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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第 12 炼 复合函数零点问题一、基础学问：1、复合函数定义：设 y f t , t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函数,称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x2、复合函数函数值运算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“ 由内到外” 的次序,一层层求出函数值；例如：已知 f x 2 , x g x x 2 x,运算 g f 22解：f 2 2 4 g f 2 g 4 123、已知函数值求自变量的步骤：如已知函数值求x 的解,就遵循“ 由外到内
2、” 的次序,一层层拆解直到求出x 的值；例如：已知fx2x,g xx22x ,如gfx0,求 x名师归纳总结 解：令 tfx ,就g t0t22 t0解得t0,t2第 1 页,共 7 页当t0fx02x0,就 x当t2fx22x2,就x1综上所述：x1由上例可得,要想求出gfx0的根,就需要先将fx 视为整体,先求出fx的值,再求对应x 的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回忆零点的定义：4、函数的零点：设fx 的定义域为 D ,如存在x0D ,使得fx 00,就称xx 为fx 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程g fx0根的个数, 在解此类问题时,要分为两层来
3、分析,第一层是解关于fx 的方程,观看有几个fx 的值使得等式成立；其次层是结合着第一层fx 的值求出每一个fx 被几个 x 对应,将 x 的个数汇总后即为gfx0的根的个数6、求解复合函数ygfx零点问题的技巧：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载fx,g x 的图像（1）此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开头要作出（2）如已知零点个数求参数的范畴,就先估量关于 f x 的方程 g f x 0 中 f x 解的个数,再依据个数与 f x的图像特点,安排每个函数值 if x 被几个 x 所对应,从而确定 if x 的取值范畴,进
4、而打算参数的范畴复合函数：二、典型例题1, x 1例 1 ： 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f x x 1, 如 关 于 x 的 方 程1, x 12 2 2 2f x bf x c 0 由 3 个不同的解 x x 2 , x ,就 x 1 x 2 x 3 _ 思路：先作出 f x 的图像如图：观看可发觉对于任意的 y ,满意 y 0 f x 的 x 的个数分别为 2 个（y 0 0, y 0 1）和 3 个（y 0 1）,已知有 3 个解,从而可得 f x 1 必为2f x bf x c 0 的根,而另一根为 1 或者是负数；所以 f x i 1,可解得：2 2 2x 1 0, x 2
5、 1, x 3 2,所以 x 1 x 2 x 3 5答案： 5 例 2：关于 x 的方程x2123x2120的不相同实根的个3 t20可解得：数是（）C. 5 A. 3 B. 4 D. 8 t xx21,就方程变为t2思路：可将2 x1视为一个整体,即t1或t2,就只需作出t xx21的图像,然后统计与t1与t2的交点总数即可,共有 5 个答案： C 名师归纳总结 例3 ： 已 知 函 数f x |x1|x1|, 关 于 x 的 方 程f2 a f x b0第 2 页,共 7 页xx（ , a bR ）恰有 6 个不同实数解,就a 的取值范畴是- - - - - - -精选学习资料 - - -
6、 - - - - - - 思路：所解方程f2 a f x 精品资料欢迎下载2a fxb0,故考虑作出b0可视为fx2 , xx1x2,就关于 x 的方fx的图像：fx2 ,0x10, 就 fx的图像2 , 1x2 , xx1如 图 , 由 图 像 可 知 , 如 有6个 不 同 实 数 解 , 就 必 有f 1x2,0f2x2,所以af 1xf2x2,4,解得4a2答案：4a2例 4：已知定义在 R 上的奇函数,当x0时,fx2xf1x1,012 ,x22程6fx2fx10的实数根个数为（）91 3,只需统计A. 6B. 7C. 8D. 思路：已知方程6fx2fx10可解,得f 1x1,f2x
7、2y1,y1与 yfx 的交点个数即可；由奇23函 数 可 先 做 出x0的 图 像 ,x2时 ,fx1fx2, 就x2,4的 图 像 只需 将2x0,2的图像纵坐标缩为一半即可；正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像；通过数形结合可得共有 7 个交点答案： B 小炼有话说 ：在作图的过程中,留意确定分段函数的边界点属于哪一段区间；名师归纳总结 例 5：如函数fx3 x2 axbxc 有极值点x x ,且fx 1x ,就关于x 的方程第 3 页,共 7 页）3fx22 afxb0的不同实根的个数是（A3 B4 C5 D6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - -
