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1、初三数学技巧点的轨迹含答案 一、点的轨迹 1、(2016 青海西宁)如图,点 A 的坐标为(0,1),点 B 就是 x 轴正半轴上的一动点,以 AB 为边作等腰直角ABC,使BAC=90,设点 B 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为 y,能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致就是()A.B.C.D.【分析】根据题意作出合适的辅助线,可以先证明ADC 与AOB 的关系,即可建立 y 与 x 的函数关系,从而可以得到哪个选项就是正确的.【解答】解:作 ADx 轴,作 CDAD 于点 D,若右图所示,由已知可得,OB=x,OA=1,AOB=90,BAC=90,AB=AC,点 C 的纵坐标就是 y,
2、ADx 轴,DAO+AOD=180,DAO=90,OAB+BAD=BAD+DAC=90,OAB=DAC,在OAB 与DAC 中,OABDAC(AAS),OB=CD,CD=x,点 C 到 x 轴的距离为 y,点 D 到 x 轴的距离等于点 A 到 x 的距离 1,y=x+1(x 0).故选:A.2、(2016 四川眉山)如图,已知点 A 就是双曲线在第三象限分支上的一个动点,连结 AO 并延长交另一分支于点B,以 AB 为边作等边三角形 ABC,点 C 在第四象限内,且随着点 A 的运动,点 C 的位置也在不断变化,但点 C 始终在双曲线上运动,则 k 的值就是 .【分析】根据反比例函数的性质得
3、出 OA=OB,连接 OC,过点 A 作 AEy 轴,垂足为 E,过点 C 作 CFy 轴,垂足为 F,根据等边三角形的性质与解直角三角形求出 OC=OA,求出OFCAEO,相似比,求出面积比,求出OFC 的面积,即可得出答案.【解答】解:双曲线的图象关于原点对称,点 A 与点 B 关于原点对称,OA=OB,连接 OC,如图所示,ABC 就是等边三角形,OA=OB,OCAB.BAC=60,tanOAC=,OC=OA,过点 A 作 AEy 轴,垂足为 E,过点 C 作 CFy 轴,垂足为 F,AEOE,CFOF,OCOA,初三数学技巧点的轨迹含答案 AEO=OFC,AOE=90 FOC=OCF,
4、OFCAEO,相似比,面积比,点 A 在第一象限,设点 A 坐标为(a,b),点 A 在双曲线上,SAEO=ab=,SOFC=FCOF=,设点 C 坐标为(x,y),点 C 在双曲线上,k=xy,点 C 在第四象限,FC=x,OF=y.FC OF=x(y)=xy=,故答案为:3.3、如图,正方形 ABCD 的边长为 8,动点 P、Q 在正方形 ABCD 的边上运动,且 PQ=8、若点 P 从点 A 出发,沿 ABCD 的线路,向 D 点运动,求点 P 从 A 到 D 的运动过程中,PQ 的中点 O 所经过的路径的长。依题意画出图形,如图所示.此时在 RtAPQ 中,O 为 PQ 的中点,所以
5、AO=PQ=4.所以点 O 在以 A 为圆心,半径为 4,圆心角为 90的圆弧上.PQ 的中点 O 所经过的路径就是三段半径为 4,圆心角为 90的圆弧,如图所示:所以 PQ 的中点 O 所经过的路径的长为:24=6;4、(2014 年山东烟台)在正方形 ABCD 中,动点 E,F 分别从 D,C 两点同时出发,以相同的速度在直线 DC,CB 上移动.(1)如图,当点 E 自 D 向 C,点 F 自 C 向 B 移动时,连接 AE 与 DF 交于点 P,请您写出 AE与 DF 的位置关系,并说明理由;(2)如图,当 E,F 分别移动到边 DC,CB 的延长线上时,连接 AE与 DF,(1)中的
6、结论还成立不？(请您直接回答“就是”或“否”,不需证明)(3)如图,当 E,F 分别在边 CD,BC 的延长线上移动时,连接 AE,DF,(1)中的结论还成立不？请说明理由;(4)如图,当 E,F 分别在边 DC,CB 上移动时,连接 AE与 DF 交于点 P,由于点 E,F 的移动,使得点 P 也随之运动,请您画出点 P 运动路径的草图.若 AD=2,试求出线段 CP 的最小值.【解答】解:(1)AE=DF,AEDF.理由:四边形 ABCD 就是正方形,AD=DC,ADC=C=90.DE=CF,ADEDCF.初三数学技巧点的轨迹含答案 AE=DF,DAE=CDF,由于CDF+ADF=90,D
7、AE+ADF=90.AEDF;(2)就是;(3)成立.理由:由(1)同理可证 AE=DF,DAE=CDF 延长 FD 交 AE 于点 G,则CDF+ADG=90,ADG+DAE=90.AEDF;(4)如图:由于点 P 在运动中保持APD=90,点 P 的路径就是一段以 AD 为直径的弧,设 AD 的中点为 O,连接 OC 交弧于点 P,此时 CP 的长度最小,在 RtODC 中,OC=,CP=OCOP=.5.(2016 南充)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 为正方形内一动点,若点 M 在 AB 上,且满足PBCPAM,延长 BP交 AD 于点 N,连结 CM.(1)如图一,若点 M
