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1、学习必备 欢迎下载 第 3 讲 平面向量 一、选择题 1(2014 重庆卷)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k ()A92 B0 C3 D152 解析 因为 2a3b(2k3，6)，且(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得 k3，选 C.答案 C 2(2014 河南十所名校联考)在ABC 中，M 是 AB边所在直线上任意一点，若CM2CA CB，则 ()A1 B2 C3 D4 解析 由点 A，B，M 三点共线知：2 1，所以 3.答案 C 3(2014 吉林省实验中学模拟)在ABC 中，D 是 AB 中点，E 是 AC 中点，CD与
2、 BE 交于点 F，设ABa，ACb，AFxayb，则(x，y)为()A.12，12 B23，23 C.13，13 D23，12 解析 由题意知点F 为 ABC 的重心，设 H 为 BC 中点，则AF23AH2312(ABAC)13a13b，学习必备 欢迎下载 所以 x13，y13.答案 C 4(2014 龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的两个顶点为 O(0,0)，A(1,1)，且OA OC1，则AB AC等于 A1 B1 C.2 D 3 解析 依题意，|OA|OC|AB|2，OA OC|OA|OC|cos AOC1，cos AOC12，AOC3，则|AC|OA|OC|2，B
3、AC3，AB AC|AB|AC|cos BAC1.答案 B 5(2014 浙江卷)记 max x，y x，xy，y，xy，min x，y y，xy，x，xy，设 a，b为平面向量，则 ()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 解析 对于 min|ab|，|ab|与 min|a|，|b|，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此 A、B均错；而|ab|，|ab|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形
4、的三边，因此有 max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，因此选 D.答案 D 二、填空题 6(2014 山东卷)在ABC 中，已知AB ACtan A，当 A6时，ABC 的面积为_ 则为解析由题意知点为的重心设为中点则学习必备欢迎下载所以答案龙两邻边长的较小者比较它们的大小关系不定因此均错而中的较大者与可面直角坐标系由题意知设由得解得所以即点坐标为法二学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 解析 由 A6，AB ACtan A，得|AB|AC|cos Atan A，即|AB|AC|3233，|AB|AC|23，S ABC12|AB|AC|sin A12231216.答案 16 7.如图，在A
5、BC 中，C90，且 ACBC3，点 M 满足BM2 MA，则CM CB_.解析 法一 如图建立平面直角坐标系 由题意知：A(3,0)，B(0,3)，设 M(x，y)，由BM2MA，得 x2 3x，y32y，解得 x2，y1，即 M 点坐标为(2,1)，所以CM CB(2,1)(0,3)3.法二 CM CB(CBBM)CBCB2CB23 BACB223CB(CACB)则为解析由题意知点为的重心设为中点则学习必备欢迎下载所以答案龙两邻边长的较小者比较它们的大小关系不定因此均错而中的较大者与可面直角坐标系由题意知设由得解得所以即点坐标为法二学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 13CB23.答案 3
6、8(2014 杭州质量检测)在AOB 中，G 为AOB 的重心，且AOB60，若OA OB6，则|OG|的最小值是_ 解析 如图，在 AOB 中，OG23OE2312(OAOB)13(OAOB)，又OA OB|OA|OB|cos 60 6，|OA|OB|12，|OG|219(OAOB)219(|OA|2|OB|22OA OB)19(|OA|2|OB|212)192|OA|OB|1219364(当且仅当|OA|O B|时取等号)|OG|2，故|OG|的最小值是 2.答案 2 三、解答题 9(2013 江苏卷)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0 .(1)若|ab|2，
7、求证：ab；(2)设 c(0,1)，若 abc，求 ，的值(1)证明 由|ab|2，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得cos cos sin sin 0，即 a b0，因此 ab.(2)解 由已知条件 cos cos 0，sin sin 1，cos cos cos()，由 0 ，得 0 ，又 0 ，故 .则 sin sin()1，则为解析由题意知点为的重心设为中点则学习必备欢迎下载所以答案龙两邻边长的较小者比较它们的大小关系不定因此均错而中的较大者与可面直角坐标系由题意知设由得解得所以即点坐标为法二学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 即 sin 12，故 6或 56.当 6
8、时，56(舍去)，当 56时，6.所以，的值分别为56，6.10已知向量 m(sin x，1)，n(cos x,3)(1)当 mn 时，求sin xcos x3sin x2cos x的值；(2)已知在锐角ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，3c2asin(AB)，函数 f(x)(mn)m，求 fB8 的取值范围 解(1)由 mn，可得 3sin xcos x，于是 tan x13，sin xcos x3sin x2cos xtan x13tan x2131313229.(2)在ABC 中 AB C，于是 sin(AB)sin C，由正弦定理，得 3sin C2sin Asin
9、 C，sin C0，sin A32.又ABC 为锐角三角形，A3，于是6B2.f(x)(mn)m(sin xcos x,2)(sin x，1)sin2 xsin xcos x21cos 2x212sin 2x2 22sin2x432，fB822sin2B843222sin 2B32.由6B2，得32B，0sin 2B1，3222sin 2B322232，即 f(B8)32，2232.则为解析由题意知点为的重心设为中点则学习必备欢迎下载所以答案龙两邻边长的较小者比较它们的大小关系不定因此均错而中的较大者与可面直角坐标系由题意知设由得解得所以即点坐标为法二学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 11(2
10、014 陕西卷)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上(1)若PAPBPC0，求|OP|；(2)设OPmABnAC(m，nR)，用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值 解(1)法一 PAPBPC0，又PAPBPC(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，63x0，63y0，解得 x2，y2，即OP(2,2)，故|OP|2 2.法二 PAPBPC0，则(OAOP)(OBOP)(OCOP)0，OP13(OAOBOC)(2,2)，|OP|2 2.(2)OPmABnAC，(x，y)(m2n,2mn)，xm2n，y2mn，两式相减得，mnyx，令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 mn的最大值为 1.则为解析由题意知点为的重心设为中点则学习必备欢迎下载所以答案龙两邻边长的较小者比较它们的大小关系不定因此均错而中的较大者与可面直角坐标系由题意知设由得解得所以即点坐标为法二学习必备欢迎下