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1、常微分方程课后答案 常微分方程 2、1 1、xydxdy2,并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解、解:对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212,0)1(.22dyxdxy并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解、解:对原式进行变量分离得:。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy1ln11,11,001ln1,11ln0,1112 3 yxydxdyxy321 解:原式可化为:xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxd
2、y2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：常微分方程课后答案 10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:53322222222222cdxdydxd
3、yxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解
4、：常微分方程课后答案 cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12.2)(1yxdxdy 解 cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令 变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131
5、,31;012,0121212.132 常微分方程课后答案.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令 15.18)14()1(22xyyxdxdy 原方程的解。，是，两边积分得分离变量，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy6)383232(941494141412)14(1818161222222 16.2252622yxxyxydxdy 解:，则原方程化为，令uyx
6、xyxydxdyxxyyxydxdy323223323222322)(32(2)(126326322222xuxuxxuxudxdu,这就是齐次方程,令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(.1261263的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，所以，则 常微分方程课后答案 17、yyyxxxyxdxdy
7、3232332 解:原方程化为123132;)123()132(2222222222yxyxdxdyyxyyxxdxdy 令)1.(123132;,22uvuvdvduvxuy则 方程组，）；令，的解为（111101230132uYvZuvuv 则有zyzydzdyyzyz23321023032）化为，从而方程（令)2.(.232223322，所以，则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt 当是原方程的解或的解。得，是方程时，即222222)2(1022xyxytt当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022两边积分的时，分离变量得 另外 cxyxyxy
8、xy522222222)2(2原方程的解为，包含在其通解中，故，或 常微分方程课后答案，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx4ln142241)22(1dxduuxy(2)0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y,c2即,c2两边同时积分得：dxx12udu变量分离得：),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时，方程化为0sxy是原方程的解，当0y或0 x当:(1)解程。故此方程为此方程为变u
9、)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明：因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx 19、已知 f(x)xxfxdtxf0)(,0,1)(的一般表达式试求函数、解:设 f(x)=y,则原方程化为xydtxf01)(两边求导得12yyy cxyycxdyydxdxdyy21;121;1;233所以两边积分得代入把cxy21xydtxf01)(xyccxccxcxdtctx21,02)2(;2210所
