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1、理科数学（三）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（全国通用） 椭圆、双曲线、抛物线考点透视考点透视考点透视 椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重点模块，是高中数学的核心内容，对于圆锥曲线的考察，是高考数学的主干之一，主要考察三类曲线的定义、标准方程、集合性质及综合运用。高考试题一般是选填各一道，大题一道的固定名题模式，在历年高考试卷中是题型稳定，选填小题是常规方程及几何性质特征的考察，题目的综合性、综合难度及计算难度跨度大，既涉及到基础知识、基础思想方法的教学，还有计算能力和综合运用的能力要求。三大圆锥曲线及到数形结合的思想，考察图像直观展现的特点，可以直观判断相关几何特征，利用代数关系精确
2、分析，又可以严谨证明相关几何特征.数形结合使解题的思路更为灵活快捷，尤其对于比较复杂的情景，更要有简化计算量，提高解题效率的能力。因此对于逻辑推理能力的要求高。满分技巧一、椭圆有关知识：(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1| PF2|2a，|F1F2|2c且a c (其中a0，c0，且a，c为常数)(2)椭圆标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B
3、2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2二双曲线有关知识(1)双曲线定义：动点P满足：|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c且ac (其中a，c为常数且a0，c0).(2)双曲线标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1 (a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴实轴|A1A2|2a；虚轴|B1B2|2b；a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)三抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|
4、PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下四、重要公式(1)弦长公式：|AB|x1x2|y1y2|； (2)韦达定理：x1x2，x1x2.五、椭圆结论：(1)如图1：焦点F1AF2周长CF1AF22a2c、面积SF1AF2b2tan ；ABF2的周长为：CABF24a；通径：|AC| (椭圆、双曲线通用)；图
5、1(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：动点角范围：0A1PA2A1BA2；焦半径范围：ac|PF1|ac (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；|PO|范围：b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近； 斜率：kPA1kPA2.(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：图2点P在椭圆内1.(4)椭圆扁平程度：因为e，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆六双曲线结论：(1)如图3：动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小|A2F2|ca；焦点到渐近线的距离为：|F2M|b；(2)渐近线求法结论：可直接令方程(0)等号右边的常数为0，化简解得；图3七抛物线结论：如图4：抛物线y
6、22px(p0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：焦半径：|AF|AD|x1，|BF|BC|x2 (随焦点位置变动而改变)；焦点弦：|AB|x1x2p (其中，为直线AB的倾斜角)；焦半径公式得：，(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2 (随焦点动而变)；图4(3)其他结论：SOAB(其中，为直线AB的倾斜角)；以AB为直径的圆必与准线相切于点H真题回顾 真题回顾 1（2022全国统考高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点若，则C的方程为（）ABCD【答案】B【分析】根据离心
7、率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.2（2021天津统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（）ABC2D3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心
8、率.故选：A.3（2017全国高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10【答案】A【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为
9、，则，则，所以.4（2020全国统考高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A圆B椭圆C抛物线D直线【答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5（2017山东高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线 交于两点，若，则该双曲线的渐近线
10、方程为_.【答案】【详解】 ，因为 ，所以渐近线方程为.【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理6（2019全国高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为
11、_【答案】2.【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题7（2015浙江高考真题）椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 【答案】【分析】设，利用对称知识，结合椭圆方程得出椭圆中a，b，c，之间的关系，再由，离心率为，及可求出离心率.【详解】设关于直线的对称点为，则有线段的中点坐标为，且直线
12、与直线垂直，所以有，解得，所以在椭圆上，即有，又，可得，可得，所以，即，因为，所以，解得.名校预测1（2022陕西西安西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（）ABCD【答案】A【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线
13、离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.2（2023广东汕头金山中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为，则直线，联立方程，消去y得：，则可得，则，设线段的中点，则，即，且，线段的中垂线的斜率为，则线段的中垂线所在直线方程为
14、，令，则，解得，即，则，由题意可得：，即，整理得，则，注意到双曲线的离心率，双曲线的离心率取值范围是.故选：A.【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值（或范围）3（2022天津北辰天津市第四十七中学校考模拟预测）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为ABCD【答案】B【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|， |PA|=
15、m|PN|，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1，P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB=2（1）， 双曲线的离心率为故选B点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.4（2023江西吉安统考一模）椭圆的内接四边形的对角线交于点，满足，若直线的斜率为，则椭圆的离心率等于（）ABCD【答案】B【
