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1、HXX立体几何中的向量方法（三）空间“角度”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）向量的有关知识：两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b两向量夹角公式：cos a,b=直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别
2、在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.BACD 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考：（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：可算出 AB 的长。夹角后面讲（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为，三条棱长分别为 各棱
3、间夹角为。A1B1C1D1ABCD空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线 所成的角为,则例2解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：所以：所以 与 所成角的余弦值为方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为其中AB DCLBA2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角 的大小 2、二面角若二面角 的大小为,则法向量法 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水
4、坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是，得设向量 与 的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1A1解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则 C(0,0,0)故则可设=1，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作 于E,于F，则 即为二面角 的大
5、小在 中，即E分有向线段 的比为由于且，所以在中，同理可求cos=即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取(1,0,0)为面 的法向量 yxzCADBC1B1A1由 得解得所以，可取二面角 的大小等于 cos=即二面角 的余弦值为方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角ABn2.线面角设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为，向量 与n所成的角为，则n而利用 可求，从而再求出 2.线面角l设 直 线l 的 方 向 向 量 为，平 面 的 法 向 量 为，且直线 与平面 所成的角为(),则1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值巩固练习B1A1C1D1DCBAOM