10、以得常微分方程课后答案 20、求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(sxtxsxtx的函数 x(t),已知 x(0)存在。解:令 t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(xxx=)0()0(1)0(2xxx 若 x(0)0 得 x2=-1矛盾。所以 x(0)=0、x(t)=)(1)(0()()(1)(1)(lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx)(1)(0()(2txxdttdx dtxtxtdx)0()(1)(2 两 边 积 分 得arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以 x(t)=
11、tgx(0)t 习题 2、2 求下列方程的解 1.dxdy=xysin 解:y=e dx(xsine dxcdx)=ex-21ex(xxcossin)+c=c ex-21(xxcossin)就是原方程的解。2.dtdx+3x=et 2 解:原方程可化为:dtdx=-3x+et 2 所以:x=edt3(et 2 edt3cdt)=et 3(51et 5+c)=c et 3+51et 2 就是原方程的解。常微分方程课后答案 3.dtds=-stcos+21t 2sin 解:s=etdtcos(t 2sin21edtdt3c)=etsin(cdttettsincossin)=etsin(cetett
12、sinsinsin)=1sinsintcet 就是原方程的解。4.dxdynxxeynx ,n 为常数、解:原方程可化为:dxdynxxeynx )(cdxexeeydxxnnxdxxn )(cexxn 就是原方程的解、5.dxdy+1212yxx=0 解:原方程可化为:dxdy=-1212yxx dxxxey212(cdxedxxx221)21(ln2xe)(1ln2cdxexx=)1(12xcex 就是原方程的解、6.dxdy234xyxx 解:dxdy234xyxx =23yx+xy 令xyu 则 uxy dxdy=udxdux 因此:dxduxu=2ux 21udxdu dxduu2
13、常微分方程课后答案 cxu331 cxxu 33 (*)将xyu带入 (*)中 得:3433cxxy就是原方程的解、3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)()1(1)dxP x dxxP x dxdyyxdxxdyyxdxxP xQ xxxeexeQ x dxcx P(x)dx232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)(x+23221(1)()211,()()dyyxcdyydxxydxxydyyyQ yyyeyQ y dyc2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1)即：2y=c(x+1)+(x
14、+1)为方程的通解。8.=x+y解：则P(y)=e方程的通解为：x=ee 2331*)22y dycyycyy =y(=即 x=+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。常微分方程课后答案()()()19.,1),()()01adxP x dxaxP x dxP x dxaadyayxadxxxaxP xQ xxxeexeeQ x dxcaa为常数解：（方程的通解为：y=1 x+1 =x(dx+c)xx 当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程01aaaa的通解为 y=cx+xln/x/-1 当，时，方程的通解为x1 y=cx+-1-3331()()()310.11(),()
15、1()(*)dxP x dxxP x dxP x dxdyxyxdxdyyxdxxP xQ xxxeexeeQ x dxcx x dxccxcx 33解：方程的通解为：y=1 =xx =4x方程的通解为：y=4 常微分方程课后答案 223333233232332311.2()2()()2,()2()(2)p xxdxxp xp xxdyxyx ydxxyx ydxxyxy dxxyxdxyzdzxzxdxP xx Q xxedxeeedxedxQ x dxcex 23-2xdy解：两边除以ydydy令方程的通解为：z=e222)11)1,0 xxdxcceycey 22 =x故方程的通解为：(
16、x且也是方程的解。22212111()()222ln112.(ln2)424ln2ln2ln22ln2ln(),()()ln1()(Px dxPx dxdxdxxxcxyxydxxdyxdyxyydxxxydyxyy dxxxdyxydxxxyzdzxzdxxxxP xQ xxxzeeQ x dxcxzeedxcxx解：两边除以 令方程的通解为：222ln()ln1424ln1:()1,424xdxcxxcxxcxyx方程的通解为且y=0也是解。常微分方程课后答案 13 222(2)2122xydyyx dxdyyxydxxyxy 这就是 n=-1时的伯努利方程。两边同除以1y,212dyyy
