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1、 一、理论力学的研究对象一、理论力学的研究对象理论力学：理论力学：是研究物体机械运动机械运动一般规律以及物体间的 机械相互作用机械相互作用的一门学科。Introduction绪绪论论1 机械运动：机械运动：是物体或其各部分在空间的相对位置 随时间的变化。机械相互作用机械相互作用：是指能够改变物体机械运动状态 或物体形状的各种作用描述机械运动的基本量描述机械运动的基本量：质量、时间、位移、力等2静力学：静力学：运动学：运动学：动力学：动力学：.研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。研究受力物体的运动变化与作用
2、力之间的关系。二、理论力学的研究内容二、理论力学的研究内容31、抽象化方法、抽象化方法 如质点、刚体等概念2、演绎方法、演绎方法（从公理出发，借助数学工具推理出经典力学的全部推论）如牛顿定律动量定理动量矩定理三、理论力学的研究方法三、理论力学的研究方法4 早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。意大利的达芬奇(14521519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(14731543)创立宇宙“日心说”。德国的开普勒(15711630)提出行星运动三定律。四、理论力学的发展史四、理论力学的发展史5 意大利的伽利略(15641642)自由落体规律、惯性定律及加速度的
3、概念。英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等。是力学奠基人。6 Bernoulli(Swiss,16671748)found the principle of virtual displacements.瑞士的伯努利(16671748)虚位移原理。Euler(Swiss,17071783)published the book Mechanics which used differential equations to study mechanics.瑞士的欧拉(17071783)著作分析力学用微分
4、方程研究。.7 DAlembert(French,17171785)evolved dAlemberts principle法国达朗伯(17171785)名著动力学专论达朗伯原理。Lagrange(French,17361813)brought forward the lagrange equations of the second kind.法国拉格朗日(17361813)提出第二类拉格朗日方程。8五、理论力学的适用范围五、理论力学的适用范围1.物体运动的速度远少于光速物体运动的速度远少于光速2.宏观物体（天体宏观物体（天体-原子）原子）作用量作用量=能量能量x时间时间h=6.602X10(
5、-34)（JS）9参考书v郭士堃：理论力学上、下册vH.戈德斯坦（美）：经典力学v费恩曼（Feynman)：物理学讲义.第一卷）v汪家訸：分析力学v理论力学习题集10111.11.1 运动的描述方法运动的描述方法运动的描述方法运动的描述方法 1.21.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式 1.41.4质点运动定律质点运动定律质点运动定律质点运动定律 1.51.5质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程质点运动微分方程 1.71.7功与能功与能功与能功与能 1.91.9有心力有心力有心力有心力 12具有一定质量的几何点。具有
6、一定质量的几何点。具有一定质量的几何点。具有一定质量的几何点。可以在空间自由移动的质点。确定它在空可以在空间自由移动的质点。确定它在空可以在空间自由移动的质点。确定它在空可以在空间自由移动的质点。确定它在空间的位置需要三个独立变量。间的位置需要三个独立变量。间的位置需要三个独立变量。间的位置需要三个独立变量。质点质点自由质点自由质点参照系参照系坐标系坐标系为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设
