《2023年初中数学压轴题试卷(最新版)及解答.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年初中数学压轴题试卷(最新版)及解答.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 初中数学压轴题试题及解答 1（10 贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐 标为 Q 1,2，且与y轴交于点 C3,0，与x轴交于 A、B两 点（点 A在点 B的右侧），点 P是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A运动（点 P与 A不重合），过点 P作 PD y轴，交 AC于点 D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP是直角三角形时，求点 P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点 E在x轴上，点 F在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点 F的坐标；若不存在，请说明理由 答案：解：（1）抛物线的顶点为 Q（2
2、，-1）设 122 xay 将 C（0，3）代入上式，得 12032 a 1a 122xy，即342xxy (2）分两种情况：当点 P1为直角顶点时,点 P1与点 B重合(如图)令y=0,得0342 xx 解之得11x,32x 点 A在点 B的右边,B(1,0),A(3,0)P1(1,0)解:当点 A为APD2的直角顶点是(如图)OA=OC,AOC=90,OAD2=45 当D2AP2=90时,OAP2=45,AO平分D2AP2 又P2D2y轴,P2D2AO,P2、D2关于x轴对称.设直线 AC的函数关系式为bkxy 将 A(3,0),C(0,3)代入上式得 bbk330,31bk 3 xy D
3、2在3 xy上,P2在342xxy上,设 D2(x,3 x),P2(x,342 xx)(3 x)+(342 xx)=0 0652 xx,21x,32x(舍)学习必备 欢迎下载 当x=2 时,342xxy=32422=-1 P2的坐标为 P2(2,-1)(即为抛物线顶点)P点坐标为 P1(1,0),P2(2,-1)(3)解:由题(2)知,当点 P的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点 P的坐标为 P2(2,-1)(即顶点 Q)时,平移直线 AP(如图)交x轴于点 E,交抛物线于点 F.当 AP=FE时,四边形 PAFE是平行四边形 P(2,-1),可令 F(x,1)1342 xx
4、解之得:221x,222x F点有两点,即 F1(22,1),F2(22,1)2（10 湖北黄冈）已知抛物线2(0)yaxbxc a顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x，y）向直线54y 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）.(1）求字母 a，b，c 的值；(2）在直线 x1 上有一点3(1,)4F，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时PFM 为正三角形；(3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PMPN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.答案：（1）a1，b2，c0(2）过 P 作直线 x=1 的垂线，
5、可求 P 的纵坐标为14，横坐标为1132.此时，MPMFPF1，故MPF 为正三角形.是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载(3）不存在.因为当 t54，x1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t54，x1 时，PM 与 PN 不可能相等.3（10 辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）(1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，
6、B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；(2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；(3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；(4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 答案：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC xyOMN（-6，-4）H（-8，0）是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛
7、物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0）(写错一个点的坐标扣 1 分）(2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为2yaxbxc，抛物线过点A（0，4），4c 则抛物线关系式为24yaxbx 将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得 3664464840abab ，解得1432ab，所求抛物线关系式为：213442yxx (3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m AGFEOFBECE
8、FGBABCOSSSSS四边形梯形 21OA（AB+OC）12AFAG12OEOF12CEOA mmmmm421)8(21)4(2186421）（2882mm (0m4）2(4)12Sm 当4m 时，S的取最小值 O M N H A C E F D B 8(6，4)x y 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 (4）当22 6m 时，GB=GF，当2m 时，BE=BG 4已知：函数 y=a
