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1、第三章 离散系统的时域分析第1页，共65页，编辑于2022年，星期二连续系统与离散系统的比较连续系统连续系统常系数线性微分方程常系数线性微分方程卷积积分卷积积分离散系统离散系统常系数线性差分方程常系数线性差分方程卷积和卷积和第2页，共65页，编辑于2022年，星期二LTILTI离散系统的响应离散系统的响应单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应卷积和卷积和本章要点：本章要点：第3页，共65页，编辑于2022年，星期二差分与差分方程差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程前向差分、后向差分以及差分方程差分方程解差分方程解 数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐次解数值解、经典解，以及不
2、同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解和不同激励对应的特解零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应3.1 LTI离散系统的响应第4页，共65页，编辑于2022年，星期二一、差分与差分方程一、差分与差分方程1、前向差分与后向差分、前向差分与后向差分 一阶后向差分一阶后向差分一阶前向差分一阶前向差分第5页，共65页，编辑于2022年，星期二2 2、前向差分与后向差分的关系、前向差分与后向差分的关系3 3、差分方程的一般形式、差分方程的一般形式将各阶差分写为将各阶差分写为y(k)y(k)及其各移位序列的线性组合：及其各移位序列的线性组合：常系数差分方程，用来描述LTI离散系统；变系数差分方程变
3、系数差分方程第6页，共65页，编辑于2022年，星期二1 1、用迭代法求差分方程的数值解、用迭代法求差分方程的数值解差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初差分方程是具有递推关系的代数方程，当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解数值解当差分方程阶次当差分方程阶次较低较低时可以使用此法时可以使用此法二、差分方程的解二、差分方程的解例例3.11 若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)第7页，共65页，编辑于2022年，星期二解：将差分方程中除y
4、(k)以外的各项都移到等号右端，得对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得依次迭代可得特点：便于用计算机求解例例3.11第8页，共65页，编辑于2022年，星期二若单输入若单输入-单输出的单输出的LTILTI系统的激励为系统的激励为f(k),f(k),全响应为全响应为y(k)y(k)，则描述系统激励与响应之，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是间关系的数学模型是n n阶常系数线性差分方阶常系数线性差分方程，一般可写为：程，一般可写为：2 2、差分方程的经典解、差分方程的经典解第9页，共65页，编辑于2022年，星期二解由齐次解和特解两部分组成：解由齐次解和特解两部分组成
5、：1 1）齐次解：）齐次解：齐次方程齐次方程的解称为齐次解的解称为齐次解.它的它的n n个根个根i i（i=1,2,n)i=1,2,n)称为差分方程称为差分方程的特征根的特征根令令y(k)=C k第10页，共65页，编辑于2022年，星期二均为单实根时的齐次解：均为单实根时的齐次解：1 1为为r r重根，其余重根，其余(n-r)(n-r)为特征单根：为特征单根：有一对共轭复根有一对共轭复根1 1、2 2=a+jb =a+jb Y Yh h(k)=(k)=k kCcos(k)+Dsin(k)Ccos(k)+Dsin(k)（其中（其中=arctan(b/a)=arctan(b/a)，=(a=(a2
6、 2+b+b2 2)1/21/2第11页，共65页，编辑于2022年，星期二几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数f(t)响应函数响应函数y(t)的特解的特解第12页，共65页，编辑于2022年，星期二选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。3 3）全解）全解 代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数C Ci i ，于是得到完全解的，于是得到完全解的闭式闭式见书见书P88P88第13页，共65页，编辑于2022年，星期二解：方程的特征方程为例3.1-2,若描述某系统的差分方程为已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励f(k)=2k,k0。求方程的全解特征根为1