7、置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。计算系统计算系统=坐标系坐标系+时间时间13运动方程：物体的运动位置随时间的变化关系运动方程：物体的运动位置随时间的变化关系 具体一般选择直角坐标系、极坐标系具体一般选择直角坐标系、极坐标系和自然坐标系来描述具体问题和自然坐标系来描述具体问题直角坐标系14从从运动方程运动方程中消去时间中消去时间 t，就得到，就得到轨迹方程轨迹方程 f(x,y,z)=0。自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系极坐标系极坐标系 15设质点作曲线运动设质点作曲线运动t时刻位于时刻位于A点，位矢点，位矢，t+t时刻位于时刻位于B点，位矢。点，位矢。(Displa
8、cement,velocity and acceleration)位移位移位移位移(displacement)(displacement)：16速度速度速度速度是位矢随时间的变化率。是位矢随时间的变化率。是位矢随时间的变化率。是位矢随时间的变化率。速度的大小：速度的大小：17加速度加速度加速度加速度是指速度随时间变化率。是指速度随时间变化率。是指速度随时间变化率。是指速度随时间变化率。加速度的大小和方向？极限定义法18由由由由求导可得：求导可得：求导可得：求导可得：速度速度速度速度表示：表示：表示：表示：速率速率速率速率的表示：的表示：的表示：的表示：19加速度加速度加速度加速度表示：表示：表
9、示：表示：加速率加速率加速率加速率表示：表示：表示：表示：加速度加速度分量为分量为：202122（指向极角的 增加方向）径向单位矢量：径向单位矢量：横向单位矢量：横向单位矢量：23于是得到于是得到于是得到于是得到径向速度径向速度横向速度横向速度24速度的变化为速度大小的速度的变化为速度大小的变化及方向方向的变化二变化及方向方向的变化二者产生效果的叠加！者产生效果的叠加！径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度25推广到柱坐标推广到柱坐标推广到柱坐标推广到柱坐标:26例例小小船船M M被被水水冲冲走走后后，用用一一绳绳将将它它拉拉回回岸岸边边A A点点。假假定定水水流流速速度度C C1 1沿沿河
10、河岸岸不不变变，而而拉拉绳绳子子的的速速度度为为C C2 2。如如果果小小船船可可以以看看作作一一个质点，求小船的轨迹。个质点，求小船的轨迹。2728例例已知一质点的运动方程为，其中已知一质点的运动方程为，其中b b、c c为常数。为常数。求其速度、加速度。求其速度、加速度。29vv把轨道的切线和法线作为坐标系，称为把轨道的切线和法线作为坐标系，称为把轨道的切线和法线作为坐标系，称为把轨道的切线和法线作为坐标系，称为自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系。(Natural Coordinate System)（法向指向曲线凹侧）（法向指向曲线凹侧）（法向指向曲线凹侧）（法向指向曲线凹侧）切向
11、切向切向切向:法向法向法向法向:是切线方向与ox轴的夹角（曲线弧长s为坐标变量）30速度大小：速度方向速度方向为曲线的切线方向，是S 增加的方向31加速度：加速度：32（为曲率半径）为曲率半径）为曲率半径）为曲率半径）因为ds0,所以要求d0弧坐标具有以下弧坐标具有以下要素：要素：1、有、有坐标原点坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)2、一般以点的运动方向作为正、一般以点的运动方向作为正向向3、有相应的、有相应的坐标系坐标系(自然轴系自然轴系)弧坐标运动方程：弧坐标运动方程：（动点沿轨迹的运动方程）（动点沿轨迹的运动方程）33密切面密切面曲线上无
12、限靠近的两点的切线构成的平面叫做曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该点的该点的该点的该点的密切面密切面密切面密切面。在密切面内，在密切面内，在密切面内，在密切面内，与与与与 同向，同向，同向，同向，故故故故 在密切面内，所以在密切面内，所以在密切面内，所以在密切面内，所以 在密切在密切在密切在密切面内面内面内面内。在密切面内并和切线垂直的在密切面内并和切线垂直的在密切面内并和切线垂直的在密切面内并和切线垂直的过切点的法向矢量叫过切点的法向矢量叫过切点的法向矢量叫过切点的法向矢量叫主法线主法线主法线主法线，单位
