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1、8.6.2 直线与平面垂直第2课时 线面角如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.温故知新：直线与平面垂直的判定定理：图形语言：文字语言：符号语言：线线垂直 线面垂直 我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?直线与平面所成的角 如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足 过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面
2、所成的角平面的斜线平面的斜线斜足斜足斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角新知探究：直线与平面所成的角的取值范围：一条平面的斜线与所成的角的取值范围是090；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0综上，直线与平面所成的角的取值范围是0 90 P151思考：如果AB是平面内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？最小角定理：平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小 P A 与直线AB 所成的角大于直线P A 与这
3、个平面所成的角 为什么？例1.已知平面的斜线l的斜足为O，射影为直线a（如图），直线b是内过O的直线.若直线l与平面所成角为1，a,b所成角为2，l,b所成角为，求证：b MQPaOal证明：过斜线l上一点P向引垂线PQ,垂足为Q，过Q在平面作QM b于M，连结PM.在Rt POQ中，在Rt QOM中，在Rt POM中，拓展学习深度学习：三线三角余弦公式:OQMP 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的 角.最小角定理：例2：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3
4、）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1AD CBO线段B1O探究射影例2：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1AD CBE线段B1E探究射影例2：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面BB1D1D中的射影（2）AB1在面A1B1CD中的射影（3）AB1在面CDD1C1中的射影A1D1C1B1AD CB线段C1D探究射影例3：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D
5、1D所成的角（1）0o（2）90o新知探究：线面角的求法（3）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。D1B ADA1C1CB1（3）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1DCB1所成的角。D1BOADA1C1CB1解：连接 交 于点,连接 设正方体的棱长为.平面又平面为斜线 在平面 上的射影，为和平面 所成的角。在 中，直线 和平面 所成的角为。一作二证三求注意答题规范 小结：通性通法：求斜线和平面所成的角的一般步骤：1作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其
6、射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；2证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）3求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小PCBA外O(2)若P A=PB=PC，则点O是AB边的_点。中(3)若 垂足都为P，则点O是ABC的_心。垂补：(4)若 则点O是ABC的_心。垂拓展学习：(6)若P点到ABC三边的距离相等，则点O是ABC的_心。外内备选例题【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BMPD于点M.(1)求证:AMPD;(2)求直线CD与平面A
7、CM所成角的余弦值.(1)证明:因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.因为ABAD,ADPA=A,AD平面PAD,PA平面PAD,所以AB平面PAD.因为PD平面PAD,所以ABPD.因为BMPD,ABBM=B,AB平面ABM,BM平面ABM,所以PD平面ABM.因为AM平面ABM,所以AMPD.小结：直线与平面所成的角的理解和判断(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角(2)判断方法 首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90.其次，求斜线和平面所成的角的一般步骤：I作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；II证：证明(I)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；（注：关键证明线面垂直，即证得斜线在面内的射影）III求：通过解三角形（常是直角三角形），求出所求角的大小（3）数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题 作业1.导学案（线面垂直第2课时）2.预习教材8.6.2.2节.