16、分析】设出点，由已知求出，利用两点在椭圆上，化简计算解出直线的方程，可得直线的斜率，解方程求出离心率【详解】设点，且，可得，即，解得，由两点在椭圆上，有，得：，即，同理可得，因此，直线的方程为，从而直线的斜率为，由，可得故选：B5（2016浙江温州统考一模）如图，已知分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】由同起点的向量做加法想到平行四边形法则，从而取的中点E，由已知可知，由三线合一知三角形为等腰三角形，再由余弦的定义表示的余弦值，又由双曲线的定义表示，最后在中，由余弦定理构建方程，求得，将其代入渐
17、近线方程，得答案.【详解】取线段的中点E，连接，因为，所以，故三角形为等腰三角形，且在中，连接，又，点Q在双曲线C上，所以由双曲线的定义可得，故在中，由余弦定理得，整理可得，所以，故双曲线C的渐近线方程为故选：B【点睛】本题考查由几何关系求双曲线的渐近线，由余弦定理构建方程，还考查了平面向量加法的平行四边形法则和垂直关系，属于难题.6（2022广西北海统考一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线的距离少，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，直线，与直线分别相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则直线的斜率为（）A1或B1或2C或2D【答案】A【分析】由条件结合抛
18、物线定义求出抛物线方程，设直线方程，并与抛物线方程联立求出的坐标的关系，再通过联立方程组求出的坐标，结合的坐标的关系列方程求出直线的斜率.【详解】因为抛物线的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少，所以抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，即，所以抛物线的方程为，当直线的斜率为时，直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求，故可设的方程为，联立方程组整理得，方程的判别式，由韦达定理知，直线的方程为，联立方程组所以，因为，所以点的坐标为，同理，因为都在直线上，所以，又由，有，解得或，故直线的斜率为1或故选：A【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与
19、椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式7（2020浙江温州统考模拟预测）已知实数成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为，若点分别是曲线与轴上的动点，则的最小值是（）ABCD【答案】C【分析】由已知得，可得出直线过定点，设直线与曲线相交的一个交点为，设另一个交点为，设，由中点坐标可得出点，代入曲线上，得出在抛物线上运动，由抛物线的定义可得出选项.【详解】因为实数成等差数列，所以，则直线化为，即，所以直线过定点，又点在曲线上，所以直线与曲线相交的一个交点
20、为，设另一个交点为，设，则，又在曲线上，化简得，即在抛物线上运动，设抛物线的焦点为，设，设，则，令，则，又，在上单调递增，所以，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题综合考查直线恒过定点，动点的轨迹方程，抛物线的定义以及两线段长度之和的最值问题，属于难题.8（2023福建宁德统考模拟预测）已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为_.【答案】8【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件 ， ，即 ， ，设 ，由题意： ，则 ， ，即 ，即椭圆C的标准方程为 ， ；设左焦点为F，右焦点为 ，如下图：则 的周
21、长 , ，当 三点共线时等号成立， ，l的得最大值为8；故答案为：8.9（2022湖南校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足 联结，满足 若该双曲线的离心率为，求的值_【答案】【分析】先假设，由得，再由点在双曲线上，得到，进而得到，又由点在渐近线上，得到，平方后将，代入得到齐次方程，求得，再平方即可求得离心率.【详解】不妨设，由得，化简得（1）， 在双曲线上，所以，即， 代入（1）解得，又在渐近线上，即两边平方得（2） 将和代入（2）得化简得，解得，即 化简得故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双
22、曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)10（2023四川德阳统考二模）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线与轴交于点，抛物线的焦点为，若，则的坐标为_.【答案】【分析】设出点坐标，求得切线方程，由此求得点坐标，根据列方程，解方程求得点的坐标.【详解】，设，依题意可知过点的切线斜率存在且不为，设为，则切线方程为，即，由，化简得，故切线方程为，令得，故，依题意，即，由于，故
23、，此时，所以点坐标为.故答案为：【点睛】本题的难点有两个，一个是求过的切线方程，另一个是利用来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.名师押题1已知椭圆的两焦点为，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距，故，故，设直线，则到该直线
24、的距离为，故，如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，则，故，设，故，同理.设的倾斜角为，则，因为，故，所以，所以，同理，故，故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为，短半轴长为，故的轨迹方程为：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.故“当取定值， 是定值”是错误的.又直线的参数方程为：，设，由整理得到：，故，而，故，所以，若为定值，则为定值，而，故当变化时，始终为定值，又故且，但，故，所以，但此时随的变化而变化，不是定值，故“当取定值，是定值”是错误的.故选：D.【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量
25、之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.2设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（）ABCD【答案】C【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.【详解】设为的中点，根据重心性质可得，因为，则，因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，解得，当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题
26、意舍，设直线斜率为，设，所以，因为在双曲线上，所以，两式相减可得：，即，即有成立，即有，因为不共线，即，即，即，所以的离心率的取值范围为，因为，因为，即，所以，所以.故选：C【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：（1）设出点的坐标；（2）根据中点坐标建立等式：，；（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；（4）将，及代入等式中即可得出关系.3已知点F为抛物线的焦点，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（）ABCD【答案】B【分析】由题可
27、知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则，则，解得：，此时，即或所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则，又，则，故渐近线斜率的平方为故选：B4在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为
