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1、学习必备欢迎下载不等式专题复习一六个基本量之间的关系是解决不等式问题的基础【知识梳理】222abc ，abc ，abc ，abbcca ，abc ，111abc之间有多少不等关系呢？例如可以构成几个不等式链：2222223()33()31113abcabcabbccaabcabc整理成比较工整的22222233()111333abcabcabbccaabcabc23()33abcabcabc2222()2()abcabcabbcca22222()2()()xyzxyzxyyzzxxyz我们应该将这六个基本量牢记于心，一旦在试题中发现它们的影子，就仔细思考它们在不等式链中的位置，即与之相关联的不
2、等号到底是哪一种（大于就放在左边，小于放就在右边） ，也就是说， 题目中的不等号也是一种很重要的隐含信息，指引着大家走向正确的方向。例 1 （11 月月考）已知正数, ,a b c 满足1abc，（1）求证 :19abcbccaab；（2）求222()()()222abbccabccaab的最小值解析： （1）第一小题中我们注意到出现了两个基本量abbcca， abc，其中 abc 一般出现在均值不等式中，因此考虑利用不等式链中233()abbccaabc这一环，所以32313993()abcabcabcabcbccaababc法二：也可以将原式转变为1111abcbccaababc这个不等式
3、中出现了不等式链中的另一环，即31113abcabc法三：2()()bccaababcabcabcabc所以9bccaababc，得证典型错误：不等式“打架”名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载31327abcabcabc2()133abcabbcca所以1127193abcbccaab在证明不等式时必须要注意不等号的传递性，一旦出现不等式“打架” 的情况，只能放弃这个方法，选择其他
4、道路。（2）利用柯西不等式的变式2222312312123123()yyyyyyxxxxxx，一步秒杀。2222()()()(222 )44()22233333abbccaabcabcbccaababc当且仅当13abc时取得最小值例 2 （2009 杭二中第六次月考）已知正数, ,a b c 满足：1abbcca，求证：（1）2()3abc；（2）1a bcb acc ab证明： （1）注意到这就是不等式链中的一环2222()2()abcabcabbcca而2222222()()()abcbcaabbcca，即222abcabbcca2222()2()3()3abcabcabbccaabbc
5、ca当且仅当33abc时取等号（2） a bcb acc ababacbcabcacb2()()()1abacbcabcacbabbccaacabbc1a bcb accab当且仅当33abc时取等号点评： 第二小题注意到题目中不等号（）的位置，因为三个根号之和放在柯西不等式的右边，自然就可以把要证明的式子联想成柯西不等式中两两乘积之和。例 3 （2009 浙江高考仿真模拟卷）已知正数, ,a b c 满足1abc，求证：2223333abcabc证法一：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
6、 - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载22231313133322222333222222222()()abca ab bc cabcabcabc因为2222()133abcabc代入式得22223332223abcabcabc证法二： 考虑用均值不等式证明，首先注意到等号成立的条件应该是在13abc处取得，因此配系数利用均值不等式得23293aaa，23293bbb，23293ccc三式相加得33322222222222222()931111 1()()()()3333 3abcabcabcabcabcabcabc又因为
7、1abc，所以333222111()939abcabc即2223333abcabc当且仅当13abc时取得等号。例 4 （2010 杭十四中 5 月月考）已知, ,a b c 为正实数，且1abbcca（1）求 abcabc的最小值；（2）证明：22222234111abcabc解： （1）因为22222()3()3abcabcabbccaabbcca，又, ,a b c为正实数，所以3abc，又322213abbccaa b c，即39abc所以38 3399abcabc，即当33abc时， abcabc的最小值为8 39证明： （2）由柯西不等式得2222222222222222222()
8、()1111113()()()314()()()()3abcabcabcabcabcabcabbccaabcabcabcabbccaabcabc所以22222234111abcabc当且仅当33abc时取得等号名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 5已知, ,(0,1)a b c，且满足2abc（1）求证：413abbcca（2）求证：222423abc（3）求222abcabc的
9、最大值证明： （1）22222222()()()4()4()abbccaabcabcabcabbcca所以43abbcca222222222212222()2()42()2abbccaabbccaabcabcabcabc因为, ,(0,1)a b c，所以222,aa bb cc，三式相加即2222abcabc，得证。另辟蹊径思路点拨： 这个不等式的左半边很难一步证明，但我们应该注意到这个题目的题干与常见题干有何不同？平时只要求, ,a b c 为正数，而本题却要求, ,(0,1)a b c，这是多此一举还是有意为之？显然这是一个可以挖掘的信息。因此如何将, ,(0,1)a b c转化为正数呢
10、？换元是最常用的方法。法二： 设1,1,1xa yb zc ，则, ,x y zR，且1xyz(1)(1)(1)(1)(1)(1)3()2()1 ()abbccaxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzx因为2()03xyzxyyzzx，即103xyyzzx所以413abbcca点评： 换元法是用来处理, ,a b c 之间线性轮换问题的常见方法。（2）由柯西不等式得22222221114abcabc所以22243abc因为, ,(0,1)a b c，所以222,aa bb cc，三式相加即2222abcabc或用2222()2()42()422abcabcabbccaabbcca综上得222
11、423abc点评： 这里我们又发现了一个常用不等式22222()2()()xyzxyzxyyzzxxyz大家在解题的过程中要注意积累各式各样的不等式变形。法二：本题也可以用换元法解决设1,1,1xa yb zc ，则, ,x y zR，且1xyz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载则222222222222(1)(1)(1)32()()1()abcxyzxyzxyzxyz因为2222
12、()133xyzxyz且22222()2()()1xyzxyzxyyzzxxyz所以222113xyz所以2222224123abcxyz（3）38327abcabc又222214()33abcabc所以22229abcabc当且仅当23abc取得等号六个基本量之间千丝万缕的联系，是IB 不等式命题的丰富资源，只要我们仔细钻研，自然能熟能生巧，把这一类的问题迎刃而解，而且自己还能变化出更多的精彩问题，期待大家的奇思妙解。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -