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1、精品资料 欢迎下载 函数周期性分类解析 一定义：若 T为非零常数，对于定义域内的任一x，使)()(xfTxf恒成立 则 f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二重要结论 1、f xf xa，则 yf x是以Ta为周期的周期函数；2、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。3、若函数 f xaf xa，则 xf是以2Ta为周期的周期函数 4、y=f(x)满足 f(x+a)=xf1(a0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。5、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=xf1(a0),则 f(x)为周期函数且
2、 2a 是它的一个周期。6、1()()1()f xf xaf x，则 xf是以2Ta为周期的周期函数.7、1()()1()f xf xaf x，则 xf是以4Ta为周期的周期函数.精品资料 欢迎下载 8、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=)(1)(1xfxf(xR，a0),则 f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。9、若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(ba)都对称,则 f(x)为周期函数且 2（b-a）是它的一个周期。10、函数()yf xxR的图象关于两点 0,A a y、0,B b yab都对称，则函数()f x是以 2 ba为周期的周期函数；11、函数()y
3、f xxR的图象关于 0,A a y和直线xbab都对称，则函数()f x 是以 4 ba为周期的周期函数；12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 2a是它的一个周期。13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 4a是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(xR，T0),则 f(2T)=0.周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周
4、期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 函数的周期性练习题高一 一选择题（共 15 小题）1定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2）且 x（1，0）时，f（x）=2x+，则 f（log220）=（）A1 B C1 D 2设偶函数f（x）对任意 x R，都有 f（x+3）=，且当 x 3，2时，f（x）=4x，则 f（107.5）=（）A10 B C10 D 3设偶函数 f（x）对任意 x R 都有 f（x）=且当 x 3，2时 f（x）=4x，则 f（119.5）=
5、（）A10 B10 C D 4若 f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f（1）=1，f（2）=3，则 f（8）f（4）的值为（）A1 B1 C2 D2 5 已知 f（x）是定义在R 上周期为4 的奇函数，当 x（0，2时，f（x）=2x+log2x，则 f（2015）=（）A2 B C2 D5 6设 f（x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（2，1上的图象，则 f（2014）+f（2015）=（）A3 B2 C1 D0 7已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，并满足：，当 2 x 3，f（x）=x，则 f（5.5）=（）A5.5 B5.5 C2.5
6、D2.5 8奇函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x），当 x（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A2 B C D2 9定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）=0，且周期是 4，若 f（1）=5，则 f（2015）（）A5 B5 C0 D3 10f（x）对于任意实数 x 满足条件 f（x+2）=，若 f（1）=5，则 f（f（5）=（）A5 B C D5 11已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+5）=f（x5），且 0 x 5 时，f（x）=4x，则 f（1003）=（）A1 B0 C1 D2 周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若
7、函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 12函数 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，当 0 x2 时 f（x）=x2x，则函数 y=f（x）的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为（）A6 B7 C8 D9 13已知函数 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，若对于任意的实数 x 0，都有 f（x+2）=f（x），且当 x 0，2）时，f（x）=log2（x+1），则 f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为（）A1 B2 C2 D1 14已知 f（x
8、）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0，3）时，f（x）=|2x24x+1|，则方程 f（x）=在3，4解的个数（）A4B8C9 D10 15已知最小正周期为 2 的函数 f（x）在区间1，1上的解析式是 f（x）=x2，则函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A3 B4 C5 D6 二填空题（共 10 小题）16已知定义在 R 上的函数 f（x），满足 f（1）=，且对任意的 x 都有 f（x+3）=，则 f（2014）=17 若 y=f（x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f（x）是偶函数，当 x 0，1时，
9、f（x）=2x1，则函数 g（x）=f（x）log5|x|的零点个数为 18定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=，则f（2013）的值为 19定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于点（，0）对称，且满足 f（x）=f（x+），f（1）=1，f（0）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2010）的值为=20定义在 R 上的函数 f（x）满足：，当 x（0，4）时，f（x）=x21，则 f（2011）=21定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x）当3 x1 时，f（x）=（x+2）2，当1 x3 时，f（x）=x则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）