13、矢量为或。单位矢量为或。单位矢量为或。单位矢量为或。Osculationplane34定定定定义义义义:垂垂垂垂直直直直于于于于密密密密切切切切面面面面,称称称称为为为为副副副副发发发发线线线线方向单位矢方向单位矢方向单位矢方向单位矢，(,)构构构构成成成成空空空空间间间间正正正正交自然坐标系。交自然坐标系。交自然坐标系。交自然坐标系。其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关（其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关（其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关（其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关（内内内内禀方程禀方程禀方程禀方程）。）。）。）。35例一质点沿螺线运动
14、，例一质点沿螺线运动，求。求。36例例求平抛物体任一时刻求平抛物体任一时刻t t的轨道曲率半径。的轨道曲率半径。解：如图解：如图,平抛物体的运动方程为：平抛物体的运动方程为：则，速率则，速率切向加速度切向加速度加速度大小加速度大小由法向加速度由法向加速度37例例质点由曲线的正焦弦（）质点由曲线的正焦弦（）的一端以出发，的一端以出发，求到达正焦弦的另一端时的速率。已知。求到达正焦弦的另一端时的速率。已知。38第一定律任何作为任何作为任何作为任何作为质点的质点的质点的质点的物体没有受到其他物体的作用，物体没有受到其他物体的作用，物体没有受到其他物体的作用，物体没有受到其他物体的作用，都将保持静止或
15、匀速直线运动状态。都将保持静止或匀速直线运动状态。都将保持静止或匀速直线运动状态。都将保持静止或匀速直线运动状态。第二定律当质点受到外力作用，该质点所获当质点受到外力作用，该质点所获当质点受到外力作用，该质点所获当质点受到外力作用，该质点所获 得的加速度得的加速度得的加速度得的加速度与外力成正比，与其质量成反比，加速度与外力成正比，与其质量成反比，加速度与外力成正比，与其质量成反比，加速度与外力成正比，与其质量成反比，加速度 方向与外力方向一致。方向与外力方向一致。方向与外力方向一致。方向与外力方向一致。第三定律当物体当物体当物体当物体A A对物体对物体对物体对物体B B有一作用力有一作用力有
16、一作用力有一作用力F1F1 的同时，物体的同时，物体的同时，物体的同时，物体B B对物体对物体对物体对物体A A有一个反作用力有一个反作用力有一个反作用力有一个反作用力F2F2，作用力与反作用力等值反向，且，作用力与反作用力等值反向，且，作用力与反作用力等值反向，且，作用力与反作用力等值反向，且在同一直线上。在同一直线上。在同一直线上。在同一直线上。391 1 1 1、质点的概念、质点的概念、质点的概念、质点的概念有质量的几何点。（线度可以忽略不计的物体，或作有质量的几何点。（线度可以忽略不计的物体，或作有质量的几何点。（线度可以忽略不计的物体，或作有质量的几何点。（线度可以忽略不计的物体，或
17、作平动的物体）平动的物体）平动的物体）平动的物体）第一定律的说明：第一定律的说明：牛顿第二定律的说明：牛顿第二定律的说明：牛顿第二定律的说明：牛顿第二定律的说明：1 1 1 1、定量地表述了力、加速度和质量三者之间的关系、定量地表述了力、加速度和质量三者之间的关系、定量地表述了力、加速度和质量三者之间的关系、定量地表述了力、加速度和质量三者之间的关系2 2、惯性的概念：、惯性的概念：、惯性的概念：、惯性的概念：物体保持其运动状态不变的性质。物体保持其运动状态不变的性质。物体保持其运动状态不变的性质。物体保持其运动状态不变的性质。3 3、惯性参照系的概念：、惯性参照系的概念：、惯性参照系的概念：
18、、惯性参照系的概念：是指惯性定律在其中成立的参照系是指惯性定律在其中成立的参照系是指惯性定律在其中成立的参照系是指惯性定律在其中成立的参照系 。4 4、力的概念：、力的概念：、力的概念：、力的概念：是物体间的相互作用。是物体间的相互作用。是物体间的相互作用。是物体间的相互作用。402 2 2 2、惯性质量的定义：、惯性质量的定义：、惯性质量的定义：、惯性质量的定义：引力质量与惯性质量的关系万有引力定律中反映物体间引力的属性牛顿第三定律的说明牛顿第三定律的说明牛顿第三定律的说明牛顿第三定律的说明1 1 1 1、定律在任何参照系中均成立。当它只适用于机械相互作用、定律在任何参照系中均成立。当它只适
