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1、第三章离散系统的时域分析第1页，本讲稿共65页连续系统与离散系统的比较连续系统常系数线性微分方程卷积积分离散系统常系数线性差分方程卷积和第2页，本讲稿共65页 LTI离散系统的响应 单位序列和单位序列响应 卷积和本章要点：第3页，本讲稿共65页 差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程 差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解 零输入响应和零状态响应3.1 LTI离散系统的响应第4页，本讲稿共65页一、差分与差分方程1、前向差分与后向差分 一阶后向差分一阶前向差分第5页，本讲稿共65页2、前向差分与后向差分的关系3、差分方程的一般形式将各阶差分写为y(k
2、)及其各移位序列的线性组合：常系数差分方程，用来描述LTI离散系统；变系数差分方程第6页，本讲稿共65页1、用迭代法求差分方程的数值解差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解当差分方程阶次较低时可以使用此法二、差分方程的解例3.11 若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)第7页，本讲稿共65页 解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得依次迭代可得特点：便于用计算机求解例3.11第8页，本讲稿共65页 若单输
3、入-单输出的LTI系统的激励为f(k),全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，一般可写为：2、差分方程的经典解第9页，本讲稿共65页解由齐次解和特解两部分组成：1）齐次解：齐次方程的解称为齐次解.它的n个根i（i=1,2,n)称为差分方程的特征根令y(k)=Ck第10页，本讲稿共65页 均为单实根时的齐次解：1为r重根，其余(n-r)为特征单根：有一对共轭复根1、2=a+jb Yh(k)=kCcos(k)+Dsin(k)（其中=arctan(b/a)，=(a2+b2)1/2第11页，本讲稿共65页几种典型激励函数相应的特解激励函数f(t)响应函数y(
4、t)的特解第12页，本讲稿共65页选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。3）全解 代入初始条件求出待定系数Ci，于是得到完全解的闭式见书P88第13页，本讲稿共65页 解：方程的特征方程为例3.1-2,若描述某系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解特征根为1 22，为二重根，齐次解为由题意，设特解为第14页，本讲稿共65页 将yp(k)代入到原方程得全解为：将已知条件代入，得C11,C2=1/4自由响应强迫响应第15页，本讲稿共65页1、解形式 零状态响应，仅由激励引起零输入响应，激励为零时的响应三、零状态响应和零输入
5、响应第16页，本讲稿共65页当特征根均为单根时，有：czii 由初始状态决定，czsi由激励决定，且ci=czii+czsi第17页，本讲稿共65页 由于yzs(k)为零状态响应，k0时激励还没有接入，所以有：yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0而，y(k)=yzi(k)+yzs(k)，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n)-系统的初始状态2、求初始值第18页，本讲稿共65页 初始值：y(0),y(1)y(n-1)可由差分方程推出例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为已知f(k)=0,k0,初始条件y(-1)=0,y(-2)=1
6、/2,求零输入响应解：零输入响应满足初始状态：第19页，本讲稿共65页 求初始值差分方程的特征方程为：齐次解为：第20页，本讲稿共65页 将初始值代入得：第21页，本讲稿共65页 作业 P110 3.6(2)(5)第22页，本讲稿共65页3.2 单位序列和单位序列响应 一、离散系统的零状态响应 二、复习离散信号有关知识 三、单位序列和单位阶跃序列 四、单位序列响应和阶跃响应第23页，本讲稿共65页一、离散系统的零状态响应 零状态响应：当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的响应。用yzs(k)表示，满足如下方程：非齐次方程若特征根均为单根，则有Czsj为待定系数，yp(k)为特解。第24
7、页，本讲稿共65页 例3.1-5，若描述离散系统的差分方程为注意：零状态响应的初始状态yzs(-1),yzs(-2),yzs(-n)为零，但其初始值yzs(0)，yzs(1)，yzs(2)，,yzs(n-1)不一定为零。其中，f(k)=2k,k0,求该系统的零状态响应。解：零状态响应满足下一步？第25页，本讲稿共65页 令k=0,1，并将初始状态值代入，得由（1）式可求得解为：方程的特征根为1-1,2-2,所以有：将初始值代入，可求得第26页，本讲稿共65页 小结：一个初始状态不为零的离散系统，在外加激励的作用下，其完全响应为若特征根都为单根，则全响应为：齐次方程解的形式？第27页，本讲稿共6
8、5页二、基本离散信号 定义：连续信号是连续时间变量t 的函数，记为f(t)。离散信号是离散时间变量tk（k 为任意整数）的函数，记为f(tk)。离散信号表示：（a）图形表示：（tkt(k1)）在图a中为变数；在图b，c中为常数第28页，本讲稿共65页（b）解析表示：第29页，本讲稿共65页三、单位序列和单位阶跃序列 1.单位序列（单位脉冲序列或单位样值序列）：位移单位序列：第30页，本讲稿共65页 加：(k)+2(k)3(k)运算：乘：(k)(k)=(k)延时：0取样性质：f(k)(k)=f(0)(k)第31页，本讲稿共65页第32页，本讲稿共65页2.单位阶跃序列：(k)(1)定义：(2)运
9、算：第33页，本讲稿共65页3)(k)与(k)的关系：(k)=(k)=(k)-(k-1)差分表示，对应的微分(t)=d(t)/dt(k)=对应的是连续系统的积分式中，令 i=k-j,则当 i=-时，j=;当 i=k时，j=0,故第34页，本讲稿共65页四、单位序列响应和阶跃响应 单位序列响应 当LTI离散系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应为单位序列响应，用h(k)表示。和连续系统的h(t)相类似。求h(k)的方法：解差分方程；z变换法（第六章）由于(k)仅在k=0时等于1，而在k0时为零，因而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的函数形式相同。因此，求h(k)的问题转化为求差