17、dxx 令2yz 2dzdyydxdx 22211dzyzdxxx P(x)=2x Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 22()dxdxxxzeedxc =2xx c 22yxx c 14 23ydyexdxx 两边同乘以ye 22()3yyydyexeedxx 令yez ydzdyedxdx 222233dzzxzzzdxxxx 这就是 n=2 时的伯努利方程。两边同除以2z 22131dzz dxxzx 令1Tz 21dTdzdxz dx 231dTTdxxx 常微分方程课后答案 P(x)=3x Q(x)=21x 由一阶线性方程的求解公式 3321()dxdxxxTeedxcx =3
18、21()2xxc =1312xcx 131()12zxcx 131()12yexcx 2312yyx ecex 2312yxx ec 15 331dydxxyx y 33dxyxy xdy 这就是 n=3 时的伯努利方程。两边同除以3x 3321 dxyyx dyx 令2xz 32dzdxxdydy 3222dzyydyx=322yzy P(y)=-2y Q(y)=32y 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydyydyzey edyc =223(2)yyey e dyc=221yyce 常微分方程课后答案 222(1)1yxyce 22222(1)yyyx eycee 22222(1)ye
19、xx ycx 16 y=xe+0()xy t dt()xdyey xdx xdyyedx P(x)=1 Q(x)=xe 由一阶线性方程的求解公式 11()dxdxxyee edxc =()xxxee e dxc =()xexc 0()()xxxxexceexc dx c=1 y=()xexc 17 设函数(t)于t0,使得),0,)(tMtf 常微分方程课后答案 又ttexex7,就是齐线性方程组的基本解组 非齐线性方程组的解 dssfeeeeedssfeeeeeeeettsstsstssssstst)(6)(7)(087707777 MeeMdseeeeMttttstst214)7178(6
20、6)(7077 又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解 x(t),都存在固定的常数21,cc 使得)()(271tecectxtt 从而Mcctecectxtt214)()(21271 故上面方程的每一个解在 t0上有界 b)t时,0)(tf N,0当 tN 时)(tf 由 a)的结论)(,214214)()(21271tMcctecectxtt 故t时,原命题成立 11、给定方程组 xtAx)(5、15)这里 A(t)就是区间bxa上的连续nn矩阵,设)(t就是(5、15)的一个基解矩阵,n 维向量函数 F(t,x)在bxa,x上连续,0bat 试证明初值问题:)(),()(0txtFxtA
21、x (*)的唯一解)(t就是积分方程组 dssxsFsttttxtt)(,(0()()()()(0101 (*)的连续解。反之,(*)的连续解也就是初值问题(8)的解。常微分方程课后答案 证明:若)(t就是(*)的唯一解 则由非齐线性方程组的求解公式 ttdsssFstttt0)(,()()()()()(101 即(*)的解满足(*)反之,若)(t就是(*)的解,则有 ttdsssFstttt0)(,()()()()()(101 两边对 t 求导:)(,()()()(,()(,()()()()()(,()(,()()()()(,()()()(,()()()()()(0101010110101t
22、tFttAttFdsssFstttAttFdsssFsttttFttdsssFsttttttt 即(*)的解就是(*)的解 习题 5、3 1、假设 A 就是 nn 矩阵,试证:a)对任意常数1c、2c都有 exp(1cA+2cA)=exp1cAexp2cA b)对任意整数 k,都有(expA)k=expkA (当 k就是负整数时,规定(expA)k(expA)1k)证明:a)(1cA)(2cA)(2cA)(1cA)exp(1cA+2cA)=exp1cAexp2cA b)k0 时,(expA)kexpAexpAexpA exp(A+A+A)expkA k0 (expA)k(expA)1k=exp
23、(-A)k=exp(-A)exp(-A)exp(-A)常微分方程课后答案 exp(-A)(-k)expkA 故k,都有(expA)k=expkA 2、试证:如果)(t就是x=Ax 满足初始条件)(0t的解,那么)(texpA(t-t0)证明:由定理 8 可知)(t(t)-1(t0)(t)ttdssfs0)()(1-又因为(t)=expAt,-1(t0)=(expAt0)-1=exp(-At0),f(s)=0,又因为矩阵(At)(-At0)=(-At0)(At)所以)(texpA(t-t0)3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量 a)3421 b)244354332 c)102111121
24、d)6116100010 解:a)det(EA)=3421=(5)(+1)=0 1=5,2=1 对应于1=5 的特征向量 u=2,(0)对应于2=1 的特征向量 v=,(0)b)det(EA)=(+1)(+2)(2)0 11,22,32 对应于11 的特征向量 u1011,(0)常微分方程课后答案 对应于22 的特征向量 u2111,(0)对应于32 的特征向量 u3110,(0)c)det(EA)=102111121(+1)2(3)0 11(二重),23 对应于11(二重)的特征向量 u221,(0)对应于23 的特征向量 v212,(0)d)det(EA)=61161001=(+3)(+1