19、用于机械相互作用、定律在任何参照系中均成立。当它只适用于机械相互作用、定律在任何参照系中均成立。当它只适用于机械相互作用2 2 2 2、利用此定律可将第二定律推广到质点组系统。、利用此定律可将第二定律推广到质点组系统。、利用此定律可将第二定律推广到质点组系统。、利用此定律可将第二定律推广到质点组系统。411 1、表述：、表述：、表述：、表述：对于一个相对于惯性系作匀速直线运动的系对于一个相对于惯性系作匀速直线运动的系对于一个相对于惯性系作匀速直线运动的系对于一个相对于惯性系作匀速直线运动的系统，其内部所发生的一切力学过程都不受系统作为整体的匀统，其内部所发生的一切力学过程都不受系统作为整体的匀
20、统，其内部所发生的一切力学过程都不受系统作为整体的匀统，其内部所发生的一切力学过程都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响。速直线运动的影响。速直线运动的影响。速直线运动的影响。惯性参照系：惯性参照系：牛顿定律成立的参照系。否则称牛顿定律成立的参照系。否则称牛顿定律成立的参照系。否则称牛顿定律成立的参照系。否则称非惯性参照系非惯性参照系非惯性参照系非惯性参照系。伽利略相对性原理伽利略相对性原理如：太阳-恒星42伽利略相对性原理的重要性在于伽利略相对性原理的重要性在于伽利略相对性原理的重要性在于伽利略相对性原理的重要性在于:（1 1）该原理指明了所有惯性系彼此等价，惯性系没有优）该原理指明了所有惯
21、性系彼此等价，惯性系没有优）该原理指明了所有惯性系彼此等价，惯性系没有优）该原理指明了所有惯性系彼此等价，惯性系没有优劣之分。劣之分。劣之分。劣之分。（2 2）该原理为不同时间、不同地点做重复性实验探讨）该原理为不同时间、不同地点做重复性实验探讨）该原理为不同时间、不同地点做重复性实验探讨）该原理为不同时间、不同地点做重复性实验探讨物理规律提供了理论根据。物理规律提供了理论根据。物理规律提供了理论根据。物理规律提供了理论根据。（3 3）该原理可以使研究不同惯性系中的物体运动规律得）该原理可以使研究不同惯性系中的物体运动规律得）该原理可以使研究不同惯性系中的物体运动规律得）该原理可以使研究不同惯
22、性系中的物体运动规律得以简化。以简化。以简化。以简化。例如：设例如：设例如：设例如：设SS系相对系相对系相对系相对S S系作惯性运动，已知系作惯性运动，已知系作惯性运动，已知系作惯性运动，已知S S系中质点动能系中质点动能系中质点动能系中质点动能为为为为，由于该原理，立即可以得到，由于该原理，立即可以得到，由于该原理，立即可以得到，由于该原理，立即可以得到SS系中质点的动能系中质点的动能系中质点的动能系中质点的动能为。为。为。为。432 2 2 2、伽利略变换伽利略变换伽利略变换伽利略变换那么，那么，那么，那么，加速度对伽利略变换是不变的加速度对伽利略变换是不变的加速度对伽利略变换是不变的加速
23、度对伽利略变换是不变的：从而牛顿定律从而牛顿定律从而牛顿定律从而牛顿定律对伽利略变换是不变的对伽利略变换是不变的对伽利略变换是不变的对伽利略变换是不变的,指形式不变：指形式不变：指形式不变：指形式不变：SS441 1、在牛顿第二定律中力一般是位矢、速度及时间的函数。、在牛顿第二定律中力一般是位矢、速度及时间的函数。、在牛顿第二定律中力一般是位矢、速度及时间的函数。、在牛顿第二定律中力一般是位矢、速度及时间的函数。即即即即:2 2、运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程：牛牛牛牛顿顿顿顿第第第第二二二二定定定定律律律律在在在在具具具具体体体体问问问问题题题题中中中中的的的的数数数数学学
24、学学表表表表达达达达式式式式常常常常称称称称为为为为运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程，也也也也称称称称为为为为动动动动力力力力学学学学方方方方程程程程。形形形形式式式式上上上上可可可可写写写写为：为：为：为：主动力主动力被动力被动力45限制质点某方面运动的曲线或曲面称为限制质点某方面运动的曲线或曲面称为约束约束，这，这些曲线或曲面的方程称为些曲线或曲面的方程称为约束方程约束方程或或约束条件约束条件。3 3、约束及约束方程、约束及约束方程、约束及约束方程、约束及约束方程在在在在非非非非自自自自由由由由质质质质点点点点的的的的运运运运动动动动（约约约约束束束束运运运运动动动动）问问
