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1、学习必备 欢迎下载 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知(1,2)A，(4,2)B，则把向量AB按向量(1,3)a 平移后得到的向量是_.结果：(3,0)2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是|ABAB）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非
2、零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0)；三点ABC、共线 AB AC、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.举例 2 如下列命题：（1）若|ab，则ab.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形.（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC.（5）若ab，bc，则ac.（6）若/ab，/bc
3、则/ac.其中正确的是 .结果：（4）（5）二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij为基底，则平面内的任一向量a可表示为(,)axiyjx y，称(,)x y为向量a的坐标，(,)ax y叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理 定理 设12,e e同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)，使1122aee.
4、（1）定理核心：1 12 2a e e；（2）从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e时，就说1 12 2a e e为对向量a的正交分解 举例 3 （1）若(1,1)a，(1,1)b ，(1,2)c，则c .结果：1322ab.（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A.1(0,0)e，2(1,2)e B.1(1,2)e，2(5,7)e C.1(3,5)e，2(6,10)e D.1(2,3)e，213,24e（3）已知,AD BE分别是ABC的边BC，AC上的中线,且ADa，BEb,则BC可用向量,a b表示为 .结
5、果：2433ab.（4）已知ABC中，点D在BC边上，且2CDDB，CDrABsAC，则rs 的值是 .结果：0.四、实数与向量的积 实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）模：|aa；（2）方向：当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0时，0a，注意：0a.五、平面向量的数量积 1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA a，OBb，则把(0)AOB 称为向量a，b的夹角.当0时，a，b同向；当 时，a，b反向；当2时，a，b垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|cosab叫做a与b的数量积（或
6、内积或点积），记作：a b，即|cosa bab.规定：零向量与任一向量的数量积是 0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例 4 （1）ABC中，|3AB，|4AC，|5BC，则AB BC_.结果：9.（2）已知11,2a，10,2b，cakb，dab，c与d的夹角为4，则k _.结果：1.（3）已知|2a，|5b，3a b，则|ab _.结果：23.（4）已知,a b是两个非零向量，且|abab ，则a与ab的夹角为_.结果：30.3.向量b在向量a上的投影：|cosb，它是一个实数，但不一定大于 0.学习必备 欢迎下载 举例 5 已知|3a，|5b，且12a b，则向量a在向量b上的
7、投影为_.结果：125.4.a b的几何意义：数量积a b等于a的模|a与b在a上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：（1）0aba b；（2）当a、b同向时，|a bab，特别地，222|aa aaaa ；|a bab是a、b同向的充要分条件；当a、b反向时，|a bab，|a bab是a、b反向的充要分条件；当为锐角时，0a b，且a、b不同向，0a b是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，0a b，且a、b不反向；0a b是为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a，b夹角的计算公式：cos|a bab；|a bab.举例 6 （1）已知(,2)a，(3,
8、2)b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_.结果：43 或0且13；（2）已知OFQ的面积为S，且1OFFQ，若1322S，则OF，FQ夹角的取值范围是_.结果：,4 3；（3）已知(cos,sin)axx，(cos,sin)byy，且满足|3|kabakb（其中0k）.用k表示a b；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角的大小.结果：21(0)4ka bkk；最小值为12，60.六、向量的运算 1.几何运算（1）向量加法 运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.（
9、2）向量的减法 运算法则：三角形法则.运算形式：若ABa，ACb，则abABACCA，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7 （1）化简：ABBCCD ；ABADDC ；()()ABCDACBD .结果：AD；CB；0；（2）若正方形ABCD的边长为 1，ABa，BCb，ACc，则|abc .结果：2 2；（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为.结果：直角三角形；（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCP，设|APPD，则的值为 .结果：2；（5）若点O是ABC的外心，
10、且0OAOBCO，则ABC的内角C为 .结果：120.2.坐标运算：设11(,)ax y，22(,)bxy，则（1）向量的加减法运算：1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy.举例 8 （1）已知点(2,3)A，(5,4)B，(7,10)C，若()APABACR，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上.结果：12；（2）已知(2,3)A，(1,4)B，且1(sin,cos)2ABxy，,(,)2 2x y，则xy .结果：6或2；（3）已知作用在点(1,1)A的三个力1(3,4)F，2(2,5)F，3(3,1)F，则合力123FFFF 的终点坐标是 .结果：(9,1).（2）实
11、数与向量的积：1111(,)(,)ax yxy.（3）若11(,)A x y，22(,)B xy，则2121(,)ABxx yy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例 9 设(2,3)A，(1,5)B，且13ACAB，3ADAB，则,C D的坐标分别是_.结果：11(1,),(7,9)3.（4）平面向量数量积：1212a bx xy y.举例 10 已知向量(sin,cos)axx，(sin,sin)bxx，(1,0)c.（1）若3x，求向量a、c的夹角；（2）若3,84x，函数()f xa b的最大值为12，求的值.结果：（1）150；（2）12或21.（5
