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1、理科数学（四）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（全国通用） 概率与分布列考点透视考点透视考点透视 概率与分布列再高考中，是一道选填，一道大题，大题是和回归直线、独立检验等题型轮换出。分布列在新课标全国卷中大多数时间属于中等难度题，在2019年试卷中是出现在压轴题的位置。最近家，逐渐侧重于常规难度，更加注重对概念和公式应用的基本思想的考察。高考在概率与分布列题型中，主要考察离散型随机变量的分布列、期望与方差的计算求解，考察随机书剑的概率，等可能事件的概率，互斥事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，考察独立重复试验。考察抽样，考察用随机抽样、系统抽样与分层抽样从总体中抽取样本，能使用样本分
2、布频率估计总体分布，了解正态分布的意义及性质。满分技巧1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差2二项分布的均值、方差若XB(n，p)，则EXnp，DXnp(1p)3两点分布的均值、方差若X服从两点分布，则EXp(p为成功概率)，DXp(1p)4离散型随机变量均值与方差的性质E(aXb)aE
3、(X)b，D(aXb)a2D(X) (a，b为常数)3相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)P(A)P(B)，则称A、B相互独立(2)如果A、B相互独立，则A与、与B、与也相互独立(3)如果A1，A2，An相互独立，则有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)4二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(Xk)CPkqnk，其中k0，1，2，3，n，q1P.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01knPCP0qnCP1qn1CPkqnkCPnq0由于CPkqnk恰好是二项展开式(Pq)nCP0qnCP1
4、qn1CPkqnkCPnq0中的第k1项(k0，1，2，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作XB(n，P)5二项分布特点(1)每次试验只有两个相互对立的结果：“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为P，“失败”的概率均为1P；(3)各次试验是相互独立的6独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，用Ai(i1，2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An)真题回顾 真题回顾 1（2022全国统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且记该棋手连胜两
5、盘的概率为p，则（）Ap与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为则则即，则该棋手在第
6、二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2（2018全国高考真题）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则Ap1=p2Bp1=p3Cp2=p3Dp1=p2+p3【答案】A【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的
7、面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p1，p2，p3的关系，从而求得结果.【详解】设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为，其余部分的面积为，所以有，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.3（2022全国统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为_【答案】.【分析】根据古典概型的概率公式即可求出【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个
8、结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率故答案为：4（2022全国统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_【答案】/0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答
9、案为：5（2019全国高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X
10、（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，；则的分布列如下：（2），（i）即整理可得：
11、是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.6（2021全国统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生
12、物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）.（2）设，因为，故，若，则，故.，因为，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且，而
13、当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.7（2019江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率P
14、（Xn）（用n表示）.【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论.，.，.，.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定的值.【详解】（1）当时，的所有可能取值是的概率分布为，（2）设和是从中取出的两个点因为，所以仅需考虑的情况若，则，不存在的取法；若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；若，则，因为当时，所以当且仅当，此时或，有2种取法；若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法综上，当时，的所有可能取值是和，且因此，【点睛】本题主要
15、考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力名校预测1（2023广东揭阳普宁市华侨中学校考二模）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）ABCD【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共个，前3个数字保持递
16、减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有个，所以所求的概率故选：A2（2023山东校联考模拟预测）为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲乙丙丁戊共五名学生担任冰球冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）ABCD【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合排列和组合的定义进行求解即可.【详解】所有的安排方法，若只有1人
