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1、精品资料 欢迎下载 第 12 炼 复合函数零点问题 一、基础知识：1、复合函数定义：设 yf t，tg x，且函数 g x的值域为 f t定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为 yfg x 2、复合函数函数值计算的步骤：求 ygf x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知 22,xf xg xxx，计算 2gf 解：2224f 2412gfg 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知 2xf x，22g xxx，若 0gf x，求x 解：令 tf x，则 20
2、20g ttt 解得0,2tt 当 0020 xtf x ，则x 当 2222xtf x ，则1x 综上所述：1x 由上例可得，要想求出 0gf x的根，则需要先将 f x视为整体，先求出 f x的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 f x的定义域为D，若存在0 xD，使得00f x，则称0 xx为 f x的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程 0gf x根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于 f x的方程，观察有几个 f x的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 f x的值求出每一个 f x被几个
3、x对应，将x的个数汇总后即为 0gf x的根的个数 6、求解复合函数 ygf x 零点问题的技巧：精品资料 欢迎下载（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 ,f xg x的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 f x的方程 0gf x中 f x解的个数，再根据个数与 f x的图像特点，分配每个函数值 ifx被几个x所对应，从而确定 ifx的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数：二、典型例题 例1：设 定 义 域 为R的 函 数 1,111,1xxf xx，若 关 于x的 方 程 20fxbf xc 由 3 个不同的解123,x xx，则222123xxx_
4、 思路：先作出 f x的图像如图：观察可发现对于任意的0y，满足 0yf x的x的个数分别为 2 个（000,1yy）和 3 个（01y），已知有 3 个解，从而可得 1f x 必为 20fxbf xc 的根，而另一根为1或者是负数。所以1if x，可解得：1230,1,2xxx，所以2221235xxx 答案：5 例 2：关于x的方程 22213120 xx 的不相同实根的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.8 思路：可将21x 视为一个整体，即 21t xx，则方程变为2320tt 可解得：1t 或2t，则只需作出 21t xx的图像，然后统计与1t 与2t 的交点总数即可，共有 5 个
5、 答案：C 例 3：已知函数11()|f xxxxx，关于x的方程2()()0fxa f xb（,a bR）恰有 6 个不同实数解，则a的取值范围是 数值例如已知计算解已知函数值求自变量的步骤若已知函数值求的解则解这种思路也用来解决复合函数零点问题先回顾零点的定义函数的零点的值使得等式成立第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应将精品资料 欢迎下载 思路：所解方程2()()0fxa f xb 可视为 20f xa f xb，故考虑作出 f x的图像：2,12,012,102,1xxxxf xxxxx ，则 f x的图像如 图，由 图 像 可 知，若 有 6 个 不 同 实 数 解，则 必
6、有 122,02fxfx，所以 122,4afxfx，解得42a 答案：42a 例 4：已知定义在R上的奇函数，当0 x 时，121,0212,22xxf xf xx，则关于x的方程 2610f xf x 的实数根个数为（）A.6 B.7 C.8 D.9 思路：已知方程 2610f xf x 可解，得 1211,23fxfx，只需统计11,23yy 与 yf x的交点个数即可。由奇函 数 可 先 做 出0 x 的 图 像，2x 时，122f xf x，则2,4x的图像只需将0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有 7 个交点 答
7、案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例 5：若函数 32f xxaxbxc 有极值点12,x x，且11f xx，则关于x的方程 2320f xafxb 的不同实根的个数是（）A3 B4 C5 D6 数值例如已知计算解已知函数值求自变量的步骤若已知函数值求的解则解这种思路也用来解决复合函数零点问题先回顾零点的定义函数的零点的值使得等式成立第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应将精品资料 欢迎下载 思路：232fxxaxb由极值点可得：12,x x为2320 xaxb 的两根，观察到方程与 2320f xafxb 结构完全相同，所以 可 得 2320