9、x2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点(1）求这个函数关系式；(2）如图所示，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A，P 为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标；(3）在(2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由 答案：解：（1）当a=0时，y=x+1，图象与x轴只有一个公共 点 当a 0时，=1-4 a=0，a=14，此时，图象与x轴只有 一个公共点 函数的解析式为：y=x+1 或
10、y=14 x2+x+1 (2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PCx 轴于点C y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=14 x2+x+1，则顶点为 B（-2，0），图象与 y 轴的交点 坐标为 A（0，1）以 PB 为直径的圆与直线 AB相切于点 B PBAB 则PBC=BAO RtPCBRtBOA AOBCOBPC，故 PC=2BC，设 P 点的坐标为(x，y)，ABO 是锐角，PBA 是直角，PBO 是钝角，x-2 BC=-2-x，PC=-4-2 x，即 y=-4-2 x，P 点的坐标为(x，-4-2 x)点 P 在二次函数 y=14 x2+x+1 的图象上
11、，-4-2 x=14 x2+x+1 解之得：x1=-2，x2=-10 x-2 x=-10，P 点的坐标为：(-10，16)(3）点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上由（2）知：C 为圆与 x 轴的另一交点，连接 CM，CM 与直线 PB 的交点为 Q，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 D，取 CD 的中点 E，连接 QE，则 CMPB，且 CQ=MQ A x y O B 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 QEMD，QE
12、=12 MD，QECE CMPB，QECE PCx 轴 QCE=EQB=CPB tanQCE=tanEQB=tanCPB=12 CE=2QE=22BE=4BE，又 CB=8，故 BE=85，QE=165 Q 点的坐标为(-185，165)可求得 M 点的坐标为(145，325)14(145)2+(145)+1=14425 325 C 点关于直线 PB 的对称点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上 5（10 重庆潼南）如图,已知抛物线cbxxy221与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点 E 是
13、线段 AC 上一动点，过点 E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当DCE 的面积最大时，求点 D 的坐标；(3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）二次函数cbxxy221的图像经过点 A（2，0）C(0,1)1022ccb 解得：b=21 c=1 二次函数的解析式为121212xxy (2）设点 D的坐标为（m，0）(0 m2）OD=m AD=2-m 由ADEAOC 得，OCDEAOAD 122DEm ABCEDx yo题图26是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点
14、的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 DE=22m CDE 的面积=2122mm=242mm=41)1(412m 当 m=1 时，CDE 的面积最大 点 D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212xxy 设 y=0 则1212102xx 解得：x1=2 x2=1 点 B 的坐标为（1，0）C（0，1）设直线 BC的解析式为：y=kxb 10bbk 解得：k=-1 b=-1 直线 BC的解析式为:y=x1 在 RtAOC 中，AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得
15、：AC=5 点 B(1,0)点 C（0，1）OB=OC BCO=450 当以点 C为顶点且 PC=AC=5时，设 P(k,k1)过点 P作 PHy 轴于 H HCP=BCO=450 CH=PH=k 在 RtPCH中 k2+k2=25 解得k1=210，k2=210 P1（210，1210）P2（210，1210）以 A为顶点，即 AC=AP=5 设 P(k,k1)过点 P作 PG x 轴于 G AG=2k GP=k1 在 RtAPG 中 AG2PG2=AP2(2k)2+(k1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍)是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的
16、右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 P3(1,2)以 P为顶点，PC=AP设 P(k,k1)过点 P作 PQ y 轴于点 Q PLx 轴于点 L L(k,0)QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k AL=k-2,PL=k1 在 RtPLA 中(2k)2=(k2)2(k1)2 解得：k=25P4(25,27)综上所述：存在四个点：P1（210，1210）P2（-210，1210）P3(1,2)P4(25,27)6(10 山东临沂）如图，二次函数 y=x2 ax b 的图像与