10、分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。第35页，本讲稿共65页例题 例3.2-1 求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。见书p96第36页，本讲稿共65页（2）h(k)满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(-1)=h(-2)=0(3)求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+(k)h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1(4)k0时,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k)=c1(-1)+c2(2)h(0)=c1+c2=1；h(1)=-c1+2c2=1 得 c1=1/3;c
11、2=2/3所以（1）列写差分方程：y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)第37页，本讲稿共65页 阶跃响应：g(k)1).定义：g(k)=T0,(k)2).h(k)与g(k)的关系：第38页，本讲稿共65页经典法;由h(k)求出 例：同例3.2-1 经典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)g(-1)=g(-2)=0 对k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1 齐次解：gn(k)=c1(-1)k+c2(2)k 特解：gp(k)=p0=-求g(k)的方法g(k)=c1(-1)k+c2(2)k-k0见书P87，表32第39页，本讲稿共65页 g(-1)=-c1+2c2
12、-=0 g(-2)=c1+c2-=0 所以：c1=1/6;c2=4/3 利用h(k)求g(k):g(k)=1/6(-1)k+4/3(2)k-(k)第40页，本讲稿共65页第41页，本讲稿共65页3.3 卷积和1.卷积和的定义:f(t)yzs(t)=h(t)*f(t)(t)h(t)f(k)yzs(k)=h(k)*f(k)(k)h(k)第42页，本讲稿共65页f(k）的分解：k=-2,f(-2)*(k+2)k=-1,f(-1)*(k+1)k=0,f(0)*(k)k=1,f(1)*(k-1)k=i,f(i)*(k-i)第43页，本讲稿共65页3.一般定义:i:求和变量：-+；k:参考量：-+第44页
13、，本讲稿共65页3.3 卷积和 1.序列的时域分解 任意离散序列f(k)可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+第45页，本讲稿共65页2.任意序列作用下的零状态响应根据h(k)的定义：第46页，本讲稿共65页3.卷积和的定义 已知定义在区间（，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i 下进行的，i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。第47页，本讲稿共65页例题 例1：f(k)=a k(k),
14、h(k)=b k(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k)*h(k)当i k时，(k-i)=0这种卷积和的计算方法称为：解析法。第48页，本讲稿共65页 例2 已知序列x(k)=(3)-k(k)，y(k)=1,-k,试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即证:先计算x(k)*y(k)，考虑到(k)的特性，有 第49页，本讲稿共65页再计算y(k)*x(k)，同样考虑到u(k)的特性，可得 求解过程中对k没有限制，故上式可写为x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5-k 可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。所以 第50页，本讲稿共65页 例3：求(k)*(k)解：例4
15、：求ak(k)*(k 4)解：第51页，本讲稿共65页考虑到(i)的特性，可将上式表示为 例 设f1(k)=e-k(k)，f2(k)=(k),求f1(k)*f2(k)。解 由卷积和定义式得 第52页，本讲稿共65页显然，上式中k0，故应写为 第53页，本讲稿共65页二、卷积的图解法 卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转f2(i),右移k f2(k i)（3）乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和：i 从到对乘积项求和。注意：k 为参变量。下面举例说明。第54页，本讲稿共65页 例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已 知f(k)=
16、f1(k)*f2(k)，求f(2)=？（1）换元（2）f2(i)反转得f2(i)（3）f2(i)右移2得f2(2i)（4）f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2)=4.5第55页，本讲稿共65页解：画出f1(i),f2(i),f2(-i)第56页，本讲稿共65页?第57页，本讲稿共65页第58页，本讲稿共65页列表法求卷积和 f(k)=f1(k)*f2(k)=f1(i)f2(k-i)序号：i+k-i=kf(k)卷积和长度:N=L+M-1(L+M是原序列长）见书p104第59页，本讲稿共65页四、卷积和的性质 1.满足乘法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.2.f(k)*(k
17、)=f(k)，f(k)*(k k0)=f(k k0)4.f1(k k1)*f2(k k2)=f1(k k1 k2)*f2(k)5.f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)求卷积和是本章的重点第60页，本讲稿共65页与(k)卷积和:第61页，本讲稿共65页 证明:(或用图形卷积法证明)第62页，本讲稿共65页 三个LTI系统响应相同 第63页，本讲稿共65页例子?例示：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：(1)x(n)y(n)(2)已知系统（1）的h1(n)=(n),系统（2）h2(n)(n)-(n-1),求系统（1）的输出y1(n)、系统（2）的输出y2(n)以及系统输出y(n)第64页，本讲稿共65页 系统（1）和系统（2）单独分开，系统（1）的输出设系统（2）的输入为x(n),输出为y2(n),有可见，系统1为累加器，系统2为一阶差分运算器。若将系统1和系统2级联成一系统，有系统输出为恒等系统第65页，本讲稿共65页