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1、学习必备欢迎下载选修 4-1 几何证明选讲A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1如图, BD,AEBC,ACD90 ,且 AB6,AC4,AD12,则BE_. 解析 AC4,AD12, ACD90 , CD2AD2AC2128, CD8 2. 又 AE BC, B D, ABE ADC,ABADBECD, BEAB CDAD68 2124 2. 答案4 2 2如图,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC4,ADBC,垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为 _解析如图,连接 CE,AO,AB.根据 A,E 是半圆周上的两个三等分点,BC为直径,可得 CEB90 , C
2、BE30 , AOB60 ,故 AOB 为等边三角形,AD3,ODBD1, DF33,学习必备欢迎下载 AFADDF2 33. 答案2 333如图,在直角梯形ABCD 中,DCAB,CBAB,ABADa,CDa2,点E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF_. 解析连接 DE,由于 E 是 AB 的中点,故 BEa2. 又 CDa2,AB DC,CB AB,四边形EBCD 是矩形在 Rt ADE 中,ADa,F 是 AD 的中点,故 EFa2. 答案a24.如图,已知 PA,PB 是圆 O 的切线, A,B 分别为切点, C 为圆 O 上不与 A,B重合的另一点,若 ACB120 ,则
3、 APB_. 解析如图,连接 OA,OB, PAO PBO90 ,学习必备欢迎下载 ACB120 , AOB120 .又 P,A,O,B 四点共圆,故APB60 . 答案605如图,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上, 且 PBOB2,PC 切圆 O 于 C 点,CDAB 于 D 点,则 CD_. 解析由切割线定理知, C2PA PB,解得 PC2 3.连接 OC,又 OC PC,故 CDPC OCPO2 3243. 答案3 6如图,点 A、B、C 都在 O 上,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,若 AB5,BC3,CD6,则线段 AC 的长为 _解析由切割线定理,得CD2BD
4、 AD. 因为 CD6,AB5,则 36BD(BD5),即 BD25BD360,学习必备欢迎下载即(BD9)(BD4)0,所以 BD4. 因为 A BCD,所以ADC CDB,于是ACCBCDBD. 所以 ACCDBD BC64392. 答案927如图,在 ABC 中, C90 ,A60 ,AB20,过 C 作ABC 的外接圆的切线 CD,BDCD,BD 与外接圆交于点E,则 DE 的长为_解析由题意,得弦切角BCD A60 , ACB D90 , ABC CBD. ABCBACCD,CDCB ACAB20sin 60 20cos 60 205 3. 又 CD与 圆 相 切 , CD2 DE
5、DB , 则DE CD2DB5 32CBsin 60 25320sin 60 sin 60 5. 答案5 8如图, O 的割线 PBA 过圆心 O,弦 CD 交 PA 于点 F,且 COFPDF,若 PBOA2,则 PF_. 解析由相交弦定理可得BF AFDF CF,学习必备欢迎下载由 COF PDF 可得CFPFOFDF,即得 DF CFPF OF. BF AFPF OF,即(PF2) (6PF)PF (4PF),解得 PF3. 答案3 9如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长AB 和 DC 相交于点 P.若PBPA12,PCPD13,则BCAD的值为 _解析 P P, PCB
6、 PAD, PCB P AD.PBPDPCPABCAD. PBPA12,PCPD13,BCAD66. 答案6610如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BCCD,过 C作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB6,ED2,则 BC_. 解析C 为 BD 中点,且 AC BC,故ABD 为等腰三角形 ABAD6,AE4,DE2,又AEACACAD? AC2AE AD4624,AC2 6,在 ABC 中,BCAB2AC236242 3. 答案2 3 学习必备欢迎下载11如图,已知 RtABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC为
7、直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD_cm. 解析如图,连接 DC,则 CD AB,Rt ADC Rt ACB. 故ADACACAB,即AD335,AD95(cm),BD595165(cm)答案16512 如图所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点,PBADBA.若 ADm,ACn,则 AB_. 解析直线PB 与圆相切于点 B,且 PBA DBA, ACB ABP DBA,由此可得直线AB 是 BCD 外接圆的切线且B 是切点,则由切割线定理得AB2AD ACmn,即得 AB mn. 答案mn学习必备欢迎下载13如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点B 作圆
8、的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点E, 与 AB 相交于点 F, AF3,FB1,EF32,则线段 CD 的长为 _解析由相交弦定理得 AF FBEF FC, FCAF FBEF2.由 AFC ABD,可知FCBDAFAB, BDFC ABAF83. 由切割线定理得 DB2DC DA,又 DA4CD, 4DC2DB2649, DC43. 答案4314如图所示,已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DFCF2,AFFBBE421.若 CE 与圆相切,则线段CE 的长为_解析设 AF4k,BF2k,BEk,由 DF