17、 x 轴交于 A(21，0)、B(2，0)两点，且与 y 轴交于点 C；(1)求该拋物线的解析式，并判断ABC 的形状；(2)在 x 轴上方的拋物线上有一点 D，且以 A、C、D、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；(3)在此拋物线上是否存在点 P，使得以 A、C、B、P 四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。答案：解(1)根据题意，将 A(21，0)，B(2，0)代入 y=x2 ax b 中，得02402141baba，解这个 方程，得a=23，b=1，该拋物线的解析式为 y=x223x 1，当 x=0时，y=1，点C的 坐
18、 标 为(0，1)。在 AOC中，AC=22OCOA=221)21(=25。在BOC 中，BC=22OCOB=2212=5。AB=OA OB=21 2=25，AC 2 BC 2=45 5=425=AB 2，ABCy A B C O x 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 是直角三角形。(2)点 D 的坐标为(23，1)。(3)存在。由(1)知，AC BC。若以 BC 为底边，则 BC/AP，如图 1 所示，可求得直线 BC 的
19、解析式为 y=21x 1，直线 AP 可以看作是由直线 BC 平移得到的，所以设直线 AP 的解析式为 y=21x b，把点 A(21，0)代入直线 AP 的解析式，求得 b=41，直线 AP 的解析式为 y=21x41。点 P 既在拋物线上，又在直线 AP 上，点 P 的纵坐标相等，即 x223x 1=21x41，解得 x1=25，x2=21(舍去)。当 x=25时，y=23，点 P(25，23)。若以 AC 为底边，则 BP/AC，如图 2 所示。可求得直线 AC 的解析式为 y=2x 1。直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 y=2x b，把点 B
20、(2，0)代 入直线 BP 的解析式，求得 b=4，直线 BP 的解析式为 y=2x 4。点 P 既在拋物线 上，又在直线 BP 上，点 P 的纵坐标相等，即 x223x 1=2x 4，解得 x1=25，x2=2(舍去)。当 x=25时，y=9，点 P 的坐标为(25，9)。综上所述，满足题目条件的点 P 为(25，23)或(25，9)。7（10 山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点 1030AB，、，两点，与y轴交于点03.C，以AB为直径作M，过抛物线上一点P作M的切线PD，切点为D，并与M的切线AE相交于点E，连结DM并延长交M于点N，连结.ANAD、(1）求抛物线所对应的函数关系式及
21、抛物线的顶点坐标；(2）若四边形EAMD的面积为4 3，求直线PD的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于DAN的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.y A B C O x P y A B C O P x 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 答案：解：（1）因为抛物线与x轴交于点 1030AB，、，两点，设抛物线的函数关系式为：13ya xx，抛物线与y轴交于点03C，30 1 03
22、a ，1.a 所以，抛物线的函数关系式为：223yxx，又 214yx，因此，抛物线的顶点坐标为 14，(2）连结EM，EAED、是M，的两条切线，EAEDEAAMEDMN，EAMEDM 又四边形EAMD的面积为4 3，2 3EAMS，12 32AM AE，又2AM，2 3.AE 因此，点E的坐标为112 3E，或212 3.E，当E点在第二象限时，切点D在第一象限.在直角三角形EAM中，2 3tan32EAEMAAM，60EMA ，60DMB 过切点D作DFAB，垂足为点F，13MFDF，因此，切点D的坐标为 23，是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在
23、点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 设直线PD的函数关系式为ykxb，将 12 323ED，、，的坐标代入得 322 3kbkb 解之，得335 33kb 所以，直线PD的函数关系式为35 3.33yx 当E点在第三象限时，切点D在第四象限.同理可求：切点D的坐标为23，-，直线PD的函数关系式为35 3.33yx 因此，直线PD的函数关系式为 35 333yx 或35 3.33yx (3）若四边形EAMD的面积等于DAN的面积 又22EAMDANAMDEAMDSSSS四边形，AMDEAMSS ED、
24、两点到x轴的距离相等，PD与M相切，点D与点E在x轴同侧，切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为2y 或2.y 当2y 时，由223yxx得，16x ；当2y 时，由223yxx得，12x .故满足条件的点P的位置有 4 个，分别是 12316 216 2122PPP，、，、，、4122.P，说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.8(10 山东省淄博)已知直角坐标系中有一点 A（4，3），点 B 在 x 轴上，AOB 是等腰三角形(1）求满足条件的所有点 B 的坐标；(2）求过 O、A、B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条是直
25、角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 即可）；(3）在（2）中求出的抛物线上存在点 P，使得以 O，A，B，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点 P 的坐标及相应梯形的面积 【答案】解：作 ACx 轴，由已知得 OC4，AC3，OA22ACOC5(1）当 OAOB5 时，如果点 B 在 x 轴的负半轴上，如图（1），点 B 的坐标为（5，0）如果点 B 在 x 轴的正半轴上，如图（2），点 B 的坐标为（5，0）当 OA