25、问问题题题题中中中中，一一一一般般般般将将将将约约约约束束束束去去去去掉掉掉掉，代代代代以以以以约约束束反反作作用用力力。这这这这样样样样，质质质质点点点点就就就就成成成成了了了了自由质点。自由质点。自由质点。自由质点。46约束反作用力的特点：约束反作用力的特点：一般是未知的；不完全决一般是未知的；不完全决定于约束本身（可能与质点运动状态及质点受到的其定于约束本身（可能与质点运动状态及质点受到的其他力有关；约束反作用力不能单独改变质点的运动）。他力有关；约束反作用力不能单独改变质点的运动）。约约约约束束束束反反反反作作作作用用用用力力力力常常常常称称称称为为为为“被被被被动动动动力力力力”或或
26、或或“约约约约束束束束力力力力”，不不不不是是是是约约约约束的力则称为束的力则称为束的力则称为束的力则称为“主动力主动力主动力主动力”。47二、运动微分方程的分量式二、运动微分方程的分量式二、运动微分方程的分量式二、运动微分方程的分量式直角坐标系下：直角坐标系下：直角坐标系下：直角坐标系下：初始条件：初始条件：48平面极坐标系下：平面极坐标系下：平面极坐标系下：平面极坐标系下：自然坐标系下自然坐标系下自然坐标系下自然坐标系下对于光滑约束，49选择坐标系的基本原则：选择坐标系的基本原则：选择坐标系的基本原则：选择坐标系的基本原则：1、从力方面考虑。使力尽量少分解、从力方面考虑。使力尽量少分解2、
27、从运动轨道方面考虑、从运动轨道方面考虑A:直线运动-直角坐标系B:有既定轨道的约束运动-自然坐标系C:二次曲线型轨道运动-极坐标系50已知运动求力已知运动求力已知运动求力已知运动求力已知力求运动已知力求运动两类基本问题两类基本问题两类基本问题两类基本问题1 1、力仅是时间的函数，、力仅是时间的函数，、力仅是时间的函数，、力仅是时间的函数，。51例例例例1 1：研究自由电子在沿：研究自由电子在沿：研究自由电子在沿：研究自由电子在沿x x轴的振荡电场中的运动轴的振荡电场中的运动轴的振荡电场中的运动轴的振荡电场中的运动解：设电子速度较光速很小，沿解：设电子速度较光速很小，沿解：设电子速度较光速很小，
28、沿解：设电子速度较光速很小，沿x x轴的电场强度轴的电场强度轴的电场强度轴的电场强度角频率角频率角频率角频率初（位）相初（位）相初（位）相初（位）相e e、E E0 0、为常数。为常数。为常数。为常数。52电子运动的微分方程电子运动的微分方程电子运动的微分方程电子运动的微分方程5354讨论讨论该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。1)1)为为为为振振振振荡荡荡荡项项项项，电电电电子子子子在在在在电电电电场场场场的的的的作作作作
29、用用用用下下下下的的的的受受受受迫迫迫迫振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献;2)2)其其其其余余余余部部部部分分分分描描描描述述述述电电电电子子子子的的的的匀匀匀匀速速速速直直直直线线线线运运运运动动动动,对对对对电电电电磁磁磁磁波波波波的的的的传传传传播播播播没没没没有贡献，仅给出电子的细致运动有贡献，仅给出电子的细致运动有贡献，仅给出电子的细致运动有贡献，仅给出电子的细致运动;553)3)可可可可以以以以证证证证明明明明(在在在在高高高高频频频频下下下下)电电电电离离离离层
30、层层层中中中中:n n为为为为电电电电子子子子密密密密度度度度，e e为电极化率。为电极化率。为电极化率。为电极化率。相速：相速：相速：相速：因此，任何入射到电离层的电磁波都可以反射回到地面；当1时e0，即，微波可以通过电离层。562.2.力仅是速度的函数力仅是速度的函数力仅是速度的函数力仅是速度的函数F F=F F(v v)-抛射体在空中的运动抛射体在空中的运动抛射体在空中的运动抛射体在空中的运动（1,2）(1)/(2)（1）（2）57当当当当R R=Kv=Kvnn时，时，时，时，58例如：阻力例如：阻力例如：阻力例如：阻力R R=bvbv，建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系如图，如图
31、，如图，如图，运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程:投影方程投影方程投影方程投影方程:59再积分：再积分：再积分：再积分：同理可得：同理可得：同理可得：同理可得：60(3)(3)和和和和(4)(4)消去消去消去消去t t得轨道方程得轨道方程得轨道方程得轨道方程:若阻力较小若阻力较小若阻力较小若阻力较小(b b很小很小很小很小)或或或或x x很小很小很小很小:61由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：(1)(1)(1)若若若若若若阻阻阻阻阻阻力力力力力力较较较较较较小小小小小小(b b b很很很很很很小小小小小小)或或或或或或x x x很很很很很很小小小小小小,可可可可可可以以以以