8、- - - - 思路：fx3x22 ax精品资料欢迎下载3x22axb0的两根,观看b 由极值点可得：x x 为到方程与3fx22 afxb0结构完全相同, 所2fx 与 fx 有一个以可得3fx22 afxb0的两根为f 1xx 1,f2xx ,其中 2f 1x 1x ,如 1x 1x ,可 判 断 出1x 是 极 大 值 点 ,x2是 极 小 值 点 ； 且f2xx 2x 1fx 1,所以yf1x 与 fx 有两个交点,而2fx与 fx 有一个交点,共计3 个；如x 1x ,可判定出1x 是微小值点,x 是极大值点；且f2xx 2x 1fx 1,所以yf1x 与 fx 有两个交点,而交点,
9、共计3 个；综上所述,共有3 个交点答案： A 例 6：已知函数f xx24x3,如方程fx2bfxc0恰有七个不相同的实根,就实数 b 的取值范畴是（）D. 0,2A. 2,0B. 2, 1C. 0,1思路：考虑通过图像变换作出fx的图像（如图）,由于fx2bfxc0最多只能解出2 个 fx ,如要出七个根,就f 1x1,f 2x0,1,所以bf1xf2x1,2,解得：b2, 1答案： B 名师归纳总结 例 7：已知函数fxx,如关于 x 的方程f2xmf xm10恰有 4 个不相等第 4 页,共 7 页x e的实数根,就实数m 的取值范畴是（）C. 1,11 eD. 1 ,e eA. 1
10、,2 eU2,eB. 1,1 e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路：fxx,xx00精品资料欢迎下载ex,分析 fx 的图像以便于作图,x,x e xx 0 时,f x 1 x e,从而 f x 在 0,1 单调递增,在 1, 单调递减,f 1 1,且当 x , y 0,所以 xe x正半轴为水平渐近线；当 x 0 时,f x x 1 e,所以f x 在 ,0 单调递减； 由此作图, 从图像可得, 如恰有 4 个不等实根, 就关于 f x 的方程 f 2x mf x m 1 0 中,f 1 x 0, 1, f 2 x 1,从而将问题转化e e为根分
11、布问题,设 t f x ,就 t 2mt m 1 0 的两根 t 1 0, 1 , t 2 1 ,设e eg 0 0 m 1 0g t t 2mt m 1,就有g 10 12 m 1 m 1 0,解得 m 1,1 1ee e e答案： C 小炼有话说： 此题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中仍要留意渐近线的细节,从而保证图像的精确；名师归纳总结 例 8：已知函数fxax21,x0,就以下关于函数yffx1的零点个数判定第 5 页,共 7 页logx x0正确选项（）A. 当a0时,有 4 个零点；当a0时,有 1 个零点B. 当a0时,有
12、 3 个零点；当a0时,有 2 个零点C. 无论a为何值,均有2 个零点D. 无论 a 为何值,均有4 个零点思路：所求函数的零点,即方程ffx1的解的个数,先作出fx 的图像,直线yax1为过定点0,1 的一条直线, 但需要对 a 的符号进行分类争论；当a0时,图像如下列图, 先拆外层可得f 1x20,f2x1,而1fx 有两个对应的x ,2fx 也a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有两个对应的精品资料欢迎下载fx1,x ,共计 4 个；当a0时, fx 的图像如下列图, 先拆外层可得2且fx1只有一个满意的x ,所以共一个零点；结合选项,可判定
13、出A 正确2答案： A 例9 ： 已 知 函 数fxx33 x21, g xx121,x0, 就 方 程2x321, x0gfxa0（ a 为正实数）的实数根最多有_个思 路 ： 先 通 过 分 析fx,g x的 性 质 以 便 于 作 图 ,fx3 x26x3 x x2,从而fx在,0 , 2,单增,在0,2单减,且f01,f23, g x 为分段函数, 作出每段图像即可,如下列图, 如要实数根最多, 就要优先选取fx 能对应 x 较多的情形, 由 fx 图像可得, 当fx3,1时,每个 fx 可对应 3 个 x ；只需判定 gfxa 中,fx 能在3,1 取得的值的个数即可,观看g x 图
14、像可得,当a1,5时,可以有2 个fx3,1,从4而能够找到6 个根,即最多的根的个数答案： 6 个名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10：已知函数 yfx 和 y精品资料欢迎下载g x 在2,2 的图像如下,给出以下四个命题：（1）方程 f g x 0 有且只有 6 个根（2）方程 g f x 0 有且只有 3 个根（3）方程 f f x 0 有且只有 5 个根（4）方程 g g x 0 有且只有 4 个根就正确命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 x 的总思路： 每个方程都可通过图像先拆掉第
15、一层,找到内层函数能取得的值,从而统计出数；（1）中可得g 1x2, 1 ,g2x0,g 3x1,2,进而g 1x 有 2 个对应的 x,g 2x 有 3 个,g 3x 有 2 个,总计 7 个,（1）错误；x 有 1 个对应的 x ,2fx 有 3 个,（2）中可得f 1x2, 1 ,f2x0,1,进而1f总计 4 个,（ 2）错误；（3）中可得f1xx2, 1 ,f2x0,f3x1,2,进而1fx 有 1 个对应的 x,2fx 有 3 个,3fx 有 1 个,总计 5 个,（3）正确；（4）中可得：g 12, 1 ,g 2x0,1,进而g 1x 有 2 个对应的 x,g2x 有 2个,共计 4 个,（4）正确就综上所述,正确的命题共有 2 个答案： B 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页