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1、精品学习资源第 12 炼 复合函数零点问题一、基础学问：1、复合函数定义：设yft ， tg x ，且函数 g x 的值域为ft定义域的子集， 那么 y 通过 t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是 x的复合函数，记为yfg x2、复合函数函数值运算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的次序，一层层欢迎下载精品学习资源求出函数值；例如：已知fx2x, g xx2x，运算 gf2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： f2224gf2g 412欢迎下载精品学习资源3、已知函数值求自变量的步骤：假设已知函数值求x 的解，就遵循“由外到内”的次序，欢迎下载精品学习资源一层层拆解直到求出
2、x 的值；例如：已知 fx2x ，g xx22x ，假设gfx0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求 x解：令 tfx ，就 g t0t 22t0 解得 t0, t2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 t0fx02x0 ，就 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 t2fx22x2 ，就 x1欢迎下载精品学习资源综上所述： x1欢迎下载精品学习资源由上例可得，要想求出gfx0 的根，就需要先将fx 视为整体，先求出fx欢迎下载精品学习资源的值，再求对应 x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回忆零点的定义：欢迎下载精品学习资源4、函数的零点：设fx 的定义域为
3、D ，假设存在 x0D ，使得f x00 ，就称xx0欢迎下载精品学习资源为 fx 的一个零点欢迎下载精品学习资源5、复合函数零点问题的特点： 考虑关于 x 的方程g fx0 根的个数， 在解此类问题时，欢迎下载精品学习资源要分为两层来分析，第一层是解关于fx 的方程，观看有几个fx 的值使得等式成立； 其次层是结合着第一层fx 的值求出每一个fx 被几个 x 对应，将 x的个数汇总后即为gfx0 的根的个数6、求解复合函数 ygfx零点问题的技巧：欢迎下载精品学习资源1此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开头要作出f x , g x 的图像欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2假
4、设已知零点个数求参数的范畴，就先估量关于fx 的方程g fx0 中 fx 解欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的个数，再依据个数与fx 的图像特点，安排每个函数值f ix 被几个 x 所对应，从而确欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源定 fix 的取值范畴，进而打算参数的范畴欢迎下载精品学习资源复合函数：欢迎下载精品学习资源二、典型例题例 1 ： 设 定 义 域 为 R 的 函 数 fx1, x1x11, x1， 假 设 关 于 x 的 方 程欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f 2xbfxc0 由 3 个不同的解x , x, x ，就 x2x 2x2欢迎下载精品学习资源123
5、123欢迎下载精品学习资源思路：先作出fx 的图像如图：观看可发觉对于任意的y0 ，满意 y0fx 的 x 的个数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分别为 2 个 y00, y01 和 3 个y01 ，已知有 3 个解，从而可得fx1必为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f 2xbfxc0 的根，而另一根为1 或者是负数；所以fxi1 ，可解得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源123x0, x1,x2 ，所以 x2x2x25欢迎下载精品学习资源123答案： 52例 2：关于 x 的方程 x2123 x120 的不相同实根的个欢迎下载精品学习资源数是A.3B.4C.5欢迎下载
6、精品学习资源D.8思路：可将x21 视为一个整体，即t xx21，就方程变为t23t20 可解得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源t1 或 t2 ，就只需作出txx21 的图像，然后统计与 t1 与 t2 的交点总数即可，欢迎下载精品学习资源共有 5 个答案： C欢迎下载精品学习资源例 3 ： 已 知 函 数f x| x1 | x1xx| ， 关 于 x 的 方 程f 2 xa f xb0欢迎下载精品学习资源 a, bR 恰有 6 个不同实数解，就 a 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源思路：所解方程f 2 xa f x2b 0 可视为 fxa fxb0 ，故考虑作出欢迎下载精品学习资源