8、 在线段 AB 上,求证:APBN;AM=AN;(2)如图二,在点P运动过程中,满足PBCPAM 的点 M 在AB 的延长线上时,APBN 与AM=AN 就是否成立？(不需说明理由)就是否存在满足条件的点 P,使得 PC=21？请说明理由.【解答】(1)证明:如图一中,四边形 ABCD 就是正方形,AB=BC=CD=AD,DAB=ABC=BCD=D=90,PBCPAM,PAM=PBC,=,PBC+PBA=90 PAM+PBA=90 ,APB=90,APBN,ABP=ABN,APB=BAN=90 BAPBNA,=,=,AB=BC AN=AM.(2)解:仍然成立,APBN 与 AM=AN.理由如图
9、二中,四边形 ABCD 就是正方形,AB=BC=CD=AD,DAB=ABC=BCD=D=90,PBCPAM,PAM=PBC,=,PBC+PBA=90,PAM+PBA=90 ,APB=90,APBN,ABP=ABN,APB=BAN=90 BAPBNA,=,=,AB=BC,AN=AM.这样的点 P 不存在.理由:假设 PC=21,如图三中,以点 C 为圆心 为半径画圆,以 AB 为直径画圆,CO=1+,两个圆外离,APB90,这与 APPB 矛盾,假设不可能成立,满足 PC=的点 P 不存在.初三数学技巧点的轨迹含答案 6.如图,E,F 就是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足 AEDF
10、、连结 CF 交 BD 于点 G,连结 BE 交 AG 于点 H、若正方形的边长为 2,则线段 DH 长度的最小值就是 .解:如解图,在正方形 ABCD 中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG、在ABE 与DCF 中,ABCD BADCDAAEDF ABEDCF(SAS).12、在ADG 与CDG 中,ADCD ADGCDGDGDGADGCDG(SAS).23、13、BAH3BAD90,1BAH90、AHB1809090、取 AB 的中点 O,连结 OH,OD,则 OHAO12AB1、在 Rt AOD 中,ODAO2AD2 1222 5,根据三角形的三边关系,OHDHOD,当 O,D,H
11、 三点共线时,DH 的长度最小,最小值ODOH 51、7.(2016 福建三明)如图,ABC 与ADE 就是有公共顶点的等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点 P 为射线 BD,CE的交点、(1)求证:BD=CE;(2)若 AB=2,AD=1,把ADE 绕点 A旋转,当EAC=90时,求 PB 的长;直接写出旋转过程中线段 PB 长的最小值与最大值、.(1)证明:ABC 与ADE 就是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,AB=AC,AD=AE、DAB=90BAEEAC 、ADBAEC、BD=CE、(2)解:当点 E 在 AB 上时,BE=AB-AE=1、EAC=90,CE=225AEAC、
12、同(1)可证ADBAEC、DBA=ECA、PEB=AEC,PEB AEC、PBBEACCE、125PB、PEDCBA初三数学技巧点的轨迹含答案 2 55PB、当点 E 在 BA延长线上时,BE=3、EAC=90,CE=225AEAC、同(1)可证ADBAEC、DBA=ECA、BEP=CEA,PEB AEC、PBBEACCE、325PB、6 55PB、综上,2 55PB 或6 55、(3)PB 长的最小值就是31,最大值就是31、8、若点 A 的坐标为(m,1-2m),则点 A 不在第 象限。9、如图,正方形ABCD 的边长为2,E为线段AB 上一点,点M 为边AD 的中点,EM 的延长线与CD
13、 的延长线交于点F,MGEF,交CD 于N,交BC 的延长线于G,点P就是 MG 的中点.连接EG、FG.下列结论:当点E为边AB 的中点时,SEFG=5;MG=EF;当 AE=3时,FG=25;若点E 从点A 运动到点 B,则此过程中点P 移动的距离为 2.其中正确的结论的个数为()A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 解:过 M 作 MQBC 于 Q,四边形 ABCD 就是正方形,AB=2,A=B=90,A=B=BQM=90,四边形 ABQM 数矩形,MQ=AB=2,E、M 分别为 AB、AD 中点,AE=AM=1,AM=MD,由勾股定理得:EM=12+12=2,四边形 ABCD
14、 就是正方形,A=ADF=90,ABCD,AEM=DFM,在AEM 与DFM 中 A=MDFAEM=DFMAM=DM AEMDFM(AAS),EM=MF=2,EF=22,四边形ABQM 就是矩形,AMQ=90,EMG=90,AME+EMQ=90,EMQ+QMG=90,AME=QMG,在AME 与QGM 中,A=MQG=90,AME=QMG,AMEQMG,AE/AM=QG/MQ=11,MQ=QG=2,在 RtMQG 中,由勾股定理得:MG=2 2,SEFG=1/2EF MG=12222=4,错误;过 E 作 EWCD 于 W,MQBC,四边形 ABCD 就是正方形,EW=AD=MQ=AB,MHE