32、以以忽忽忽忽忽忽略略略略略略x x x3 33以以以以以以上上上上上上的的的的的的项项项项项项，与与与与与与真空中弹道一致。真空中弹道一致。真空中弹道一致。真空中弹道一致。真空中弹道一致。真空中弹道一致。(2)(2)(2)当当当当当当mvmvmvx xx0 00-bxbxbx0,0,0,y y y 无无无无无无穷穷穷穷穷穷,说说说说说说明明明明明明轨轨轨轨轨轨道道道道道道在在在在在在x=mvx=mvx=mvx0 x0 x0/b b b处处处处处处变变变变变变成成成成成成竖竖竖竖竖竖直直直直直直直线。直线。直线。直线。直线。直线。623.3.力仅是坐标的函数力仅是坐标的函数力仅是坐标的函数力仅是
33、坐标的函数F=F(x),F=F(x),振动问题振动问题振动问题振动问题1)一维谐振动：一维谐振动：2)三维谐振动：三维谐振动：4 4.力是位置、速度和时间的函数（如阻尼受迫振动）力是位置、速度和时间的函数（如阻尼受迫振动）:(例子自学例子自学例子自学例子自学)63归纳步骤：归纳步骤：归纳步骤：归纳步骤：1.1.准确理解题意；准确理解题意；准确理解题意；准确理解题意；2.2.分析并作受力情况草图；分析并作受力情况草图；分析并作受力情况草图；分析并作受力情况草图；3.3.选取坐标系并规定质点的坐标；选取坐标系并规定质点的坐标；选取坐标系并规定质点的坐标；选取坐标系并规定质点的坐标；4.4.标出已知
34、及未知力、加速度；标出已知及未知力、加速度；标出已知及未知力、加速度；标出已知及未知力、加速度；5.5.写出质点运动微分方程；写出质点运动微分方程；写出质点运动微分方程；写出质点运动微分方程；6.6.解微分方程；解微分方程；解微分方程；解微分方程；7.7.讨论，分析解的物理意义。讨论，分析解的物理意义。讨论，分析解的物理意义。讨论，分析解的物理意义。64若若积分后并求得其解积分后并求得其解积分后并求得其解积分后并求得其解:例、质量为例、质量为例、质量为例、质量为例、质量为例、质量为mmm的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面的质点，在有阻力的空气中
35、无初速度地自离地面的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面为为为为为为hh h的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。的地方竖直下落，若阻力与速度成正比，求其运动。若选择的坐标原点在离地面若选择的坐标原点在离地面h处，方向向下，运动微分方程又如何？处，方向向下，运动微分方程又如何？65例例质量为质量为m m的小球以初速竖直
36、上抛，空气的阻力为的小球以初速竖直上抛，空气的阻力为R R=kmvkmv2 2。求：求：（1 1）上升的最大高度）上升的最大高度H H；（2 2）返回到地面时小球的速度）返回到地面时小球的速度v vm m。解：取地面为原点，坐标轴解：取地面为原点，坐标轴解：取地面为原点，坐标轴解：取地面为原点，坐标轴oyoy竖直向上。竖直向上。竖直向上。竖直向上。（1 1）上升时：）上升时：）上升时：）上升时：运动微分方程运动微分方程运动微分方程运动微分方程由由由由得：得：得：得：66得得得得积分积分积分积分67（2 2）下降时：）下降时：）下降时：）下降时：运动微分方程：运动微分方程：运动微分方程：运动微分
37、方程：将将将将代入代入代入代入积分：积分：积分：积分：得得得得将（将（将（将（1 1）中的）中的）中的）中的HH代入得代入得代入得代入得682)2)带电粒子在正交电磁场中的运动带电粒子在正交电磁场中的运动带电粒子在正交电磁场中的运动带电粒子在正交电磁场中的运动假定假定假定假定t=0t=0时，时，时，时，粒子运动微分方程为粒子运动微分方程为粒子运动微分方程为粒子运动微分方程为:69粒子运动分量微分方程为粒子运动分量微分方程为粒子运动分量微分方程为粒子运动分量微分方程为:由由由由(1)(1)和和和和(2)(2)由（由（由（由（1 1）70因此因此因此因此积分得积分得积分得积分得71讨论讨论(1)(
