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1、文科数学（二）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（全国通用）三角函数与恒等变换考点202020212022分值题型三角函数与恒等变换I卷：三角函数图象与周期；II卷：恒等变换（二倍角）；III卷：恒等变换（两角和差公式）。甲：恒等变换（二倍角）；三角函数图象与性质；乙：三角函数周期与最值；恒等变换（二倍角）甲：三角形函数平移与轴对称；5选择题/主观题从内容上看：1）以三角函数的定义，同角三角函数的基本关系和诱导公式作为工具考查三角恒等变形；2）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查。从形式上看：三角函数与恒等变换主要还是选填题为主。2023年高考中三角函数的考查重点是三
2、角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下。1、从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，把解决问题的方法技巧进行归纳、 整理，达到举一反三、触类旁通。2、三角函数求值的两种类型
3、：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3、三角恒等变形时，要注意三看：角、名、形角：观察角之间的关系，如()等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。名：观察三角函数的名称之间的关系，如sin，cos，tan的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。形：观察已知与未
4、知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。典例1（2022全国统考高考真题）若，则（）A B C D典例2（2022全国统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD典例3（2021北京统考高考真题）函数是A奇函数，且最大值为2B偶函数，且最大值为2C奇函数，且最大值为D偶函数，且最大值为典例4（2021全国高考真题）若，则（）ABCD典例5（2022全国统考高考真题）记函数的最小正周期为T若，且的图象关于点中心对称，则（）A1BCD3典例6（2022天津统考高考真题）已知，关于该
5、函数有下列四个说法：的最小正周期为； 在上单调递增；当时，的取值范围为；的图象可由的图象向左平移个单位长度得到以上四个说法中，正确的个数为（）ABCD典例7（2022全国统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）ABCD1（2023四川宜宾统考模拟预测）四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，则（）A1BCD2（2023西藏拉萨统考一模）已知，满足，则（）ABCD4（2023河南郑州统考一模）已知，则的值为（）ABCD5（2023山东沂水县第一中学校联考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（）ABCD6（2023江西南昌校联考模拟预测）正割（
6、Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在三角学中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法：的定义域为；的最小正周期为；的值域为；图象的对称轴为直线.其中所有正确说法的序号为（）A B C D7（2023湖北荆州中学校联考二模）已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）ABCD8（2023湖南常德统考一模）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则的值为（）ABCD9（2023新疆校联考二模）若函数在区间上的三个零点为，且
7、，且，则下列结论：（）的最小正周期为；在区间有3个极值点；在区间上单调递增；为函数离原点最近的对称中心其中正确结论的个数为（）A0B1C2D310（2023安徽校联考二模）已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）ABCD1已知，则（）AB1CD2将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（）A1B2C3D43关于函数有下述四个结论：不是偶函数；在区间上单调递增；的最小正周期为；的值域为其中，所有正确结论的序号是（）ABCD4已知函数，则下列说法不正确的是（）A在区间上单调递增B的最
8、小正周期为C的值域为D的图象可以由函数的图象，先向左平移个单位，再向上平移个单位得到解三角形考点202020212022分值题型解三角形I卷：解三角形（选填）II卷：解三角形（解答）III卷：解三角形（选填）甲：解三角形（选填）乙：解三角形（选填）甲：解三角形（选填）乙：解三角形（解答）5-12选填题/解答题解三角形既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数和平面向量知识考查的重要载体，同时也是解决三角形中的计算问题以及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。从内容上看：1主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学
9、生利用三角函数公式处理问题的能力。从形式上看：解三角形既有解答题的考查，也有选填题的考查。2023年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题；若考解答题，主要放在第17题位置，为中档题，若为选（填）题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题.1、利用正、余弦定理解决平面几何问题的一般思路1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解。2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性
10、质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。2、解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大。3.判断三角形的形状主要从两个角度考虑（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用AB
11、C这个结论。无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，避免漏掉一些可能情况。解题时注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制。 4.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”（1）先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；（2）再活用正、余弦定理对边、角进行互化.典例1（2022全国统考高考真题）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_典例2（2021全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_典例3（2020全国统考高考真题）如图，在三棱锥PABC的平
12、面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.典例4（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知(1)求的面积；(2)若，求b典例5（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知(1)若，求C；(2)证明：典例6（2022全国统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长典例7（2022全国统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B； (2)求的最小值典例8（2021全国统考高考真题）在中，角、所对的边
13、长分别为、，.（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由1（2023江西九江校联考模拟预测）在锐角中，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（）A4B2C1D2（2023广西南宁统考二模）已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，若.则角A的取值范围是（）ABCD3（2023河南郑州统考二模）已知在非 中，且，则ABC的面积为（）A1BC2D34（2023浙江统考二模）喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，米，在点处测得酒店顶端的仰角，则酒店的高度约是（）（参