7、 22，为二重根，齐次解为由题意，设特解为第14页，共65页，编辑于2022年，星期二将yp(k)代入到原方程得全解为：将已知条件代入，得C11,C2=1/4自由响应自由响应强迫响应强迫响应第15页，共65页，编辑于2022年，星期二1、解形式、解形式 零状态响应，仅由激励引起零输入响应，激励为零时的响应三、零状态响应和零输入响应三、零状态响应和零输入响应第16页，共65页，编辑于2022年，星期二当特征根均为单根时，有：当特征根均为单根时，有：czii 由初始状态决定，由初始状态决定，czsi由激励决定，且由激励决定，且ci=czii+czsi第17页，共65页，编辑于2022年，星期二由于
8、由于y yzszs(k)(k)为零状态响应，为零状态响应，k0k0时激励还没有接入，所以有：时激励还没有接入，所以有：yzs(-1)=yzs(-2)=yzs(-n)=0而，而，y(k)=yzi(k)+yzs(k)，故：，故：yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，yzi(-n)=y(-n)-系统的初始状态系统的初始状态2、求初始值、求初始值第18页，共65页，编辑于2022年，星期二初始值：y(0),y(1)y(n-1)可由差分方程推出例3.1-4 若描述某离散系统的差分方程为已知f(k)=0,k0时为零，因而在k0时，系统的h(k)和系统的零输入响应的函数形式相同。因此因此，
9、求h(k)的问题转化为求差分方程的齐次解的问题，而h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。第35页，共65页，编辑于2022年，星期二例题例题例3.2-1 求下图所示离散系统的单位序列响应h(k)。见书见书p96第36页，共65页，编辑于2022年，星期二（2 2）h(k)h(k)满足满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)h(-1)=h(-2)=0 h(-1)=h(-2)=0 (3)(3)求初始值：用迭代法求初始值：用迭代法 h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+(k)h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+(k)h(0)=h(-1
10、)+2h(-2)+1=1 h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1 h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1(4)(4)k k0 0时时,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0 h(k)=c h(k)=c1 1(-1)+c(-1)+c2 2(2)(2)h(0)=c h(0)=c1 1+c+c2 2=1 =1 ；h(1)=-c h(1)=-c1 1+2c+2c2 2=1 =1 得得 c c1 1=1/3;c=1/3;c2 2=2/3=2/3所以 （1 1）列写差分方程）列写差分方程：y(k)-y(k-1)
11、-2y(k-2)=f(k)y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)第37页，共65页，编辑于2022年，星期二 阶跃响应：阶跃响应：g(k)g(k)1).1).定义：定义：g(k)=T0,(k)g(k)=T0,(k)2).h(k)2).h(k)与与g(k)g(k)的关系：的关系：第38页，共65页，编辑于2022年，星期二经典法经典法;由由h(k)h(k)求出求出 例：同例例：同例3.2-13.2-1 经典法：经典法：g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)g(-1)=g(-2)=0 g(-1)=g(-2)=0 对对k0,g(k)-g
12、(k-1)-2gk0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2k-2）=1=1 齐次解：齐次解：g gn n(k)=c(k)=c1 1(-1)(-1)k k+c+c2 2(2)(2)k k 特解：特解：g gp p(k)=p(k)=p0 0=-=-求求g(k)g(k)的方法的方法g(k)=cg(k)=c1 1(-1)(-1)k k+c+c2 2(2)(2)k k-k0-k0见书见书P87，表，表32第39页，共65页，编辑于2022年，星期二 g(-1)=-c g(-1)=-c1 1+2c+2c2 2-=0-=0 g(-2)=c g(-2)=c1 1+c+c2 2-=0-=0 所以：所以：c c1
13、 1=1/6;c=1/6;c2 2=4/3 =4/3 利用h(k)求g(k):g(k)=1/6g(k)=1/6 (-1)(-1)k k+4/3(2)+4/3(2)k k-(k)-(k)第40页，共65页，编辑于2022年，星期二第41页，共65页，编辑于2022年，星期二3.3 3.3 卷积和卷积和1.1.卷积和的定义卷积和的定义:f(t)y f(t)yzs zs(t)=h(t)*f(t)(t)=h(t)*f(t)(t)h(t)(t)h(t)f(k)y f(k)yzs zs(k)=h(k)*f(k)(k)=h(k)*f(k)(k)h(k)(k)h(k)第42页，共65页，编辑于2022年，星期