38、1)该情况为该情况为该情况为该情况为v vco时，斥力；时，斥力；F(u)0时，为引力时，为引力(与反方向与反方向)(2).由比耐公式可求解由比耐公式可求解(a)求轨道方程：求轨道方程：(b)求有心力求有心力：(3).从机械能守恒方程给出轨道微分方程：从机械能守恒方程给出轨道微分方程：参考：大学物理1990年，NO.4104研究太阳（研究太阳（研究太阳（研究太阳（MM）与行星（）与行星（）与行星（）与行星（mm）运动中行星的轨道方程。）运动中行星的轨道方程。）运动中行星的轨道方程。）运动中行星的轨道方程。1.1.用比耐公式求解用比耐公式求解用比耐公式求解用比耐公式求解太阳的太阳的太阳的太阳的太
39、阳的太阳的高斯常数高斯常数高斯常数高斯常数代入代入比耐公式比耐公式:105得得得得(二阶常系数非齐次方程，）二阶常系数非齐次方程，）令令:半正焦弦半正焦弦偏心率偏心率106可可可可见见见见，平平平平方方方方反反反反比比比比引引引引力力力力下下下下行行行行星星星星的的的的的的的的运运运运动动动动是是是是以以以以太太太太阳阳阳阳为为为为焦焦焦焦点点点点的的的的圆圆圆圆锥锥锥锥曲线曲线曲线曲线。此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。107讨论讨论e 1，
40、双曲线。，双曲线。准准 线线110斥力情况斥力情况:为双曲线为双曲线为双曲线为双曲线右边右边右边右边的一支！的一支！的一支！的一支！准准 线线1112.2.运用第二组方程求解运用第二组方程求解运用第二组方程求解运用第二组方程求解（取取取取无无无无穷穷穷穷远远远远处处处处势能为零）势能为零）势能为零）势能为零）112代入得：113可解得可解得:（束缚态）（束缚态）（束缚态）（束缚态），椭圆，椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线与与与与比较比较比较比较可见，可见，可见，可见，能量能量能量能量E E为轨道类别的判据为轨道类别的判据为轨道类别的判据为轨道类别的判据。1141.1.开普勒三开普勒三开普勒三开普勒
41、三大大大大定律定律定律定律第第第第一一一一定定定定律律律律（轨轨轨轨道道道道定定定定律律律律16091609）:行行行行星星星星绕绕绕绕太太太太阳阳阳阳作作作作椭椭椭椭圆圆圆圆运运运运动动动动,太太太太阳阳阳阳位于椭圆得一个焦点上。位于椭圆得一个焦点上。位于椭圆得一个焦点上。位于椭圆得一个焦点上。说明行星轨道方程说明行星轨道方程说明行星轨道方程说明行星轨道方程:e e11，太阳位于椭圆的焦点上。，太阳位于椭圆的焦点上。，太阳位于椭圆的焦点上。，太阳位于椭圆的焦点上。115第第第第二二二二定定定定律律律律（面面面面积积积积定定定定律律律律，16091609）:行行行行星星星星与与与与太太太太阳阳
42、阳阳的的的的连连连连线线线线，相相相相同同同同时时时时间内扫过的面积相等。即间内扫过的面积相等。即间内扫过的面积相等。即间内扫过的面积相等。即 第第第第三三三三定定定定律律律律（周周周周期期期期定定定定律律律律，16191619）：行行行行星星星星公公公公转转转转的的的的周周周周期期期期的的的的平平平平方方方方和和和和轨轨轨轨道半长轴的立方成正比。道半长轴的立方成正比。道半长轴的立方成正比。道半长轴的立方成正比。说明说明说明说明:为常数为常数为常数为常数牛顿万有引力发表于牛顿万有引力发表于牛顿万有引力发表于牛顿万有引力发表于16871687年。从三定律可推导万有引力定律。年。从三定律可推导万有
43、引力定律。年。从三定律可推导万有引力定律。年。从三定律可推导万有引力定律。1162.2.从开普勒定律到万有引力定律从开普勒定律到万有引力定律从开普勒定律到万有引力定律从开普勒定律到万有引力定律(历史的发展途径如此历史的发展途径如此)据第二定律有：据第二定律有：据第二定律有：据第二定律有：即即即即:常量常量常量常量,是常数是常数是常数是常数,即动量矩守恒即动量矩守恒即动量矩守恒即动量矩守恒,行星所受的力对太阳的力矩为零行星所受的力对太阳的力矩为零行星所受的力对太阳的力矩为零行星所受的力对太阳的力矩为零,因行星因行星因行星因行星具有加速度具有加速度具有加速度具有加速度,所以受力不为零所以受力不为零
44、所以受力不为零所以受力不为零,故行星所受力必定是有心力故行星所受力必定是有心力故行星所受力必定是有心力故行星所受力必定是有心力,太阳是力心。太阳是力心。太阳是力心。太阳是力心。117据第一定律，由据第一定律，由代入比耐公式，得代入比耐公式，得表明行星所受的力是引力，且与距离平方成反比。表明行星所受的力是引力，且与距离平方成反比。表明行星所受的力是引力，且与距离平方成反比。表明行星所受的力是引力，且与距离平方成反比。第三定律可以给出行星的公转周期并确定第三定律可以给出行星的公转周期并确定第三定律可以给出行星的公转周期并确定第三定律可以给出行星的公转周期并确定 p p 的大小。的大小。的大小。的大