14、考数据：，）A91米B101米C111米D121米5（2023四川成都校考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且ABC的面积为，则ABC周长的最小值为（）AB6CD6（2023河南洛阳市第三中学校联考模拟预测）某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD的交点在四边形ABCD的内部固定杆BC的长度为，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45，AD的长度是CD的长度的倍如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为_7（2023湖南长沙湖南师大附中校考一
15、模）在中，角的对边分别为，已知，且.(1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围.8（2023云南红河统考二模）记的内角，的对边分别为，已知(1)证明：；(2)求的最大值9（2023河北张家口统考二模）在锐角中，角所对的边分别为，若.(1)求；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.10（2023河北邯郸统考二模）已知条件：；.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，所对的边分别为，满足：_.(1)求角的大小；(2)若，与的平分线交于点，求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分1已知在中，角的对边分别为，且满足，则的面积为_.2在中，角A，
16、B，C的对边分别为a，b，c，(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积条件：；条件：；条件：的周长为93已知的内角的对边分别为.(1)若，求的值；(2)是否存在以为直角顶点的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.数列考点202020212022分值题型数列I卷：数列（等比）；数列（递推式）；II卷：数列（新定义）；数列（等差数列）；III卷：数列（解答）；甲：数列（解答）乙：数列（解答）甲：数列（等比数列）；乙：数列（解答）10-12分选择题/主观题从内容上看：通项与前n项和的关系；通项与递推式的关系；数列的单调性、周期性等；.等差数列、等
17、比数列的判断；等差（比）数列的基本运算。从形式上看：数列既有解答题的考查，也有选填题的考查。2023年高考中数列预计还是考查等差（等比）数列的相关计算、递推式求通项、数列求和、最值等；同时关注与不等式、函数等的交汇问题。1、解决等差（比）数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等差（比）数列中有五个量a1，n，d（q），an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d（q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外等差（比）数列在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算2、证明等差（比）数列的用方法：证明
18、一个数列为等差（比）数列常用定义法与等差（比）中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等差（比）数列，则只要证明存在连续三项不成等差（比）数列即可3、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm4、常见数列求和的类型1）分组转化法求和的常见类型（1）若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和（2）通项公式为an的数列，其中数列bn，c
19、n是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和2）错位相减法求和时两个注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解3）裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧：（3）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系
20、数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等典例1（2022浙江统考高考真题）已知数列满足，则（）ABCD典例2（2022全国统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，则（）A14B12C6D3典例3（2022全国统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，依此类推，其中则（）ABCD典例4（2022全国统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数典例5（2022全国统考高考真题）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)
21、若成等比数列，求的最小值典例6（2021全国统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值典例7（2021全国统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：典例8（2021全国统考高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.1（2023海南海口校联考模拟预测）大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数
22、列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记此数列为，则（）A650B1050C2550D50502（2023山西统考二模）已知等比数列的前项和，满足，则（）A16B32C81D2433（2023安徽滁州校考一模）小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.ABCD4（2023河南安阳统考二模）如果有穷数列，（m为正整数）满足条件，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”例如，数列8，4，2，是“倒序等积数列”已知是80项的“倒序等积数列”，且，是公比为2，的等比数列，设
23、数列的前n项和为，则（）A210B445C780D12255（2023江西九江校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则_.6（2023北京石景山统考一模）项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：若，则；若，则满足条件的数列有4个；存在的数列；所有满足条件的数列中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_.7（2023广西南宁统考二模）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.8（202
24、3湖北荆门市龙泉中学校联考二模）已知数列的前n项和为，(1)证明：数列是等差数列；(2)若（1）中数列满足，令，记，证明9（2023全国校联考三模）已知数列满足，(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)设的前项和为，证明：数列的前n项和小于10（2023江苏校考二模）在等差数列中，为的前n项和，数列满足(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和11（2023河北邯郸统考二模）已知数列中，记数列的前项的乘积为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.1写出一个具有下列性质的数列的通项公式_；数列的前n项和存在最小值2设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数
25、列(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：3 已知数列的前项和为，(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：空间几何体考点202020212022分值题型空间几何体I卷：正四棱锥的相关计算；多面体的外接球II卷：多面体的外接球III卷：三视图+多面体表面积；圆锥的内切球甲：三视图；圆锥的体积、面积乙：三视图甲：几何体表面积和体积（圆锥）；三视图+多面体体积乙：四棱锥的体积（最值）；5-10分选择题/主观题从内容上看：空间几何体的三视图、表面积和体积，与球有关的切、接问题等。从形式上看：空间几何体主要以选择题和填空题的形式出现，难度中等。2023年高考中空间几何体预
26、计还是以三视图为背景考查几何体的表面积或体积，多面体的外接球、内切球等，同时关注几何体的最值问题和围绕三视图、折叠图及非规则组合体方面会进一步探索，创新命题设计。1、三视图与几何体的面积、体积三视图与几何体的面积、体积主要考向有：1）三视图与几何体的面积问题：解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系；2）三视图与几何体的体积问题：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.2、几何体的表面积（体积）问题的常见类型及解题策略：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解（2）若所给定