28、定值，则该定值为_【答案】【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，点M，N在双曲线上，所以，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，y1y2-2 x1x2=0，2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为 点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何
29、性质充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段 圆锥曲线综合大题考点透视考点透视考点透视一般情况下圆锥曲线综合大题是一道压轴位置的大题，每年高考圆锥曲线综合大题是是试卷重点也是试卷难点之一。主要考察直线与圆锥曲线的位置关系，考察圆锥曲线的几何性质及其应用，考察运算能力逻辑推导能力和 分析推理能力计算能力。多从以下几个方面考察：1. 圆锥曲线中的面积问题和弦长问题。面积问题居多，且又与函数的最值、方程等相结合。2. 圆锥曲线与圆相结合的题型。充分利用圆的几何性，圆锥曲线的几何性质质。3. 定点、定值、定直线题型。多求直线方程过定点，也有圆过定点，求某些变量为定值，某些点在某条定制线上。4.
30、最值、参数范围题型5. 轨迹题型6. 存在型问题。满分技巧一、抛物线焦点弦的几个常用结论设是过抛物线的焦点的弦，若，则：（1），；（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，弦长，（为直线的倾斜角）；（3）；（4）以为直径的圆与准线相切；（5）以或为直径的圆与轴相切.二、三大定义（1）椭圆1.A,B是椭圆C:+1 (a0，b0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）结论拓展已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.2.A,B是双曲线C:1 (a0，b0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）结论拓展已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.三、面积
31、几种求法思维圆锥曲线中求面积常规类型（1）(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。四、求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.五、弦长a=tb型1.利用公式，可消去参数2.可以直接借助韦达定理反解消
32、去两根定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）可以利用公式，可消去六、求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.真题回顾 1（2022天津统考高考真
33、题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.【详解】（1）解：，离心率为.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，由可得，由可得，联立可得，故椭圆的标准方
34、程为2（2022浙江统考高考真题）如图，已知椭圆设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【分析】（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值【详解】（1）设是椭圆上任意一点,，当且仅当时取等号，故的最大值是.（2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，因为直线与直线交于,则,同理可得,.则，当且仅当
35、时取等号，故的最小值为.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题3（2022全国统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在上；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而
36、利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由等价转化为，由在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【详解】（1）右焦点为，,渐近线方程为，C的方程为：；（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在且不为零；若选推，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，
37、与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,由,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，,条件等价于，综上所述：条件在上，等价于；条件等价于；条件等价于；选推:由解得：,成立；选推：由解得：，成立；选推：由解得：，成立.4（2022全国统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2
38、)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程【答案】(1)；(2).【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）方法一：【最优解】直线方程横截式设，直线，由可得，由斜率公式可得，直线，代入抛物线方程可得，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直
39、线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.方法二：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设,直线由 得：，,同理，.直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.方法三：三点共线设，设,若 P、M、N三点共线，由所以，化简得，反之，若,可得MN过定点因此，由M、N、F三点共线，得，由M、D、A三点共线，得，由N、D、B三点共线，得，则，AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当
40、最大时，所以直线.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法5（2022全国统考高考真题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标【答案】(1
41、)；(2)的交点坐标为，的交点坐标为，【分析】(1)消去，即可得到的普通方程；(2)将曲线的方程化成普通方程，联立求解即解出【详解】（1）因为，所以，即的普通方程为（2）因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标为，真题回顾 名校预测1.（2023广西校联考模拟预测）已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5，(1)求抛物线的方程；(2)点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义得到，求得，即可得到抛物线的方程；（2）设，组求得，根据，设，联立方程组求得，化
42、简得到，设，得到，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由抛物线，可得准线方程为，因为点到拋物线的准线的距离为，且点的横坐标为，根据抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）解：根据题意，设，联立方程组，解得，所以，因为，可得，即，可设，联立方程组，整理得到，则，所以，即，所以，设，当且仅当时等号成立，则，所以当时，取最小值为2（2023江苏常州江苏省前黄高级中学校考二模）已知椭圆：，点分别是椭圆与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；(2)若，求的面积；(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联