曲线)(xyy 的问题，转化为求解微分方程的定解问题 1111xyyxy，的特解.由公式 CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(，得)de)1(ed1d1Cxyxxxx=Cxxx ln，代入11xy得 1C，故所求曲线方程为)ln1(xxy.六、一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.解 设质点的运动规律为)(txx.由题意，有,0dd,0,dddd0022tttxxtxkmgtxm 0k为比例系数 方程变为 gtxmktxdddd22，齐次方程的特征方程为 02rmkr，0)(mkrr，01r，mkr2.故原方程所对应的齐次方程的通解为 tmkcCCxe21，因0是特征单根，故可设 atxp，代入原方程，即得 kmga，故tkmgxp，所以原方程的通解 tmkCCxe21tkmg,由初始条件得 221kgmC，222kgmC，因此质点的运动规律为 )e1()(22tmkkgmtkmgtx.