27、的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则
28、的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积3、球面几何的解题技巧：1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2）球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为31；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均
29、相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.4、几何体的面积与体积中最值（范围）问题几何体的面积与体积中最值（范围）问题求解思路主要有：1）立体几何基本问题，利用几何体的特征或点线面的位置关系；2）与不等式的交汇问题，应用基本不等式；3）与函数、导数的交汇问题，应用函数的单调性
30、；4）实际应用中的面积、体积问题，除结合实际背景外，可利用上述方法求解.典例1（2022天津统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A23B24C26D27典例2（2022全国统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD典例3（2022全国统考高考真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D20典例4（2022全国统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等
31、，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则（）ABCD典例5（2022全国统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）ABCD典例6（2022全国统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD典例7（2022全国统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从
32、海拔上升到时，增加的水量约为（）（）ABCD1（2023黑龙江哈尔滨校考二模）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（）A B C D2（2023广东茂名统考二模）如图所示，正三棱锥，底面边长为2，点到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（）A B C D3（2023广东深圳统考二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（）ABCD4（2023广西玉林统考三模）在正四棱柱中，
33、为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（）ABCD5（2023广东佛山统考二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（）（参考数据：，）ABCD6（2023甘肃统考
34、二模）刘徽的九章算术注中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的如图所示的三视图是一个鳖臑的三视图，则其分割前的长方体的体积为（）A2B4C12D247（2023重庆九龙坡统考二模）已知三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，.若球M的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（）ABCD328（2023湖南益阳统考模拟预测）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等
35、边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（）ABCD9（2023陕西西安西北工业大学附属中学校考模拟预测）中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹据格古要论载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为（）AB6CD1
36、0（2023辽宁校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，过点作截面，则周长的最小值为（）ABCD11（2023四川绵阳校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，M是线段AB上一点，且过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则_12（2023陕西统考一模）表面积为100的球面上有四点SABC，ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若面SAB面ABC，则棱锥体积的最大值为_.1如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A2BCD42如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法不正确的是（）
37、A若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为 B的周长最小值为C如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为32022年12月7日为该年第21个节气“大雪”“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型，设M为的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为_平方分米4在三棱锥中，两两垂直，为棱 上一点，于点，则面积的最大值为
38、_；此时，三棱锥 的外接球表面积为_ 空间几何考点202020212022分值题型空间几何I卷：面面垂直+多面体体积；II卷：空间线面关系；面面垂直+多面体体积III卷：线线垂直+点在面内甲：线线垂直+多面体体积；乙：异面直线的夹角；面面垂直+多面体体积甲：线面角；线面平行+多面体体积乙：面面平行、垂直；面面垂直+多面体体积12分选择题/主观题在命题形式上，遵循稳中有变，不断创新(如动态变化、存在性问题、探索性问题等)；在求解方法上，突出多角度观察，多方位思考，充分彰显空间三维问题平面化、几何问题代数化和立体几何问题向量化的特色。从内容上看：选填题主要考查异面直线、线面角的计算，解答题以垂直(
39、平行)论证为核心，再辅以体积和高的计算。从形式上看：解答题必考，选填题也有相应的考查，其中选填题注重几何图形构图的想象和辨识。 2023年高考中空间几何预计主要以直线与平面以及平面与平面平行（垂直）的判定和性质，常出现在解答题的第（1）问中，难度中等；利用等体积法求空间距离，难度中等。异面直线所成的角主要以角的计算或角的函数值计算，处理方法有“平移法”和“空间向量方法”.1、空间几何中的动态问题：空间几何的动态问题,较好地体现了平面向空间转化的各种线线,线面位置关系,成了高考命题的热点,备受命题者推崇。立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些
40、证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别。处理此类问题的关键是熟练掌握立体几何中的点线面垂直平行异面的关系，找到与包含未知点的量和已知量之间的等量关系或不等关系即可，总体来说难度不大，如果找不出，直接建系来处理即可。2、求点到平面的距离问题：采用等体积法。3、空间平行、垂直关系的探索性问题(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索
41、点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点典例1（2021浙江统考高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A直线与直线垂直，直线平面 B直线与直线平行，直线平面C直线与直线相交，直线平面 D直线与直线异面，直线平面典例2（2021全国统考高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）ABCD典例3（2022全国统考高考真题）如图，四面体中，E为AC的中点(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积典例4（2022全国统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（
42、单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）典例5（2021全国高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.典例6（2021全国统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积典例7（2020全国统考高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，证明：（1）当时，；（2）点在平面内典例8（2020全国统考高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，APC=90（1）证明：平面PA