8、f xafxb 的 两 根 为 1122,fxxfxx，其中111fxx，若12xx，可 判 断 出1x是 极 大 值 点，2x是 极 小 值 点。且 2211fxxxf x，所以 1yfx与 f x有两个交点，而 2fx与 f x有一个交点，共计 3 个；若12xx，可判断出1x是极小值点，2x是极大值点。且 2211fxxxf x，所以 1yfx与 f x有两个交点，而 2fx与 f x有一个交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案：A 例 6：已知函数 243f xxx，若方程 20f xbf xc 恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A.2,0 B.2,1 C.0
9、,1 D.0,2 思路：考虑通过图像变换作出 f x的图像（如图），因为 20f xbf xc 最多只能解出 2 个 f x，若要出七个根，则 121,0,1fxfx，所以 121,2bfxfx，解得：2,1b 答案：B 例 7：已知函数 xxfxe，若关于x的方程 210fxmfxm 恰有 4 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.1,22,eeU B.1,1e C.11,1e D.1,ee 数值例如已知计算解已知函数值求自变量的步骤若已知函数值求的解则解这种思路也用来解决复合函数零点问题先回顾零点的定义函数的零点的值使得等式成立第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应将精品资料
10、 欢迎下载 思路：,0,0 xxxxef xxxe，分析 f x的图像以便于作图，0 x 时，1xfxx e，从而 f x在0,1单调递增，在1,单调递减，11fe，且当,0 xy ，所以x正半轴为水平渐近线；当0 x 时，1xfxxe，所以 f x在,0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于 f x的方程 210fxmfxm 中，12110,fxfxee，从而将问题转化为根分布问题，设 tf x，则210tmtm 的两根12110,ttee，设 21g ttmtm ，则有 20010111100gmmmgeee ，解得11,1me 答案：C 小炼有话说：本题是作图与根
11、分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例 8：已知函数 21,0log,0axxf xx x，则下列关于函数 1yff x的零点个数判断正确的是（）A.当0a 时，有 4 个零点；当0a 时，有 1 个零点 B.当0a 时，有 3 个零点；当0a 时，有 2 个零点 C.无论a为何值，均有 2 个零点 D.无论a为何值，均有 4 个零点 思路：所求函数的零点，即方程 1ff x的解的个数，先作出 f x的图像，直线1yax为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当0a 时，图像如图所示，先拆外层
12、可得 12210,2fxfxa，而 1fx有两个对应的x，2fx也数值例如已知计算解已知函数值求自变量的步骤若已知函数值求的解则解这种思路也用来解决复合函数零点问题先回顾零点的定义函数的零点的值使得等式成立第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应将精品资料 欢迎下载 有两个对应的x，共计 4 个；当0a 时，f x的图像如图所示，先拆外层可得 12f x，且 12f x 只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出 A正确 答案：A 例9：已 知 函 数 232211,0231,31,0 xxf xxxg xxx ，则 方 程 0gf xa（a为正实数）的实数根最多有_个 思路：先
13、通过分析 ,f xg x的性质以便于作图，23632fxxxx x，从而 f x在,0,2,单 增，在 0,2单 减，且 01,23ff，g x为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取 f x能对应x较多的情况，由 f x图像可得，当 3,1f x 时，每个 f x可对应 3 个x。只需判断 gf xa中，f x能在 3,1取得的值的个数即可，观察 g x图像可得，当51,4a时，可以有 2 个 3,1f x ，从而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案：6 个 数值例如已知计算解已知函数值求自变量的步骤若已知函数值求的解则解这种思路也用来解决复合函数零点问题先
14、回顾零点的定义函数的零点的值使得等式成立第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应将精品资料 欢迎下载 例 10：已知函数 yf x和 yg x在 2,2的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程 0fg x有且只有 6 个根（2）方程 0gf x有且只有 3 个根（3）方程 0ff x有且只有 5 个根（4）方程 0g g x有且只有 4 个根 则正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数。（1）中可得 1232,1,0,1,2gxgxgx ，进而 1gx有 2 个对应的x，2gx有 3 个，3gx有
15、 2 个，总计 7 个，（1）错误；（2）中可得 122,1,0,1fxfx ，进而 1fx有 1 个对应的x，2fx有 3 个，总计 4 个，（2）错误；（3）中可得 1232,1,0,1,2fxfxfx ，进而 1fx有 1 个对应的x，2fx有 3 个，3fx有 1 个，总计 5 个，（3）正确；（4）中可得：122,1,0,1gxgx ，进而 1gx有 2 个对应的x，2gx有 2个，共计 4 个，（4）正确 则综上所述，正确的命题共有 2 个 答案：B 数值例如已知计算解已知函数值求自变量的步骤若已知函数值求的解则解这种思路也用来解决复合函数零点问题先回顾零点的定义函数的零点的值使得等式成立第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应将