10、=22若函数 f（x）是周期为 5 的奇函数，且满足 f（1）=1，f（2）=2，则 f（8）f（14）=23设 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f（2）1，f（2014）=，则实数 a 的取值范围是 周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 24设 f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时，f（x）=2x（1x），则=25 若 f（x+2）=，则 f（+2）f（14）=三解答题（共 5 小题）26设
11、 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒有 f（x+2）=f（x），当 x 0，2时，f（x）=2xx2（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当 x 2，4时，求 f（x）的解析式；（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+f（2004）27函数 f（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 x 0，1时，f（x）=3x1（1）求 f（x）在1，0上的解析式；（2）求的值 28已知定义域为 R 的函数 f（x）为奇函数，且满足 f（x+4）=f（x），当 x 0，1时，f（x）=2x1（1）求 f（x）在1，0）上的解析式；（2）求 f（24）的值 29已知函数 f（x）既是奇函数又
12、是周期函数，周期为 3，且 x 0，1时，f（x）=x2x+2，求 f（2014）的值 周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 30定义在 R 上的奇函数 f（x）有最小正周期 2，且当 x（0，1）时，f（x）=2x+2x（1）求 f（x）在1，0）上的解析式；（2）判断 f（x）在（2，1）上的单调性，并给予证明 周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两
13、点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一选择题（共 15 小题）1【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x），函数 f（x）为奇函数 又f（x2）=f（x+2）函数 f（x）为周期为 4 是周期函数 又log232log220log216 4log2205 f（log220）=f（log2204）=f（log2）=f（log2）=f（log2）又x（1，0）时，f（x）=2x+，f（log2）=1 故 f（log220）=1 故选 C 2【解答】解：因为 f（x+3）=，故有
14、 f（x+6）=f（x）函数 f（x）是以 6 为周期的函数 f（107.5）=f（6 17+5.5）=f（5.5）=故选 B 3【解答】解：函数 f（x）对任意 x R 都有 f（x）=，f（x+3）=，则 f（x+6）=f（x），即函数 f（x）的周期为 6，f（119.5）=f（20 60.5）=f（0.5）=，又偶函数 f（x），当 x 3，2时，有 f（x）=4x，f（119.5）=故选：C 4【解答】解：f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，f（x）=f（x），f（1）=f（1），可得 f（1）=f（1）=1，因为 f（2）=f（2），可得 f（2）=f（2）=3，f（8）=f（
15、85）=f（3）=f（35）=f（2）=3，f（4）=f（45）=f（1）=1，f（8）f（4）=3（1）=2，故选 C；5【解答】解：f（x）的周期为 4，2015=4 5041，f（2015）=f（1），周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 又 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（2015）=f（1）=21log21=2，故选：A 6【解答】解：由图象知 f（1）=1，f（1）=2，f（x）是定义在 R 上的周期为
16、3 的周期函数，f（2014）+f（2015）=f（1）+f（1）=1+2=3，故选：A 7【解答】解：，=f（x）f（x+4）=f（x），即函数 f（x）的一个周期为 4 f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）f（x）是定义在 R 上的偶函数 f（5.5）=f（1.5）=f（1.5）=f（1.5+4）=f（2.5）当 2 x 3，f（x）=x f（2.5）=2.5 f（5.5）=2.5 故选 D 8【解答】解：f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），f（x）是以 4 为周期的奇函数，又，f（log354）=2，故选：A 9【解答】解：在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（x）
17、=0 则：f（x）=f（x）所以函数是奇函数 由于函数周期是 4，所以 f（2015）=f（504 41）=f（1）=f（1）=5 故选：B 10【解答】解：f（x+2）=f（x+2+2）=f（x）f（x）是以 4 为周期的函数 f（5）=f（1+4）=f（1）=5 f（f（5）=f（5）=f（5+4）=f（1）又f（1）=周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 f（f（5）=故选 B 11【解答】解：f（x+5）=f（x5），f
18、（x+10）=f（x），则函数 f（x）是周期为 10 的周期函数，则 f（1003）=f（1000+3）=f（3）=43=1，故选：C 12【解答】解：当 0 x2 时，f（x）=x2x=0 解得 x=0 或 x=1，因为 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（x）=0 在区间0，6）上解的个数为 6，又因为 f（6）=f（0）=0，故 f（x）=0 在区间0，6上解的个数为 7，即函数 y=f（x）的图象在区间0，6上与 x 轴的交点的个数为 7，故选：B 13【解答】解：f（x+2）=f（x），f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，f（x）为 R 上
19、的奇函数，f（2015）=f（2015）=f（1）=1 f（2014）+f（2015）+f（2016）=01+0=1故选 A 14【解答】解：由题意知，f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 0，3）时，f（x）=|2x24x+1|，在同一坐标系中画出函数 f（x）与 y=的图象如下图：由图象可知：函数 y=f（x）与 y=在区间3，4上有 10 个交点（互不相同），所以方程 f（x）=在3，4解的个数是 10 个，故选：D 15【解答】解：函数 f（x）的最小正周期为 2，f（x+2）=f（x），f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|作图如下：周期的周期函数满足则为周期函