9、FCAF BF,得 28k2,即 k12.所以 AF2,BF1,BE12,AE72.由切割线定理,得CE2BE EA127274,所以 CE72. 学习必备欢迎下载答案7215如图,点 D 在O 的弦 AB 上移动, AB4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交 O 于点 C,则 CD 的最大值为 _解析当 OD 的值最小时, DC 最大,易知 D 为 AB 的中点时, DBDC2最大答案2 B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1如图, ABC的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明: ABEADC;(2)若ABC 的面积 S12AD AE,求 BAC 的大小(1)证
10、明由已知条件,可得 BAECAD.因为 AEB 与ACB 是同弧上的圆周角,所以 AEBACD.故ABEADC. (2)解因为 ABEADC,所以ABAEADAC,即 AB ACAD AE. 又 S12AB ACsinBAC,且 S12AD AE,学习必备欢迎下载故 AB AC sinBACAD AE. 则 sinBAC1,又BAC 为三角形内角,所以 BAC90 . 2(2014 辽宁卷 )如图,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且PGPD,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证: AB 为圆的直径;(2)若 ACBD
11、,求证: ABED. 证明(1)因为 PDPG,所以 PDGPGD. 由于 PD 为切线,故 PDADBA,又由于 PGDEGA,故DBAEGA. 所以 DBABAD EGABAD,从而 BDAPFA. 由于 AFEP,所以 PFA90 ,于是 BDA90 . 故 AB 是直径(2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径,故 BDAACB90 . 在 RtBDA 与 RtACB 中,ABBA,ACBD,从而 RtBDARtACB,于是 DABCBA. 学习必备欢迎下载又因为 DCBDAB,所以 DCB CBA,故 DCAB. 由于 ABEP,所以 DCEP,DCE 为直角于是 ED 为直径由
12、(1)得 EDAB. 3如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为A,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM,垂足为 P. (1)证明: OM OPOA2;(2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明: OKM90 . 证明(1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OAAM.又因为 APOM,在 RtOAM 中,由射影定理知, OA2OM OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线, BNOK,同(1),有 OB2ON OK,又 OBOA,所以 OP OMON OK,即ONOPOMOK.又NOPMOK,所以
13、 ONPOMK,故 OKMOPN90 . 4如图,已知在 ABC 中,ABAC,D 是ABC 外接圆劣弧上的点 (不与点 A,C 重合),延长 BD 至 E. (1)求证: AD 的延长线平分 CDE;(2)若BAC30 , ABC 中 BC边上的高为 23, 求ABC 外接圆的面积学习必备欢迎下载(1)证明如图,设 F 为 AD 延长线上一点A、B、C、D 四点共圆,CDFABC. 又 ABAC, ABCACB,且ADBACB,ADBCDF. 又EDFADB,故EDFCDF,即 AD 的延长线平分 CDE. (2)解设 O 为外接圆圆心,连接AO 交 BC 于 H,则 AHBC. 连接 OC
14、,由题意 OACOCA15 ,ACB75 ,OCH60 . 设圆半径为 r,则 r32r23,得 r2, ABC 外接圆的面积为 4.5如图,梯形 ABCD 内接于 O,ADBC,过点 C 作O 的切线,交 BD 的延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证: AB2DE BC;(2)若 BD9,AB6,BC9,求切线 PC 的长学习必备欢迎下载ABCD,EDCBCD. 又 PC 与O 相切, ECDDBC. CDEBCD.DCBCDEDC. CD2DE BC,即 AB2DE BC. (2)解由(1)知,DEAB2BC6294,ADBC, PDEPBC,PDPBDEBC49. 又
15、PBPD9,PD365,PB815. PC2PD PB36581554252.PC545. 6如图,直线 AB 为圆 O 的切线,切点为B,点 C 在圆上, ABC 的角平分线BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明: DBDC;(2)设圆的半径为 1,BC 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求 BCF 外接圆的半径(1)证明如图,连接 DE,则 DCBDEB,学习必备欢迎下载DBBE,DBCCBE90 ,DEBEDB90 ,DBCCBEDEBEDB,又CBEEBFEDB,DBCDEBDCB,DBDC. (2)解由(1)知: CBEEBFBCE,BDECDE,DE 是 BC 的垂直平分线,设交点为 H,则 BH32,OH13412,DH32,tanBDE323233,BDE30 ,FBEBDE30 ,CBFBCF90 ,BFC90 ,BC 是BCF 的外接圆直径学习必备欢迎下载BCF 的外接圆半径为32.