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1、 年 级 初一 学 科 数学 版 本 人教新课标版 课程标题 第八章 8.18.2 二元一次方程组和消元解二元一次方程组 编稿老师 高静 一校 林卉 二校 黄楠 审核 路子华 一、考点突破 本讲主要学习二元一次方程和它的解，二元一次方程组及其解法，在中考试题中这两个考点时有出现。与二元一次方程组有关的试题一般难度不大，以选择题居多，与二元一次方程有关的问题常以填空题的形式出现，难度中等，可能会出现难题，学习以上内容时应注意“化归”思想的运用。二、重难点提示 重点：二元一次方程组的解法。难点：消元思想在解方程组中的运用，二元一次方程的特殊解。知识脉络图 二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程组
2、二元一次方程组的解法方程组代入消元法加减消元法 知识点一：二元一次方程和二元一次方程组 要点精讲：方程二元一次方程方程组二元一次方程组 典例精析：例题1 已知x12y1是方程组ax3y152xby1的一个解，求4（a4b）3b2的值。思路导航：把x12y1代入方程组ax3y152xby1得出一个关于a、b的方程组，求出方程组的解，再代入4（a4b）3b2进行计算即可。答案：因为x12y1是方程组ax3y152xby1的一个解，所以代入得：1115321ba，解得a24b0。所以4（a4b）3b24（2440）30296096。点评：这是一道求值问题，所求式子中字母的值是通过解方程组得到的，正确
3、理解方程组的解的定义是解答本题的关键。例题2 写出方程3x4y20的非正的整数解。思路导航：二元一次方程的解可以从不同的角度进行探究。一般情况下，应用一个未知数表示另一个未知数，然后猜测验证方程的特殊解。答案：移项，得4y203x，将y的系数化为1，得y534x，由此可得x必须是4的倍数时，y才可能是整数。令x0、4、8、，则y5、2、1、。所以原方程的非正的整数解为x0y5或x4y2。点评：要求二元一次方程的特殊解（如本题要求方程的解必须是零和负整数），需将方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后根据代数式的特点，经过多次检验，才能得到符合要求的解。知识点二：用代入消元法解二元一次方
4、程组 要点精讲：用代入法解二元一次方程组的一般步骤 用一个未知数表示另一个未知数代入转化成一元一次方程得一元一次方程的解代入求另一个未知数的值 典例精析：例题1 解方程组xy35x3（xy）1。思路导航：把代入即可求得x，然后把x的值代入即可求得y的值。答案：把代入得：5x331，解得，x2。把x2代入得：y1。所以方程组的解是x2y1。点评：用代入法解二元一次方程组时，一般情况下应选择系数较为简单的一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将其代入另一个方程。但有的时候应根据方程组的特点，采取灵活的代入方法，如本题可将xy做为一个整体代入，而不必用一个未知数表示另一个未知数再代入。例题2
5、用代入消元法解方程组x2y3132x3y432。思路导航：先将两个方程化简，再根据题目要求用代入消元法求解。答案：原方程化简得3x2y39 4x3y18，由得y393x2 把代入中得4x3393x218，解得x9。把x9代入中得y6。所以原方程组的解为x9y6。点评：方程组中的方程不是最简方程时，最好先将其化成最简方程，再选择合适的方法两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例题已知是方程组代入方程解方程。注意：用代入消元法解方程组时，由一个方程得出的表示式必须代到另一个方
6、程中去，稍有不慎就容易将其代到原方程中去。知识点三：用加减消元法解二元一次方程组 要点精讲：用加减法解二元一次方程组的一般步骤 将某个未知数的系数变得相同或相反两方程相加或相减转化成一元一次方程得一元一次方程的解求另一个未知数的值 典例精析：例题1 解方程组4（xy1）3（1y）2x2y32。思路导航：首先对原方程组化简，然后运用加减消元法求解。答案：原方程组可化为：4xy53x2y12，2得：11x22，所以x2，把x2代入得y3。所以方程组的解为x2y3。点评：可用加减消元法来解的二元一次方程组，一般来说，某个未知数的系数应成整数倍，并且要将它们变得相同或相反，所乘的数应尽量小，如果所乘的
7、这个数非常大，则不建议用此法。例题2 若3x2m5n94y4m2n72是关于x、y的二元一次方程，求（n1）2013m的值。思路导航：本题是应用二元一次方程的概念来解的一道题。其中x、y为元，当然其次数应为1，于是可以列出关于m、n的二元一次方程组，进而可以求出m、n。答案：由3x2m5n94y4m2n72是关于x、y的二元一次方程，得2m5n914m2n71，即2m5n8 4m2n8 ，2，12n24，解得n2。代入式或式中可求得m1。所求（n1）2013m（21）2014（1）20141。点评：本题主要考查二元一次方程的定义，m、n的值是通过方程组求得的，用加减法解二元一次方程组时，应根据
