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1、学习必备 欢迎下载 不等式专题复习一 六个基本量之间的关系是解决不等式问题的基础【知识梳理】222abc，abc，abc，abbcca，abc，111abc 之间有多少不等关系呢？例如可以构成几个不等式链：2222223()33()31113abcabcabbccaabcabc 整理成比较工整的22222233()111333abcabcabbccaabcabc 23()33abcabcabc 2222()2()abcabcabbcca 22222()2()()xyzxyzxyyzzxxyz 我们应该将这六个基本量牢记于心，一旦在试题中发现它们的影子，就仔细思考它们在不等式链中的位置，即与之相
2、关联的不等号到底是哪一种（大于就放在左边，小于放就在右边），也就是说，题目中的不等号也是一种很重要的隐含信息，指引着大家走向正确的方向。例 1（11 月月考）已知正数,a b c满足1abc ，（1）求证:19abcbccaab；（2）求222()()()222abbccabccaab的最小值 解析：（1）第一小题中我们注意到出现了两个基本量abbcca，abc，其中abc一般出现在均值不等式中，因此考虑利用不等式链中233()abbccaabc这一环，所以32313993()abcabcabcabcbccaababc 法二：也可以将原式转变为1111abcbccaababc 这个不等式中出现
3、了不等式链中的另一环，即31113abcabc 法三：2()()bccaababcabcabcabc 所以9bccaababc，得证 典型错误：不等式“打架”学习必备 欢迎下载 31327abcabcabc 2()133abcabbcca 所以1127193abcbccaab 在证明不等式时必须要注意不等号的传递性，一旦出现不等式“打架”的情况，只能放弃这个方法，选择其他道路。（2）利用柯西不等式的变式2222312312123123()yyyyyyxxxxxx，一步秒杀。2222()()()(222)44()22233333abbccaabcabcbccaababc 当且仅当13abc 时取
4、得最小值 例 2（2009 杭二中第六次月考）已知正数,a b c满足：1abbcca，求证：（1）2()3abc；（2）1a bcb acc ab 证明：（1）注意到这就是不等式链中的一环 2222()2()abcabcabbcca 而2222222()()()abcbcaabbcca，即222abcabbcca 2222()2()3()3abcabcabbccaabbcca 当且仅当33abc 时取等号（2）a bcb acc ababacbcabcacb 2()()()1abacbcabcacbabbccaacabbc 1a bcb acc ab 当且仅当33abc 时取等号 点评：第二
5、小题注意到题目中不等号（）的位置，因为三个根号之和放在柯西不等式的右边，自然就可以把要证明的式子联想成柯西不等式中两两乘积之和。例 3（2009 浙江高考仿真模拟卷）已知正数,a b c满足1abc ，求证：2223333abcabc 证法一：就仔细思考它们在不等式链中的位置即与之相关联的不等号到底是哪一一小题中我们注意到出现了两个基本量其中一般出现在均值不等式中因以在证明不等式时必须要注意不等号的传递性一旦出现不等式打架的情学习必备 欢迎下载 22231313133322222333222222222()()abca ab bc cabcabcabc 因为2222()133abcabc 代入
6、式得22223332223abcabcabc 证法二：考虑用均值不等式证明，首先注意到等号成立的条件应该是在13abc 处取得，因此配系数利用均值不等式得 23293aaa ，23293bbb ，23293ccc 三式相加得33322222222222222()931111 1()()()()3333 3abcabcabcabcabcabcabc 又因为1abc ，所以333222111()939abcabc 即2223333abcabc 当且仅当13abc 时取得等号。例 4（2010 杭十四中 5 月月考）已知,a b c为正实数，且1abbcca （1）求abcabc 的最小值；（2）证
7、明：22222234111abcabc 解：（1）因为22222()3()3abcabcabbccaabbcca，又,a b c为正实数，所以3abc ，又322213abbccaa b c，即39abc 所以38 3399abcabc ，即当33abc 时，abcabc 的最小值为8 39 证明：（2）由柯西不等式得 2222222222222222222()()1111113()()()314()()()()3abcabcabcabcabcabcabbccaabcabcabcabbccaabcabc 所以22222234111abcabc 当且仅当33abc 时取得等号 就仔细思考它们在不
8、等式链中的位置即与之相关联的不等号到底是哪一一小题中我们注意到出现了两个基本量其中一般出现在均值不等式中因以在证明不等式时必须要注意不等号的传递性一旦出现不等式打架的情学习必备 欢迎下载 例 5已知,(0,1)a b c，且满足2abc （1）求证：413abbcca（2）求证：222423abc（3）求222abcabc的最大值 证明：（1）22222222()()()4()4()abbccaabcabcabcabbcca 所以43abbcca 222222222212222()2()42()2abbccaabbccaabcabcabcabc 因为,(0,1)a b c，所以222,aa b
9、b cc，三式相加即2222abcabc ，得证。另辟蹊径 思路点拨：这个不等式的左半边很难一步证明，但我们应该注意到这个题目的题干与常见题干有何不同？平时只要求,a b c为正数，而本题却要求,(0,1)a b c，这是多此一举还是有意为之？显然这是一个可以挖掘的信息。因此如何将,(0,1)a b c转化为正数呢？换元是最常用的方法。法二：设1,1,1xa yb zc ，则,x y zR，且1xyz (1)(1)(1)(1)(1)(1)3()2()1()abbccaxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzx 因为2()03xyzxyyzzx，即103xyyzzx 所以413abbcca 点评
10、：换元法是用来处理,a b c之间线性轮换问题的常见方法。（2）由柯西不等式得22222221114abcabc 所以22243abc 因为,(0,1)a b c，所以222,aa bb cc，三式相加即2222abcabc 或用2222()2()42()422abcabcabbccaabbcca 综上得222423abc 点评：这里我们又发现了一个常用不等式 22222()2()()xyzxyzxyyzzxxyz 大家在解题的过程中要注意积累各式各样的不等式变形。法二：本题也可以用换元法解决 设1,1,1xa yb zc ，则,x y zR，且1xyz 就仔细思考它们在不等式链中的位置即与之
11、相关联的不等号到底是哪一一小题中我们注意到出现了两个基本量其中一般出现在均值不等式中因以在证明不等式时必须要注意不等号的传递性一旦出现不等式打架的情学习必备 欢迎下载 则222222222222(1)(1)(1)32()()1()abcxyzxyzxyzxyz 因为2222()133xyzxyz 且22222()2()()1xyzxyzxyyzzxxyz 所以222113xyz 所以2222224123abcxyz （3）38327abcabc 又222214()33abcabc 所以22229abcabc 当且仅当23abc 取得等号 六个基本量之间千丝万缕的联系，是 IB 不等式命题的丰富资源，只要我们仔细钻研，自然能熟能生巧，把这一类的问题迎刃而解，而且自己还能变化出更多的精彩问题，期待大家的奇思妙解。就仔细思考它们在不等式链中的位置即与之相关联的不等号到底是哪一一小题中我们注意到出现了两个基本量其中一般出现在均值不等式中因以在证明不等式时必须要注意不等号的传递性一旦出现不等式打架的情