26、AB 时，点 B 在 x 轴的负半轴上，如图（3），BCOC，则 OB8，点 B 的坐标为（8，0）当 ABOB 时，点 B 在 x 轴的负半轴上，如图（4），在 x 轴上取点 D，使 ADOA，可知OD8 由AOBOABODA，可知AOBODA，则ODOAOAOB，解得 OB825，点 B 的坐标为（825，0）(2）当 ABOA 时，抛物线过 O（0，0），A（4，3），B（8，0）三点，设抛物线的函数表达式为bxaxy 2，可得方程组34160864baba，解得 a163，23b，xxy231632 (当 OAOB 时，同理得xxy415432 x y B C A O x y B C
27、A O (2)(1)y B C A x O(3)(4)y A B D x O 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载(3）当 OAAB 时，若 BPOA，如图（5），作 PEx 轴，则AOCPBE，ACOPEB90，AOCPBE，43OCACBEPE设 BE4m，PE3m，则点 P 的坐标为（4m8，3m），代入xxy231632，解得 m3 则点 P 的坐标为（4，9），S梯形ABPOSABOSBPO48 若 OPAB（图略），
28、根据抛物线的对称性可得点 P 的坐标为（12，9），S梯形AOPBSABOSBPO48 (当 OAOB 时，若 BPOA，如图（6），作 PFx 轴，则AOCPBF，ACOPFB90，AOCPBF，43OCACBFPF设 BF4m，PF3m，则点 P 的坐标为（4m5，3m），代入xxy415432，解得 m23(6)x y B A O C P F (5)O y B C A x P E 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 则点
29、 P 的坐标为（1，29），S梯形ABPOSABOSBPO475 若 OPAB（图略），作 PFx 轴，则ABCPOF，ACBPFO90，ABCPOF，3BCACOFPF设点 P 的坐标为（n，3n），代入xxy415432，解得 n9则点 P 的坐标为（9，27），S梯形AOPBSABOSBPO75 9 (10 广西河池）如图 11，在直角梯形OABC中，CBOA，90OAB，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AC相交于点M，4OAAB，2OACB(1）线段OB的长为 ，点C的坐标为 ；(2）求OCM的面积；(3）求过O，A，C三点的抛物线的解析式；(4）若点E在（3）的抛物
30、线的对称轴上，点F为该 抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点F的坐标 答案：解：（1）42；2,4.(2）在直角梯形 OABC 中，OA=AB=4，90OAB CBOA OAMBCM 又 OA=2BC AM2CM，CM31AC 所以11184 43323OCMOACSS (注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）(3）设抛物线的解析式为20yaxbxc a 由抛物线的图象经过点 0,0O,4,0A,2,4C.所以 y x M C B O A 图 11 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶
31、点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 42404160cbacbac 解这个方程组，得1a ，4b，0c 所以抛物线的解析式为 24yxx (4）抛物线24yxx 的对称轴是 CD，2x 当点 E 在x轴的下方时，CE 和 OA 互相平分则可知四边形 OEAC 为平行四边形，此时点 F 和点 C 重合，点 F 的坐标即为点 2,4C；当点 E 在x轴的下方，点 F 在对称轴2x 的右侧，存在平行四边形AOEF，OAEF，且OA E F，此时点 F 的横坐标为 6，将6x 代入24yxx ，可得12y .所以6,12F.同理，点
32、 F 在对称轴2x 的左侧，存在平行四边形OAEF，OAFE，且OA FE，此时点 F 的横坐标为2，将2x 代入24yxx ，可得12y .所以2,12F .综上所述，点 F 的坐标为 2,4，6,12,2,12.10（10 广西桂林）如图，过 A（8，0）、B（0，8 3）两点的直线与直线xy3交于点 C 平行于y轴的直线l从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴向右平移，到 C 点时停止；l分别交线段 BC、OC 于点 D、E，以 DE 为边向左侧作等边DEF，设DEF与BCO 重叠部分的面积为 S（平方单位），直线l的运动时间为 t（秒）(1）直接写出 C 点坐标和 t 的
33、取值范围；(2）求 S 与 t 的函数关系式；(3）设直线l与x轴交于点 P，是否存在这样的点 P，使得以 P、O、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 A8COB8 3 x y 3yx A8PCEODFBl 3yx x y 8 3 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 答案：解（1）C（4，4 3）t的取值范围是：0t4 (2）D 点的坐标是（t，38 3t），E 的坐标是（t
34、，3t）DE=38 3t-3t=8 32 3t 等边DEF 的 DE 边上的高为：123t 当点 F 在 BO 边上时：123t=t，t=3 当 0t3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：8 32 3t-2 33t S=2 3(8 32 38 32 3)23tttt=14(16 33)23tt=2738 33tt 当 3t4 时，重叠部分为等边三角形 S=1(8 32 3)(123)2tt =23 324 348 3tt (3）存在，P（247，0）说明：FO4 3，FP4 3，OP4 以 P，O，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO，FP,若 FO=FP 时，t=2（12-3t）