12、）向量的模：222222|aaxyaxy.举例 11 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab .结果：13.（6）两点间的距离：若11(,)A x y，22(,)B xy，则222121|()()ABxxyy.得到的向量是结果零向量长度为的向量叫零向量记作规定零向量的方向量也叫共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记作规定零向直线平行不包含两条直线重合平行向量无传递性因为有三点共线共线相学习必备 欢迎下载 举例 12 如图，在平面斜坐标系xOy中，60 xOy，平面上任一点P关于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若12OPxeye，其中12,e e分别为与x轴、y轴同方
13、向的单 位向量，则P点斜坐标为(,)x y.（1）若点P的斜坐标为(2,2)，求P到O的距离|PO；（2）求以O为圆心，1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.结果：（1）2；（2）2210 xyxy.七、向量的运算律 1.交换律：abba ，()()aa，a bb a；2.结合律：()abcabc ，()abcabc ，()()()a ba bab ；3.分配律：()aaa，()abab，()abca cb c .举例 13 给出下列命题：()abca ba c ；()()ab ca bc ；222()|2|abaa bb；若0a b，则0a 或0b；若a bc b 则ac；22|aa；2a
14、 bbaa；222()a bab；222()2abaa bb.其中正确的是 .结果：.说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()ab ca bc ，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件 221212/()(|)0aba ba babx yy x.举例 14 (1)若向量(,1)ax，(4,)bx，当x _时，a与b共线且方向相同.结果：2.（2）已知(1,1)a，(4,)
15、bx，2uab，2vab，且/uv，则x .结果：4.（3）设(,12)PAk，(4,5)PB，(10,)PCk，则k _ 时，,A B C共线.结果：2或 11.九、向量垂直的充要条件 12120|0aba bababx xy y .特别地|ABACABACABACABAC .举例 15 (1)已知(1,2)OA，(3,)OBm，若OAOB，则m .结果：32m；（2）以原点O和(4,2)A为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B ，则点B的坐标是 .结果：(1,3)或（3，1）；（3）已知(,)na b向量nm，且|nm，则m 的坐标是 .结果：(,)ba或(,)b a.十、线段的定比分点
16、 1.定义：设点P是直线12PP上异于1P、2P的任意一点，若存在一个实数，使12PPPP，则实数叫做点P分有向线段12P P所成的比，P点叫做有向线段12P P的以定比为的定比分点.2.的符号与分点P的位置之间的关系（1）P内分线段12PP，即点P在线段12PP上0；（2）P外分线段12PP时，点P在线段12PP的延长线上1，点P在线段12PP的反向延长线上10 .注：若点P分有向线段12PP所成的比为，则点P分有向线段21P P所成的比为1.举例 16 若点P分AB所成的比为34，则A分BP所成的比为 .结果：73.3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y，222(,)P xy
17、，点(,)P x y分有向线段12P P所成的比为，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1xxxyyy.特别地，当1时，就得到线段12PP的中点坐标公式1212,2.2xxxyyy 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y，11(,)x y、22(,)x y的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.举例 17 （1）若(3,2)M ，(6,1)N，且13MPMN，则点P的坐标为 .结果：7(6,)3；（2）已知(,0)A a，(3,2)Ba，直线12yax与线段AB交于M，且2AMMB
18、，则a .结果：或4.十一、平移公式 如果点(,)P x y按向量(,)ah k平移至(,)P xy，则,.xxhyyk ；曲线(,)0f x y 按向量(,)ah k平移得曲线O x y 60 得到的向量是结果零向量长度为的向量叫零向量记作规定零向量的方向量也叫共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记作规定零向直线平行不包含两条直线重合平行向量无传递性因为有三点共线共线相学习必备 欢迎下载(,)0f xh yk.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 （1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)
19、平移到点_.结果：(8,3)；（2）函数sin2yx的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是cos21yx，则a _.结果：(,1)4.十二、向量中一些常用的结论 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：|ababab .（1）右边等号成立条件：a b、同向或 a b、中有0|abab；（2）左边等号成立条件：a b、反向或 a b、中有0|abab；（3）当 a b、不共线|ababab .3.三角形重心公式 在ABC中，若11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)C xy，则其重心的坐标为123123(,)33xxxyyyG.举例 19 若ABC的
20、三边的中点分别为(2,1)A、(3,4)B、(1,1)C ，则ABC的重心的坐标为 .结果：2 4,3 3.5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCG 为ABC的重心.（2）PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心.（3）|0AB PCBC PACA PBP 为ABC的内心；向量(0)|ABACABAC所在直线过ABC的内心.6.点P分有向线段12PP所成的比向量形式 设点P分有向线段12PP所成的比为，若M为平面内的任一点，则121MPMPMP，特别地P为有向线段12PP的中点122MPMPMP.7.向量,PA PB PC中三终点,A B C共线存在实数,，使得PAPBPC且1 举例 20 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点(3,1)A，(1,3)B，若点C满足12OCOAOB,其中12,R且121,则点C的轨迹是 .结果：直线AB.得到的向量是结果零向量长度为的向量叫零向量记作规定零向量的方向量也叫共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记作规定零向直线平行不包含两条直线重合平行向量无传递性因为有三点共线共线相