7、2 , x1xfx的图像：fx2x,02 x,x11x0， 就 fx的图像2 , x1x如 图 ， 由 图 像 可 知 ， 假 设 有 6个 不 同 实 数 解 ， 就 必 有欢迎下载精品学习资源f1 x2,0f2x2 ，所以af1xf2x2,4 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 4a2答案：4a22x 11,0x2欢迎下载精品学习资源例 4：已知定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， fx1 fx22 , x，就关于 x的方2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2程 6fxfx10 的实数根个数为欢迎下载精品学习资源A.6B.7C.8D.9211欢迎下载精品学习资源思路：已
8、知方程6fxfx10 可解，得f1 x, f 2x，只需统计欢迎下载精品学习资源2311y, y与 yfx 的交点个数即可；由奇23欢迎下载精品学习资源函 数 可 先 做 出 x10 的 图 像 ， x2 时 ，欢迎下载精品学习资源fxfx 22， 就 x2,4的 图 像只需 将欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x0,2的图像纵坐标缩为一半即可；正半轴图像欢迎下载精品学习资源完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像；通过数形结合可得共有7 个交点答案： B32小炼有话说 ： 在作图的过程中，留意确定分段函数的边界点属于哪一段区间；欢迎下载精品学习资源例 5：假设函数fxxaxbxc 有极
9、值点x1 , x2 ，且fx1x1 ，就关于 x 的方程欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源23fx2afxb0 的不同实根的个数是欢迎下载精品学习资源A 3B 4C5D 6欢迎下载精品学习资源思路： f x3x22axb 由极值点可得：x , x 为 3x22axb0的两根，观看欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源122到方程与 3fx2afxb0 结构完全相同， 所欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以可得23fx2 afxb0的两根为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f1 xx1, f2xx2 ，其中 f1 x1x1 ，假设 x1x2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品
10、学习资源可 判 断 出x1 是 极 大 值 点 ，x2 是 极 小 值 点 ； 且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f2 xx2x1fx1，所以yf1x 与 fx 有两欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源个交点，而f 2 x 与 fx 有一个交点，共计3 个；假设欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x2 ，可判定出x1 是微小值点，x2 是极大值点；且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f2 xx2x1fx1，所以yf1x 与 fx 有两个交点，而f2x 与 fx 有一个欢迎下载精品学习资源交点，共计 3 个；综上所述，共有3 个交点欢迎下载精品学习资源答案： A例 6：
11、已知函数fxx24 x3 ，假设方程2fxbfxc0 恰有七个不相同欢迎下载精品学习资源的实根，就实数b 的取值范畴是A.2,0B.2, 1C.0,1D.0,2思路：考虑通过图像变换作出fx的图像如图，由于欢迎下载精品学习资源2fxbfxc0 最多只能解出2 个 fx ，假设要出欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源七个根，就f1 x1, f2 x0,1，所以欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bf1xf2 x1,2，解得： b2, 1欢迎下载精品学习资源答案： B欢迎下载精品学习资源例 7：已知函数 fxxx ，假设关于 x 的方程ef 2xmfxm10 恰有 4 个不相欢迎下载精品学