35、，t=247，P（247，0）11（10 广东深圳）如图，抛物线 yax2c（a0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（2,0），B（1,3）(1）求抛物线的解析式；(2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 SPAD4SABM成立，求点 P 的坐标 A8PCEODFBl 3yx x y 8 3 xyDAO是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时
36、平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 答案：（1）、因为点 A、B 均在抛物线上，故点 A、B 的坐标适合抛物线方程 403acac 解之得：14ac；故24yx为所求(2）如图 2，连接 BD，交 y 轴于点 M，则点 M 就是所求作的点 设 BD 的解析式为ykxb，则有203kbkb ，12kb，故 BD 的解析式为2yx；令0,x 则2y ，故(0,2)M(3)、如图 3，连接 AM，BC 交 y 轴于点 N，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB 易知 BN=MN=1，易求2 2,2AMBM 12 2222ABMS；设2(,4)P x x，依题意有：214
37、4 22AD x ，即：21444 22x 解之得：2 2x ，0 x，故 符合条件的 P 点有三个：123(2 2,4),(2 2,4),(0,4)PPP 12(10 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=41mx245mx m2 3m 2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上。(1)求点 B 的坐标；(2)点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过 P 点作 x 轴的 垂线，与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE。以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运动 时，C 点、D 点也随之
38、运动)当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若 P 点从 O 点出发向 A点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一 x y C B _ D _ A O xyNMOP2P1BDAP3C图 3 x y O 1 1 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 点 Q 从 A点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过
39、Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F。延长QF 到点 M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值。答案：解：(1)拋物线 y=41mx245mx m2 3m 2 经过原点，m2 3m 2=0，解得 m1=1，m2=2，由题意知 m 1，m=2，拋物线的解析式为 y=41x225x，点 B(2，n)在拋物线 y=41x225x 上，n=4，B 点的坐标为(2，4)。(2)设直线 OB 的解析式为 y=
40、k1x，求得直线 OB 的解析式为 y=2x，A点是拋物线与 x 轴的一个交点，可求得 A点的 坐标为(10，0)，设 P 点的坐标为(a，0)，则 E 点的坐标为 (a，2a)，根据题意作等腰直角三角形 PCD，如图 1。可求 得点 C 的坐标为(3a，2a)，由 C 点在拋物线上，得 2a=41(3a)225 3a，即49a2211a=0，解得 a1=922，a2=0 (舍去)，OP=922。依题意作等腰直角三角形 QMN，设直线 AB的解析式为 y=k2x b，由点 A(10，0)，点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 y=21x 5，当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰 直角三
41、角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上。如图 2 所示。可证DPQ 为等腰直角三 角形。此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4t、2t 个单位。PQ=DP=4t，t 4t 2t=10，t=710。第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上。如图 3 所示。可证PQM 为等腰直角三 角形。此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。OQ=10 2t，F 点在 直线 AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t 2t 2t=10，t=2。第三种情况：点 P、Q 重合时，PD、QM 在同一条直线上，如图 4 所
42、示。此时OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。t 2t=10，t=310。综上，符合题意的 t 值分别为710，2，310。O A B C D E P y x 图 1 E x O A B C y P M Q N F D 图 2 x y O A M(C)B(E)D P Q F N 图 3 图 4 y x B O Q(P)N C D M E F 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边学习必备 欢迎下载 是直角三角形时求点的坐标在问题的结论下若点在轴上点在抛物线上问令得解之得点在点的右边解当点为的直角顶点是如图当时平分又轴关于形当点的坐标为即顶点时平移直线如图交轴于点交抛物线于点当时四边