25、)(+2)=0 11,22,33 对应于11 的特征向量 u1111,(0)对应于22 的特征向量 u2421,(0)对应于33 的特征向量 u3931,(0)4、试求方程组x=Ax 的一个基解矩阵,并计算 expAt,其中 A 为:a)2112 b)3421 常微分方程课后答案 c)244354332 d)115118301 解:a)det(EA)=0 得13,23 对应于1的特征向量为 u 321,(0)对应于2的特征向量为 v 321,(0)u 321,v 321就是对应于1,2的两个线性无关的特征向量(t)=tttteeee3333)32()32(就是一个基解矩阵 ExpAt=tttt
26、tttteeeeeeee33333333)32()32()32()32(321 b)由 det(EA)=0 得15,21 解得 u21,v 11就是对应于1,2的两个线性无关的特征向量 则基解矩阵为(t)tttteeee552(0)1211 1(0)31323131 则 expAt(t)1(0)tttttttteeeeeeee5555222231 c)由 det(EA)=0 得12,22,31 解得基解矩阵(t)0022222ttttttteeeeeee 常微分方程课后答案 1(0)110011111 则 expAt(t)1(0)ttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeee
27、ee2222222222222 d)由 det(EA)=0 得13,227,327 解得基解矩阵(t)ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(337137143574357473 则 expAt(t)1(0)ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(39722697226973297281229728122975637423742378741 5、试求方程组x=Ax 的基解矩阵,并求满足初始条件)()0(t的解 001102111121)720115118301)333421)AcAbAa 解:a)由
28、第 4 题(b)知,基解矩阵为tttteeee552 233 所以1,2 常微分方程课后答案 tttteeeet5542)(b)由第 4 题(d)知,基解矩阵为 (t)ttttttttteeeeeeeee)72()72(3)72()72(3)72()72(337137143574357473 所以 ttttttttteeeeeeeeet)72()72(3)72()72(3)72()72(3972217897221789720897146748971467489736437264372643752741)(c)由 3(c)可知,矩阵 A 的特征值为13,21(二重)1对应的特征向量为 u12,u
29、2324 0012324 解得21412121412141214121vv 213)()(vEAtEeEvettt 常微分方程课后答案 tttttteeeeee212141412121333 6、求方程组x=Axf(t)的解)(t:tttfAcetfAbetfAattcos2sin)(,1234,)0()00)(,6116100010,0)0()1)(,3421,11)0()21 解:a)令x=Ax 的基解矩阵为(t)150)1)(5()det()(21，所以AEp 解得(t)tttteeee552,则1(t)ttttteeeee554231 1(0)121131 求得)(t512110352
30、4120355tttttteeeeee b)由 det(EA)=0 得11,22,33 设1对应的特征向量为 v1,则 (1EA)v1=0,得 v10 常微分方程课后答案 取 v1111,同理可得 v2 2121,v33131 则(t)32111131211 从而解得ttttttttttttteeeeteeeeteeeet21474942145432214341)(323232 c)令x=Ax 的基解矩阵为(t)由 det(EA)=0 得11,22 解得对应的基解矩阵为(t)tttteeee2223 1(t)tttteeee22232 从而1(0)2232)1(2)324(sin2cos2)1
31、(3)324(sin2cos)()()()0()0()()(2122121221011ttttteetteettdssfsttt 7、假设 m 不就是矩阵 A 的特征值。试证非齐线性方程组 mtceAxx 有一解形如 mtpet)(其中 c,p 就是常数向量。证:要证mtpet)(就是否为解,就就是能否确定常数向量 p mtmtmtceApepme 常微分方程课后答案 则 p(mEA)c 由于 m 不就是 A 的特征值 故0AmE mEA 存在逆矩阵 那么 pc(mEA)1 这样方程就有形如mtpet)(的解 8、给定方程组 02023 221122111xxxxxxxxx a）试证上面方程组