17、去冰球项目做志愿者，有；若恰有2人去冰球项目做志愿者，有；若有3人去冰球项目做志愿者，有，所以共有种安排法，所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为.故选：B【点睛】关键点睛：运用排列和组合的知识求出所有的安排方法数是解题的关键.3（2023全国模拟预测）某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.(1)求的分布列；(2)记随机变量.已知，；
18、（）证明：，；（）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.【答案】(1)分布列见解析(2)（）证明见解析；（），【分析】（1）根据条件，判断服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列即可求出结果；（2）（）直接利用均值和方差的性质即可证明结果；（）先利用第（）中的结论，求出，再结合条件建立方程组，从而求出结果.【详解】（1）依题意，均服从完全相同的超几何分布，故的分布列为.（2）（）由题可知，故，（）由（）可知的均值先计算的方差所以依题意有解得，所以可以估计，【点睛】本题的关键在于利用超几何分布的分布列、均值和期望.4（2023江西校联考
19、模拟预测）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记
20、设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.（i）请用表示；（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.【答案】(1)分布列见解析，(2)（i），（ii）答案见解析【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion求出设备升级后单位时间内的利润，即为；（ii）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且
21、正常工作的概率均为，所以，所以，所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为0123控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，；（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为产量0设备运行概率所以升级改造后单位时间内产量的期望为；所以产品类型高端产品一般产品产量（单位：件）利润（单位：元）21设备升级后单位时间内的利润为，即；（ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为；所以，则，所以当时
22、，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当时，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键.5（2023辽宁大连统考一模）国学小组有编号为1，2，3，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛
23、；若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结枣；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；(2)若把比赛规则改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束求随机变量的分布列；证明：单调递增，且小于3【答案】(1)分布列见解析(2)分布列见解析 ；证明见解析【分析】（1）由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值
24、对应的概率，即可得分布列；（2）应用二项分布概率公式求取值1，2，对应概率，即可得分布列；由分布列得（，），定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论.【详解】（1）由题设，可取值为1，2，3，因此的分布列为123（2）可取值为1，2，每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，所以时，；当时，故的分布列为：123由知：（，），故单调递增；由上得，故，故6（2023湖北襄阳襄阳四中校考模拟预测）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不
25、同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传
26、因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：
27、，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，（）证明是等差数列；（）求，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？【答案】（1），（或），的概率分别是，；（2），；（3）（）证明见解析；（）；越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.【分析】（1）根据上代父本、母本的遗传性状都是可得基本事件的总数，由古典概型的概率公式可得所求的概率.（2）根据独立事件的概率计算方法可求，.（3）根据，的定义可得三者与的关系，结合给定的，可得，两边取倒数后利用等差数列的定义可判断是等差数列由此求出的通项，从而可求，的通项公式.【详解】解析：（1）因为上代父
28、本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，共4种，故，（或），的概率分别是，.（2）由题可得，；（3）由（2）知，则，是公差为1的等差数列：，其中，于是，对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.【点睛】本题考查古典概型、独立性事件在遗传学中的应用，其中在概率计算的过程中还涉及到递推数列通项的求法、等差数列的证明等，本题的关键是根据所给材料弄清各概率之间的数列关系.7（2023河北承德统考模拟预测）某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男
29、生的概率是，则_.【答案】【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数.【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种；第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：男男男：种；女男男：种；男女男：种；女女男：种；所以，第三次取出为男生的方法数：，综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率，所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率，则，即，可得.故答案为：【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键.名师押
30、题1超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究
31、竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；（2）若P与抗生素计量相关，其中，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有. （i）证明：为等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，【答案】（1）（且
32、）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.【分析】（1）根据检验方式可知，的取值只为，易求得，而的可能取值为，再分别求出对应概率即可得到，列出等式即可解出；（2）（i）先根据关系式赋值，归纳猜出，再根据数学归纳法证明即可；（ii）依题可知，解不等式， ，构造函数（），由其单调性即可求出的最大值【详解】（1）当进行逐份检验时，；当进行混合检验时， 则 ， 则，即（且）. （2）（i）当时，有 则猜想： 下面用数学归纳法进行证明：当时，满足假设当时， 则当时， 设（且），则 整理可得： 或（舍去） 由可得：对一切都成立.即为等比数列.（ii）依题可知： 由（1）可知： 令（），则 所以在上单调递增，