8、两个未知数的系数的特点灵活运用，如本题也可用12。例题1 在下列三个二元一次方程中，请你选择合适的两个方程组成二元一次方程组，然后求出方程组的解。可供选择的方程：y2x3，2xy5，4xy7。思路导航：根据二元一次方程组的定义（组成二元一次方程组的两个方程为各含两个未知数，且未知数的项的最高次数都是一次的整式方程）来组方程组，再选择合适的方法解方程组即可。答案：若选方程，得y2x3，2xy5，。将代入得4x8，解得x2，将x2代入，解得y1，故方程组的解是：x2y1。点评：本题主要考查了二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解法。解答此题时，两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不
9、大以选择题法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例题已知是方程组代入方程采用了“代入消元法”解二元一次方程组。若选择，用加减法较为合适。例题2 已知：不论k取什么实数，关于x的方程2kxa3xbk61（a、b是常数）的根总是x1，试求a、b的值。思路导航：首先把根x1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据“方程与k无关”的应满足的条件即可得a、b的值。答案：把x1代入原方程并整理得（b4）k72a，要使等式（b4）k72a不论k取什么实数均成立，只有满足b4072a0，解之得a72，b4。点评：解答这类问题时应注意两点，一是正确理
10、解“不论k取什么实数”，说明原方程与k无关，或k的系数为0；二是方程中字母较多，应注意分清已知数和未知数。1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。2.运用代入消元法解二元一次方程组的技巧和方法：（1）用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数比较简单的方程，并用一个未知数表示另一个未知数。（2）将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个
11、没有变形的方程中，以达到消元的目的）。（3）当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程，去求另一个未知数的值。它远比把这个值代入原方程组中的任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多。3.运用加减消元法解二元一次方程组的技巧和方法：运用加减消元法解方程组时，要观察两个方程同一个未知数的系数，如果系数相等，将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则将两个方程相加，消去该未知数，得到一个一元一次方程。4.一般来说，任何一个二元一次方程组都可以用代入法和加减消元法来解，但应根据方程组的特点灵活运用。第八章 8.38.4 实际问题与二元一次方程组和三元一次方程组的
12、解法 一、预习新知 1.小颖用 36 元买了两种邮票共 40 枚，其中一种面值 1 元，另一种面值 0.8 元，则小颖买了面值 1 元的邮票_枚，面值 0.8 元的邮票_枚。2.某单位申请了甲乙两种贷款共 35 万元，每年需付利息 2.2 万元，甲种贷款的年利率为6%，乙种为 6.5%，若设甲、乙两种贷款的数额分别为 x、y 万元，则根据题意，可列方程组为_。3.A、B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，同向而行，甲车 3 小时可追上乙车；相向而行，两车 1.5 小时相遇，那么甲、乙两车的速度分别为_。两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题法难
13、点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例题已知是方程组代入方程4.有一些苹果及苹果箱，若每箱装 25 千克，则剩余 40 千克无处装，若每箱装 30 千克，则余 20 只空箱，那么共有苹果_千克，苹果箱_只。5.方程组xy3yz22x3yz6的解为_。二、问题思考 1.列方程组解应用题的基本思路是什么？2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤是怎样的？3.什么是三元一次方程组，怎样解三元一次方程组？（答题时间：60 分钟）一、选择题 1.若x1y2是关于 x、y 的二元一次方程 ax3y1 的解，则 a 的值为（）A.5 B.1 C.2
14、D.7 2.已知a2b43a2b8，则 ab 等于（）A.3 B.83 C.2 D.1 3.二元一次方程 x2y1 有无数多个解，下列四组值中，不是该方程的解的是（）A.x0y12 B.x1y1 C.x1y0 D.x1y1 4.由方程组xm6y3m，可得出 x 与 y 的关系式是（）A.xy9 B.xy3 C.xy3 D.xy9 5.楠溪江某景点的门票价格：成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元。小明买 20 张门票共花了 1225 元，设其中有 x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（）A.xy2035x70y1225 B.xy2070 x35y1225 C.xy122