14、二f(kf(k）的分解：）的分解：k=-2,f(-2)*(k+2)k=-2,f(-2)*(k+2)k=-1,f(-1)*(k+1)k=-1,f(-1)*(k+1)k=0,f(0)*(k)k=0,f(0)*(k)k=1,f(1)*(k-1)k=1,f(1)*(k-1)k=i,f(i)*(k-i)k=i,f(i)*(k-i)第43页，共65页，编辑于2022年，星期二3.3.一般定义一般定义:i:i:求和变量求和变量 ：-+；k:k:参考量：参考量：-+第44页，共65页，编辑于2022年，星期二3.3 卷积和1.序列的时域分解任意离散序列f(k)可表示为f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)
15、(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+第45页，共65页，编辑于2022年，星期二2.任意序列作用下的零状态响应根据h(k)的定义：第46页，共65页，编辑于2022年，星期二3.卷积和的定义已知定义在区间（，）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(t)与f2(t)的卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量i 下进行的，i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。第47页，共65页，编辑于2022年，星期二例题例题例1：f(k)=a k(k),h(k)=b k(k)，求yzs(k)。解：yzs(k)=f(k
16、)*h(k)当i k时，(k-i)=0这种卷积和的计算方法称为：解析法。第48页，共65页，编辑于2022年，星期二例例2 已知序列x(k)=(3)-k(k)，y(k)=1,-k,试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即证证:先计算x(k)*y(k)，考虑到(k)的特性，有 第49页，共65页，编辑于2022年，星期二再计算再计算y(k)*x(k)，同样考虑到，同样考虑到u(k)的特性，可得的特性，可得 求解过程中对k没有限制，故上式可写为x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。运算满足交换律。所以 第50页，共65页，编辑于202
17、2年，星期二例3：求(k)*(k)解解：例4：求ak(k)*(k 4)解：解：第51页，共65页，编辑于2022年，星期二考虑到(i)的特性，可将上式表示为 例例 设f1(k)=e-k(k)，f2(k)=(k),求f1(k)*f2(k)。解解 由卷积和定义式得 第52页，共65页，编辑于2022年，星期二显然，上式中显然，上式中k0，故应写为，故应写为 第53页，共65页，编辑于2022年，星期二二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转f2(i),右移k f2(k i)（3）乘积：f1(i)f2(k i)
18、（4）求和：i 从到对乘积项求和。注意：k 为参变量。下面举例说明。第54页，共65页，编辑于2022年，星期二例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？（1）换元（2）f2(i)反转得f2(i)（3）f2(i)右移2得f2(2i)（4）f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2)=4.5第55页，共65页，编辑于2022年，星期二解：画出解：画出f1(i),f2(i),f2(-i)第56页，共65页，编辑于2022年，星期二?第57页，共65页，编辑于2022年，星期二第58页，共65页，编辑于2022年，星期二列表法求卷积和列表法求卷积和
19、f(k)=f f(k)=f1 1(k)*f(k)*f2 2(k)=f(k)=f1 1(i)f(i)f2 2(k-i)(k-i)序号：序号：i+k-i=ki+k-i=kf(k)f(k)卷积和长度卷积和长度:N=L+M-1 (L+M:N=L+M-1 (L+M是原序列长）是原序列长）见书p104第59页，共65页，编辑于2022年，星期二四、卷积和的性质1.满足乘法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.2.f(k)*(k)=f(k)，f(k)*(k k0)=f(k k0)4.f1(k k1)*f2(k k2)=f1(k k1 k2)*f2(k)5.f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2
20、(k)=f1(k)*f2(k)求卷积和是本章的重点第60页，共65页，编辑于2022年，星期二与(k)卷积和:第61页，共65页，编辑于2022年，星期二证明:(或用图形卷积法证明或用图形卷积法证明)第62页，共65页，编辑于2022年，星期二三个LTI系统响应相同 第63页，共65页，编辑于2022年，星期二例子?例示：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：(1)x(n)y(n)(2)已知系统（1）的h1(n)=(n),系统（2）h2(n)(n)-(n-1),求系统（1）的输出y1(n)、系统（2）的输出y2(n)以及系统输出y(n)第64页，共65页，编辑于2022年，星期二系统（1）和系统（2）单独分开，系统（1）的输出设系统（2）的输入为x(n),输出为y2(n),有可见，系统1为累加器，系统2为一阶差分运算器。若将系统1和系统2级联成一系统，有系统输出为恒等系统恒等系统第65页，共65页，编辑于2022年，星期二