33、在上单调递减， 则k的最大值为8.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的数学期望的求法，数学归纳法的应用，以及利用导数解不等式，意在考查学生的数学抽象能力，数学运算能力，逻辑推理能力，属于难题2某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘察了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用勘探初期数据资料见如表：井号坐标钻探深度出油量(1)号旧井位置线性分布，借助前组数据求得回归直线方程为，求的值，并估计的预报值；(2)现准备勘探
34、新井，若通过，号井计算出，的值（，精确到）相比与（）中的，值之差不超过，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？(3)设出油量与勘探深度的比值不低于的勘探井为优质井，那么在原有口井中任意勘探口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望（参考公式和计算结果，）【答案】(1)；的预报值为；(2)使用位置最接近的已有旧井；(3)分布列见解析；.【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程，进而求得的预报值；（2）计算、，利用参考公式与计算结果求出回归系数，的值，由此求得相比于（）中的，值之差不超过，从而得出结论；（3）根据题意判断得服从超几何分布，从而求得对应的概率值，由
35、此得到的分布列与数学期望【详解】（1）依题意，由前组数据得到，因为，所以，故回归直线方程为，当时，所以的预报值为（2）因为，因为，所以，故，则，所以，均不超过，所以使用位置最接近的已有旧井（3）由题意得，这口井是优质井，这两口井是非优质井，所以勘察优质井数的可能取值为，且服从超几何分布，即，所以，所以的分布列为：故【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为.3某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于2055之间，现将所有分数情况分为20，25），
36、25，30），30，35），35，40），40，45），45，50），50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m2n，30，35）这组的参加者是12人（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；（2）组织者从35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为X求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；求随机变量X的数学期望E（X）关
37、于n的表达式【答案】（1），中位数为；（2）分布列见详解，；.【分析】（1）根据各组频率之和为1以及m2n，简单计算可得，然后计算前三组的频率和可得中位数.（2）列出的所有可能结果并求得相应概率，然后列出分布列根据期望公式可得结果.设且，可得，然后计算的分布列，得到，最后根据拼凑法计算以及等比数列的定义通项公式可得结果.【详解】（1）由题可知：由，所以可知中位数为（2）由题可知：这组人数有：，其中女生5名，男生3名随机变量X1的所有可能结果为3，4所以所以的分布列为数学期望设，则，所以的分布列为345678所以所以即则所以，又所以【点睛】本题考查概率与等比数列的综合应用，本题第（2）问的第小问
38、，难点在于找到，考查分析问题能力以及逻辑推理能力，属难题. 不等式选讲与参数方程极坐标考点透视考点透视考点透视 全国卷二选一的22题，是参数方程极坐标，属于中等难度题，主要考察极坐标方程与直角坐标方程互化，考察参数方程和普通方程互化，考察简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程应用，理解并能选择适当坐标系表示方程并能应用解决平面曲线问题。题型主要有三种，一种是直线参数方程应用求解长度关系，一种是应用参数方程解决计算曲线上点的距离，一种是应用极坐标系解决过原点的长度计算。要注意消参时变量范围的变化，用直线参数方程式要核对参数方程是否是标准的参数方程。 全国卷二选一的23题，是不等式，考察绝对值
39、不等式，属于中等难度题，考察不等式证明，则相对而言属于比较难的题。要求理解绝对值不等式的解法，会用分析法综合法证明不等式，考察学生解不等式并利用不等式求解最值问题，考察绝对值不等式与函数问题的综合，理解柯西不等式并能用柯西不等式证明一些简单不等式。满分技巧1.注意参数方程消参：（1） 消参，要注意消参前后的范围变化和限制（2） 常见的代数消参和三角函数消参 三角消参常用思维公式：，2. 极坐标体系下的弦长公式极坐标体系下的弦长公式真题回顾 真题回顾 1（2022全国统考高考真题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极
40、点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标【答案】(1)；(2)的交点坐标为，的交点坐标为，【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出【详解】（1）因为，所以，即的普通方程为（2）因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标为，2（2022全国统考高考真题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围
41、【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【详解】（1）因为l：，所以，又因为，所以化简为，整理得l的直角坐标方程：（2）方法一：【最优解】参数方程联立l与C的方程，即将，代入中，可得，化简为，要使l与C有公共点，则有解，令，则，令，对称轴为，开口向上，即m的取值范围为.方法二：直角坐标方程由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，联立，得，即，即有，即，的取值范围是【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；方法二：通过消参转化为直
42、线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错 3（2022全国统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）方法一：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以.方法二：基本不等式由， ，当且仅当时，取等号，所以.（2）证明：因为，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】（1）方法一：利用柯西
43、不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法4（2021全国统考高考真题）已知函数（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）方法一：绝对值的几何意义法当时，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.方法二【最优解】：零点分段求解法当时，当时，解得；当时，无解；当时，解得综上，的解集为（2）方法一：绝对值不等式的性质法求最小值依题意，即恒成立，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.方法二【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值