32、等价于方程组 u=Au,其中 u211321xxxuuu,A=112244010 b）试求 a)中的方程组的基解矩阵 c）试求原方程组满足初始条件 x1(0)=0,x1(0)=1,x2(0)=0 的解。证:a)令231211,xuxuxu 则方程组化为 31223331212211223 uuuxuuuuuxuuxu 即 u u112244010u=Au 反之,设 x1=u1,x1=u2,x2=u3 则方程组化为 21122211121122111222 2244 xxxxxxxxxxxxxxxxx b)由 det(EA)=0 得10,21,32 由02024403213212uuuuuuu
33、得02011u 同理可求得 u2与 u3 常微分方程课后答案 取021,2111,201321vvv 则0212201)(22ttttteeeeet就是一个基解矩阵 c)令231211,xuxuxu,则 化 为 等 价 的 方 程 组 且 初 始 条 件 变 为.0)0(,1)0(,0)0(321uuu而满足此初始条件的解为:tttttAtAteeeeeee1322322101022 于就是根据等价性,满足初始条件的解为式 9、试用拉普拉斯变换法解第 5 题与第 6 题。证明:略。10、求下列初值问题的解:42322111122221211221122111212121)0(,)0(,)0(,
34、)0(0 0)0)0(,1)0(,1)0(02023)0)0(,1)0(10)xxxxxmxxmxcxxxxxxxxxbxxxxa 解:a)根据方程解得1x21,2x21 1x21t1c,2x21t2c 1)0(1 2101c1 1c1 1x21t1 0)0(2 常微分方程课后答案 2102c0 2c0 2x21t 综上:1x21t1 2x21t b)对方程两边取拉普拉斯变换,得 0)()()(21)(0)()()(2)1)(31)(2211221112sXssXsXssXsXssXsXssXssXs解得 21311131)2)(2)(1(2)(2112121411132)2)(2)(1(3)
35、(221sssssssXssssssssX)(31)(1214132)(22221ttttteeteeet c)对方程两边取拉普拉斯变换,得 4422122433244243222311432212212212224322222112ss)(s)()()()()(0)()(0)()(msmmssXmsmsmssXssXssXmssXmsXssXmssXssXmssXs解得即 tmtmtmtmetmmmtmmmetmmmtmmmtetmmmtmmmetmmmtmmmt2421432242143222432421243242112sin)424221(2cos)422142(2sin)424221
36、(2cos)422142()(2sin)422142(2cos)424221(2sin)422142(2cos)424221()(常微分方程课后答案 11、假设 y)(x就是二阶常系数线性微分方程初值问题 1)0(,0)0(0 yybyayy 的解,试证xdttftxy0)()(就是方程 )(xfbyayy 的解,这里 f(x)为已知连续函数。证明:ydttftxx)()(0 y dttftxdttftxxfxx)()()()()()0(00)()()()()0()()(00 xfdttftxxfdttftxyxnxn dttftxbdttftxaxfdttftxbyayyxxx)()()()
37、()()()(000 )()()()()()()(0 xfxfdttftxbtxbtxatxx 习题 6、3 1.试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态 (1)32(4/1)1(yxydtdyyxxdtdx 解:由0)32(4/10)1(yxyyxx得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)对于奇点(0,0),A=2/1001 由AE=0 得1=10,2=1/20 所以不稳定 对于奇点(0,2),令 X=x,Y=y-2,则 A=2/12/301 得1=-1,2=-1/2 所以渐进稳定 同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定 对于奇点(1/2,1/2),驻
38、定解渐进不稳定 常微分方程课后答案(2)yxxyyxdtdyxyyxdtdx2245665469 解:由045660546922yxxyyxxyyx 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)对于奇点(0,0)可知不稳定 对于奇点(1,2)可知不稳定 对于奇点(2,1)可知渐进稳定(3)0),(2xyxdtdyydtdx 解:由0,0)(02xyxy得奇点(0,0),(-1/,0)对于奇点(0,0)驻定解不稳定 对于奇点(-1/,0)得驻定解不稳定(4)3/22)(322xyxxyyxydtdyxydtdx 解:由0)3/22)(0322xyxxyyxyxy得奇点(0,0),(1,1)对于奇点(0,0)得驻定解不稳定 对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定 2.研究下列纺车零解的稳定性(1)0652233xdtdxxxdtddtd 解:a0=10,a1=50,a2=60 611520 a3=10 所以零解渐进稳定(2)(,为常数xzdtdzzydtdyyxdtdx 解:A=011001 由AE=0 得01333223 常微分方程课后答案 得1=1,2=i2321 i)+1/20 即0 即-1/2不稳定 iii)+1/2=0 即=-1/2稳定