12、习资源等的实数根，就实数m 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源1A.,22, ee1B.,1e1C.1,1e1D.,ee欢迎下载精品学习资源思路： fxxx , xe0，分析 fx 的图像以便于作图，欢迎下载精品学习资源xx , x0 ex欢迎下载精品学习资源x0 时， f x1x e，从而 fx 在 0,1 单调递增，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 1,单调递减， f11，且当 xxe, y0 ，所以 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源正半轴为水平渐近线；当x0 时， fxx1 e，所以欢迎下载精品学习资源f x 在,0 单调递减； 由此作图， 从图像可得， 假设恰有 4
13、个不等实根， 就关于 fx欢迎下载精品学习资源的方程f 2 xmfxm10中， fx0, 1 , fx1 ,12ee，从而将问题转欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源化为根分布问题，设 tfx ，就 t2mtm10 的两根 t0, 1 , t1 ,，设12ee欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g 00m10欢迎下载精品学习资源g tt 2mtm1 ，就有111，解得 m1,11欢迎下载精品学习资源ge0e2mm10ee欢迎下载精品学习资源答案： C小炼有话说： 此题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中仍要留意渐近线的细节，从而保证
14、图像的精确；欢迎下载精品学习资源例 8：已知函数fxax1, x0，就以下关于函数yffx1 的零点个数判定欢迎下载精品学习资源log 2 x, x0正确的选项是欢迎下载精品学习资源A. 当 aB. 当 a0 时，有 4 个零点；当 a0 时，有 3 个零点；当 a0 时，有 1 个零点0 时，有 2 个零点欢迎下载精品学习资源C. 无论 a 为何值，均有 2 个零点D. 无论 a 为何值，均有 4 个零点欢迎下载精品学习资源思路：所求函数的零点，即方程ffx1 的解的个数，先作出fx 的图像，直线欢迎下载精品学习资源yax1 为过定点 0,1 的一条直线， 但需要对 a 的符号进行分类争论；
15、 当 a0 时，图像欢迎下载精品学习资源如下图，先拆外层可得f1 x20,af2x1，而 f1 x有两个对应的 x ，2f 2 x也欢迎下载精品学习资源有两个对应的x ，共计 4 个；当 a0 时， fx 的图像如下图，先拆外层可得1fx，2欢迎下载精品学习资源且 fx1 只有一个满意的 x ，所以共一个零点；结合选项，可判定出A 正确2欢迎下载精品学习资源答案： A欢迎下载精品学习资源例9 ： 已 知 函 数f xx33x21,g x2x11,x20， 就 方 程欢迎下载精品学习资源2x31,x0g fxa0 a 为正实数的实数根最多有 个欢迎下载精品学习资源思 路 ： 先 通 过分 析fx
16、 , g x的 性质 以 便 于 作 图 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x3x26x3x x2， 从 而fx在欢迎下载精品学习资源,0 , 2,单增 ，在0,2单减 ，且f01, f23 ， gx 为分段函数， 作出每段图像即可，如下图， 假设要实数根最多， 就要优先选取 fx 能对应 x 较多的情形， 由 fx 图像可得， 当 fx3,1时，每个 fx 可对应 3 个 x ；只需判定 gfxa 中，fx 能在3,1 取得的值的个数即可，观看g x 图像欢迎下载精品学习资源可得，当 a1, 54时，可以有2 个 fx3,1 ，从欢迎下载精品学习资源而能够找到 6 个根，即最多的
17、根的个数答案： 6 个欢迎下载精品学习资源例 10：已知函数 yfx 和 yg x 在2,2 的图像如下，给出以下四个命题：1方程fgx0 有且只有6 个根2方程gfx0 有且只有3 个根3方程ffx0 有且只有5 个根4方程ggx0 有且只有4 个根就正确命题的个数是A.1B.2C.3D.4思路： 每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 x的总数；欢迎下载精品学习资源1中可得g1 x2, 1 , g2 x0, g3 x1,2，进而 g1x 有 2 个对应的 x，欢迎下载精品学习资源g2 x 有 3 个， g3x 有 2 个，总计 7 个，1错误；欢迎下载精品学习资源2中可得f1 x2,1 , f2 x0,1，进而 f1x 有 1 个对应的 x ， f2x 有 3 个，欢迎下载精品学习资源总计 4 个， 2错误；欢迎下载精品学习资源3中可得f1 x2, 1 , f2x0, f3 x1,2，进而f1 x 有 1 个对应的 x，欢迎下载精品学习资源f2 x 有 3 个， f3 x 有 1 个，总计 5 个，3正确；欢迎下载精品学习资源4中可得： g1x2, 1 , g2x0,1，进而 g1x 有 2 个对应的 x ， g2x 有 2欢迎下载精品学习资源个，共计 4 个，4正确就综上所述，正确的命题共有2 个答案： B欢迎下载