15、=90,EMG=90,MEG+EMH=90,EMH+GMH=90,MEH=QMG,在FEW 与GMQ 中 FEW=GMQEW=MQ EWF=MQG=90,FEWGMQ(ASA),EF=MG,正确;A=90,AM=1,AE=3,由勾股定理得:EM=2=FM,MG=EF=2+2=4,在 RtFMG 中,由勾股定理得:FG=FM2+MG2=2 5,正确;当 E 在 A 点时,P 为正方形中心当 E 运动到 B 点时,P 运动到 P,ABM MGB(已证),AM/AB=BM/MG=1/2,P 为 MQ 的中点,P为 MG 中点,PPBC,MPP=MQG=90=BMG,MPP=MGB,MPPBMG,MP
16、/PP=MB/MG=1/2,PP=2MP=2,正确;即正确的有 3 个.故选 C.PEDCBA初三数学技巧点的轨迹含答案 10、(2014 咸宁)如图 1,P(m,n)就是抛物线 y=1 上任意一点,l 就是过点(0,2)且与 x 轴平行的直线,过点 P 作直线PHl,垂足为 H.【探究】(1)填空:当 m=0 时,OP=,PH=;当 m=4 时,OP=,PH=;【证明】(2)对任意 m,n,猜想 OP 与 PH 的大小关系,并证明您的猜想.【应用】(3)如图 2,已知线段 AB=6,端点 A,B 在抛物线 y=1 上滑动,求 A,B 两点到直线 l 的距离之与的最小值.解答:(1)解:OP=
17、1,PH=1;OP=5,PH=5.如图 1,记 PH 与 x 轴交点为 Q,当 m=0 时,P(0,1).此时 OP=1,PH=1.当 m=4 时,P(4,3).此时 PQ=3,OQ=4,OP=5,PH=yP(2)=3(2)=5.(2)猜想:OP=PH.证明:过点 P 作 PQx 轴于 Q,P 在二次函数 y=1 上,设 P(m,1),则 PQ=|1|,OQ=|m|,OPQ 为直角三角形,OP=,PH=yP(2)=(1)(2)=,OP=PH.初三数学技巧点的轨迹含答案(3)解:如图 2,连接 OA,OB,过点 A 作 ACl 于 C,过点 B 作 BDl 于 D,此时 AC 即为 A 点到 l
18、 的距离,BD 即为 B 点到l 的距离.则有 OB=BD,OA=AC,在AOB 中,OB+OA AB,BD+AC AB.当 AB 过 O 点时,OB+OA=AB,BD+AC=AB.综上所述,BD+AC AB,AB=6,BD+AC 6,即 A,B 两点到直线 l 的距离之与的最小值为 6.11、(2016 大连)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2+与 y 轴相交于点 A,点 B 与点 O 关于点 A 对称(1)填空:点 B 的坐标就是 ;(2)过点 B 的直线 y=kx+b(其中 k0)与 x 轴相交于点 C,过点 C 作直线 l 平行于 y 轴,P 就是直线 l 上一点,且
19、 PB=PC,求线段 PB 的长(用含 k 的式子表示),并判断点 P 就是否在抛物线上,说明理由;(3)在(2)的条件下,若点 C 关于直线 BP 的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点 P 的坐标.【分析】(1)由抛物线解析式可求得 A 点坐标,再利用对称可求得 B 点坐标;(2)可先用 k 表示出 C 点坐标,过 B 作 BDl 于点 D,条件可知 P 点在 x 轴上方,设 P 点纵坐标为 y,可表示出 PD、PB 的长,在 RtPBD 中,利用勾股定理可求得 y,则可求出 PB 的长,此时可得出 P 点坐标,代入抛物线解析式可判断 P 点在抛物线上;(3)利用平行线与轴对称的
20、性质可得到OBC=CBP=CBP=60,则可求得OC 的长,代入抛物线解析式可求得P点坐标.【解答】解:(1)抛物线 y=x2+与 y 轴相交于点 A,A(0,),点 B 与点 O 关于点 A 对称,BA=OA=,OB=,即 B 点坐标为(0,),故答案为:(0,);(2)B 点坐标为(0,),直线解析式为 y=kx+,令 y=0 可得 kx+=0,解得 x=,OC=,PB=PC,点 P 只能在 x 轴上方,如图 1,过 B 作 BDl 于点 D,设 PB=PC=m,则 BD=OC=,CD=OB=,PD=PCCD=m,在 RtPBD 中,由勾股定理可得 PB2=PD2+BD2,即 m2=(m)2+()2,解得 m=+,PB+,P 点坐标为(,+),当 x=时,代入抛物线解析式可得 y=+,点 P 在抛物线上;(3)如图 2,连接 CC,ly 轴,OBC=PCB,又 PB=PC,PCB=PBC,PBC=OBC,又 C、C关于 BP 对称,且 C在抛物线的对称轴上,即在 y 轴上,PBC=PBC,OBC=CBP=CBP=60,在 RtOBC 中,OB=,则 BC=1 OC=,即 P 点的横坐标为,代入抛物线解析式可得 y=()2+=1,P 点坐标为(,1).