45、小。118（当矢径扫过一周（当矢径扫过一周（当矢径扫过一周（当矢径扫过一周,A A=abab）证明证明证明证明 与行星运动无关。与行星运动无关。与行星运动无关。与行星运动无关。代入第三定律代入第三定律:119由此看出由此看出由此看出由此看出:1202)2)行星周期与轨道半长轴的具体关系为行星周期与轨道半长轴的具体关系为行星周期与轨道半长轴的具体关系为行星周期与轨道半长轴的具体关系为:开文迪许开文迪许开文迪许开文迪许17981798年测量了年测量了年测量了年测量了GG的值，于是建立了万有引力定律。的值，于是建立了万有引力定律。的值，于是建立了万有引力定律。的值，于是建立了万有引力定律。注意注意1
46、)Kepler1)Kepler定律是近似的，忽略了太阳的运动。定律是近似的，忽略了太阳的运动。定律是近似的，忽略了太阳的运动。定律是近似的，忽略了太阳的运动。太阳的太阳的太阳的太阳的太阳的太阳的高斯常数高斯常数高斯常数高斯常数121宇宙速度（火箭发射速度）宇宙速度（火箭发射速度）宇宙速度（火箭发射速度）宇宙速度（火箭发射速度）:引力势能：引力势能：引力势能：引力势能：由有心力基本运动方程：由有心力基本运动方程：用于平方反比引力时，可改写为用于平方反比引力时，可改写为122如果轨道为椭圆，则在近日点有初始条件如果轨道为椭圆，则在近日点有初始条件准准准准 线线线线123如果轨道为抛物线，则在近日点
47、有初始条件如果轨道为抛物线，则在近日点有初始条件准准线线124如果轨道为双曲线，则在近日点有初始条件如果轨道为双曲线，则在近日点有初始条件准准 线线125第一宇宙速度第一宇宙速度第一宇宙速度第一宇宙速度（地球上发射人造地球卫星的最低速度，（地球上发射人造地球卫星的最低速度，（地球上发射人造地球卫星的最低速度，（地球上发射人造地球卫星的最低速度，绕地球作椭圆运动）绕地球作椭圆运动）绕地球作椭圆运动）绕地球作椭圆运动）:126第二宇宙速度第二宇宙速度第二宇宙速度第二宇宙速度（脱离地球引力而成为太阳系的行星）（脱离地球引力而成为太阳系的行星）（脱离地球引力而成为太阳系的行星）（脱离地球引力而成为太阳
48、系的行星）（抛物线轨道）（抛物线轨道）（抛物线轨道）（抛物线轨道）127第三宇宙速度第三宇宙速度第三宇宙速度第三宇宙速度（脱离太阳系需要的最低发射速度）（脱离太阳系需要的最低发射速度）（脱离太阳系需要的最低发射速度）（脱离太阳系需要的最低发射速度）绕太阳运动是脱离太阳引力的速度绕太阳运动是脱离太阳引力的速度绕太阳运动是脱离太阳引力的速度绕太阳运动是脱离太阳引力的速度:128相对于地球的发射速度相对于地球的发射速度相对于地球的发射速度相对于地球的发射速度考虑地球引力因素考虑地球引力因素考虑地球引力因素考虑地球引力因素:考虑其它行星引力作用考虑其它行星引力作用考虑其它行星引力作用考虑其它行星引力作
49、用:天体力学天体力学1291.1.讨论产生圆形轨道运动的条件：讨论产生圆形轨道运动的条件：讨论产生圆形轨道运动的条件：讨论产生圆形轨道运动的条件：由比耐公式由比耐公式由比耐公式由比耐公式 如果初速度垂直于位矢且满足（如果初速度垂直于位矢且满足（如果初速度垂直于位矢且满足（如果初速度垂直于位矢且满足（u u与与与与 无关）无关）无关）无关）1302.2.讨论稳定性：讨论稳定性：讨论稳定性：讨论稳定性：令令令令及及及及为某一具体圆形轨道的为某一具体圆形轨道的为某一具体圆形轨道的为某一具体圆形轨道的和和和和 之值，之值，之值，之值，显然有显然有显然有显然有或写成或写成或写成或写成131为了研究扰动，
50、可以假设有一微扰，即令为了研究扰动，可以假设有一微扰，即令为了研究扰动，可以假设有一微扰，即令为了研究扰动，可以假设有一微扰，即令代入比耐公式代入比耐公式代入比耐公式代入比耐公式 将右边后两个因子各展成将右边后两个因子各展成将右边后两个因子各展成将右边后两个因子各展成的幂级数的幂级数的幂级数的幂级数（1.9.391.9.39）132所以前式右边近似有所以前式右边近似有所以前式右边近似有所以前式右边近似有式中式中式中式中 如果取一阶微量，则（）式变为如果取一阶微量，则（）式变为如果取一阶微量，则（）式变为如果取一阶微量，则（）式变为 133式中式中式中式中 为另一常数，其值对问题的性质无关。为另