15、570 x35y20 D.xy122535x70y20 6.解方程组3m4n7 9m10n3 的最好方法是（）A.由得 m74n3再代入 B.由得 m10n39再代入 C.由得 3m4n7 再代入 D.由得 9m10n3 再代入*7.若3xy52x2y20，则 2x23xy 的值是（）A.14 B.4 C.12 D.12*8.已知x4y2与x2y5都是方程 ykxb 的解，则 k与 b 的值为（）A.k12，b4 B.k12，b4 两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例
16、题已知是方程组代入方程C.k12，b4 D.k12，b4*9.若使方程组3x5ya42x3ya的解 x 与 y 的和为 3，则 a 的值是（）A.7 B.4 C.0 D.4*10.若 4x3y6z0，x2y7z0（xyz0），则式子5x22y2z22x23y210z2的值等于（）A.12 B.192 C.15 D.13 二、填空题 11.已知2xm1y3与12xnymn是同类项，那么（nm）2012_。12.若有理数 x、y 满足方程（xy2）2x2y0，则 x2y3_。*13.已知方程组2a3b133a5b30.9的解为a8.3b1.2，则方程组2（x2）3（y1）133（x2）5（y1）3
17、0.9的解是_。*14.一个两位质数，它的个位数字与十位数字之差的绝对值等于 5，这样的两位质数是_。三、解答题 15.解下列二元一次方程组：（1）x3y5 3y82x；（2）4x3y11 2xy13 。*16.解方程组3x6y116x3y19，并求 xy的值。*17.儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打 8 折优惠，能比标价省 13.2 元。已知书包标价比文具盒标价的 3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？*18.已知 m 为整数，方程组4x3y66xmy26有整数解，求 m 的值。两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题法难
18、点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例题已知是方程组代入方程 1.D 解析：根据题意把x1y2代入 ax3y1，得 a321，解得 a7。2.A 解析：把两个方程相加得 4a4b12，方程的两边都除以 4 即可得出答案。3.B 解析：将 x、y 的值分别代入 x2y 中，看结果是否等于 1，判断 x、y 的值是否为方程 x2y1 的解。4.A 解析：把 my3 代入 xm6，得 xy36，即 xy9。5.B 解析：根据“小明买 20 张门票”可得方程 xy20；根据“成人票每张 70 元，儿童票每张 35 元，共花了 1225 元”可
19、得方程 70 x35y1225，把两个方程组合即可。6.C 解析：从答案上看，此题用代入法求解。A、B 都带有分数计算，D 代入时 9m 不能取代 3m，需除以 3，也带有分数计算，而 C 的代入只需在方程两边乘 3，即 9m12n21，后代入即可。可见方法 C 最简捷，最好计算，应选 C。7.B 解析：根据题意可得3xy502x2y20，解得x1y2，所以 2x23xy2（1）23（1）（2）4。8.A 解析：根据题意可得4kb22kb5，解得k12b4。9.A 解析：解方程组3x5ya42x3ya得x2a12ya8，所以 xy（2a12）（a8）3，解得 a7。10.D 解析：把 z 看成
20、已知数，解关于 x、y 的方程组4x3y6z0 x2y7z0，解得x3zy2z。因为xyz0，所以 z0，所以5x22y2z22x23y210z25（3z）22（2z）2z22（3z）23（2z）210z252z4z13。11.1 解析：由于2xm1y3与12xnymn是同类项，所以有m1n3mn，由 m1n 得1nm，所以（nm）2012（1）20121。注意本题不必求出 m、n 的值。12.8 解析：由题意得xy20 x2y0，解得 x4，y2，则 x2y38。13.x6.3y0.2 解析：根据题意可知x2ay1b，即x28.3y11.2，所以x6.3y0.2。14.61 或 83 解析：
21、设个位数字是 x，十位数字是 y，则xy5 即 xy5 或 yx5。满足题意的解是x6y1和x8y3，所以这样的两位质数是 61 或 83。15.解：（1）把代入得：3y82（3y5），解得 y2，把 y2 代入可得：x325，解得 x1，所以二元一次方程组的解为x1y2。（2）3 得 10 x50，解得 x5，把 x5 代入，得 25y13，解得 y3。所以方程组的解是x5y3。16.解：解方程组3x6y116x3y19得x3y13，所以 xy313 11。17.解：设书包和文具盒的标价分别为 x 元和 y 元，根据题意，得（xy）（10.8）13.2x3y6，解得x48y18。答：书包和文
22、具盒的标价分别为 48 元和 18元。两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例题已知是方程组代入方程18.解：4x3y6 6xmy26，23 得（2m9）y34，即 y342m9，因为原方程组的解是整数，所以只有当 2m91、2、17、34 时 y 才能是整数，又因为 m 也是整数，所以 2m9 一定是奇数，所以 2m91 或17，解得 m4、5、4、13。两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大以选择题法难点消元思想在解方程组中的运用二元一次方程的特殊解知识脉络图析二元一次方程方程二元一次方程组方程组例题已知是方程组代入方程