20、数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为 5，故选：C 二填空题（共 10 小题）16【解答】解：对任意的 x 都有 f（x+3）=，f（x+6）=f（x），函数 f（x）为周期函数，且周期 T=6，f（2014）=f（335 6+4）=f（4）=f（1+3）=5 故答案为：5 17【解答】解：当 x 0，1时，f（x）=2x1，函数 y=f（x）的周期为 2，x 1
21、，0时，f（x）=2x1，可作出函数的图象；图象关于 y 轴对称的偶函数y=log5|x|函数 y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当 x5 时，y=log5|x|1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在 x0 上有 4 个交点，由对称性知它们在 x0 上也有 4 个交点，且它们关于直线 y 轴对称，可得函数 g（x）=f（x）log5|x|的零点个数为 8；故答案为 8；周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 18【解答
22、】解：由分段函数可知，当 x0 时，f（x）=f（x1）f（x2），f（x+1）=f（x）f（x1）=f（x1）f（x2）f（x1），f（x+1）=f（x2），即 f（x+3）=f（x），f（x+6）=f（x），即当 x0 时，函数的周期是 6 f（2013）=f（335 6+3）=f（3）=f（0）=log2（80）=log28=3，故答案为：3 19【解答】解：由 f（x）=f（x+）得 f（x+3）=f（x+）+=f（x+）=f（x）.所以可得 f（x）是最小正周期 T=3 的周期函数；由 f（x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（x，y）即若 y=f（x），则必y=f（
23、x），或 y=f（x）而已知 f（x）=f（x+），故 f（x）=f（x+），今以 x 代 x+，得 f（x）=f（x），故知 f（x）又是 R 上的偶函数 于是有：f（1）=f（1）=1；f（2）=f（23）=f（1）=1；f（3）=f（0+3）=f（0）=2；f（1）+f（2）+f（3）=0，以下每连续 3 项之和为 0 而 2010=3 670，于是 f（2010）=0；故答案为 0 20【解答】解：由题意知，定义在 R 上的函数 f（x）有，则令 x=x+2 代入得，f（x+4）=f（x），函数 f（x）是周期函数且 T=4，f（2011）=f（4 502+3）=f（3），当 x（0，
24、4）时，f（x）=x21，f（3）=8即 f（2011）=8故答案为：8 周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 21【解答】解：当3 x1 时，f（x）=（x+2）2，f（3）=1，f（2）=0，当1 x3 时，f（x）=x，f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又f（x+6）=f（x）故 f（3）=1，f（4）=0，f（5）=1，f（6）=0，又2012=335 6+2，故 f（1）+f（2）+f（3）+f（
25、2 012）=335 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338 22【解答】解：由题意可得，f（8）=f（810）=f（2）=f（2）=2，f（14）=f（1415）=f（1）=f（1）=1，故有 f（8）f（14）=2（1）=1，故答案为1 23【解答】解：解：由 f（x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，则 f（x+3）=f（x），f（x）=f（x），f（2014）=f（3 6722）=f（2）=f（2），又 f（2）1，f（2014）1，即1，即为0，即有（3a2）（a+1）0，解得，1a，故答案为：
26、24【解答】解：f（x）是周期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时，f（x）=2x（1x），=f（）=f（）=2（1 ）=，故答案为：25【解答】解：由题意可得 f（+2）=sin=sin（6）=sin=，同理可得 f（14）=f（16+2）=log216=4，f（+2）f（14）=4=，故答案为：三解答题（共 5 小题）26【解答】（1）证明：f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x）是周期为 4 的周期函数；（2）解：当 x 2，0时，x 0，2，由已知得 f（x）=2（x）（x）2=2xx2，又 f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=2xx2，f（x）=x2+
27、2x，又当 x 2，4时，x4 2，0，f（x4）=（x4）2+2（x4），又 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（x）=f（x4）=（x4）2+2（x4）=x26x+8，周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 从而求得 x 2，4时，f（x）=x26x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=1，又 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）
28、+f（7）=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0 f（0）+f（1）+f（2）+f（2 004）=0+f（2004）=0 27【解答】解：（1）当 x 1，0时，x 0，1，又 f（x）是偶函数 则，x 1，0（2），1log32 0，1，即 28【解答】解：（1）令 x 1，0），则x（0，1，f（x）=2x1 又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），f（x）=f（x）=2x1，（2）f（x+4）=f（x），f（x）是以 4 为周期的周期函数，29【解答】解：函数 f（x）的周期为 3，f（2014）=f（671 31）=f（1），函数 f（x）是奇函数
29、，f（1）=f（1）=（121+2）=2，f（2014）=2 30【解答】解；（1）因为奇函数 f（x）的定义域为 R，周期为 2，所以 f（1）=f（1+2）=f（1），且 f（1）=f（1），于是 f（1）=0（2 分）当 x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=（2x+2x）=2x2x（5 分）周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周精品资料 欢迎下载 所以 f（x）在1，0）上的解析式为（7 分）（2）f（x）在（2，1）上是单调增函数（9 分）先讨论 f（x）在（0，1）上的单调性 设 0 x1x21，则 因为 0 x1x21，所以，于是，从而 f（x1）f（x2）0，所以 f（x）在（0，1）上是单调增函数（12 分）因为 f（x）的周期为 2，所以 f（x）在（2，1）上亦为单调增函数（14分）周期的周期函数满足则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周线都对称则为周期函数且是它的一个周期函数的图象关于两点都对称则的图像关于直线对称则为周期函数且是它的一个周期若函数满足则为周